矩陣微分方程

微分方程是變量的未知函數的數學方程,將函數值與不同階導數聯繫起來。矩陣微分方程包含多個函數,以向量形式堆疊在一起,並由一個矩陣將它們與導數聯繫起來。

例如,一階矩陣常微分方程

其中是基變量的函數的向量,是函數的一階導,係數矩陣。

為常數且有n線性無關的特徵向量,微分方程有如下一般解:

其中λ1, λ2, …, λnA的特徵值,u1, u2, …, unA相應的特徵向量;c1, c2, …, cn為常數。

更一般地說,若等於其積分,則馬格努斯展開降為前導階,微分方程的一般解是

其中常向量。

通過使用哈密爾頓–凱萊定理和類范德蒙矩陣,這種形式化的矩陣指數解可簡化為一種簡單的形式。[1]下面,我們將用普策算法(Putzer's algorithm)來展示這一方法。[2]

矩陣系統的穩定性與穩態

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矩陣方程

 

當且僅當常數矩陣A的所有特徵值的實部都為負,n×1參數常數向量b穩定

穩定時收斂到的穩態x*可置

 

找到,因此有

 

假設A可逆。

因此,原方程可用偏離穩態的齊次形式來寫

 

一種等效的表達是,x*是非齊次方程的一個特解,而所有解的形式都是

 

其中 是齊次方程(b=0)的解。

雙狀態變量情形的穩定性

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n = 2(2個狀態變量)時,穩定條件為:過渡矩陣A的兩個特徵值均有負實部,等價於A為負、行列式為正。

矩陣形式的解

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 的形式解為矩陣指數形式

 

使用多種技術中的任何一種進行評估。

計算eAt的普策算法

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給定特徵值為 的矩陣A

 

其中

 
 
 
 
 
 

 的方程是簡單的一階非齊次常微分方程。

注意該算法並不要求矩陣A可對角化,並繞過了通常使用的若爾當標準形的計算。

矩陣常微分方程解構示例

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一階齊次矩陣常微分方程包含兩個函數x(t)、y(t),從矩陣形式解出後有如下形式:

 

其中    可為任意標量。 高階矩陣ODE的形式可能複雜得多。

解分解後的矩陣常微分方程

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求解上述方程並找到這種特定階次和形式的所需函數的過程大概分3步。每個步驟的簡要說明如下:

  • 找到特徵值
  • 找到特徵向量
  • 找到所需函數

第三部通常是把前兩步的結果代入專門形式的一般方程中,下詳。

矩陣ODE已解示例

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要按上述3步解矩陣ODE,並在過程中使用簡單矩陣,具體來說,現在下面的一階齊次線性ODE中找到函數x、函數y,都用單一自變量t表示:

 

要解這個常微分方程系統,在過程中的某時刻需要一組兩個初始條件(對應起點的兩個狀態變量)。這時先取x(0) = y(0) = 1

第一步

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第一步即找到A的特徵值

 

上面的導數記號x′等稱為拉格朗日記法(由約瑟夫·拉格朗日提出,等同於前面方程里的dx/dt,這是萊布尼茲記法,得名於戈特弗里德·萊布尼茨)。

一旦兩個變量的係數被寫為上述矩陣形式A,就可估計特徵值了。為此,可求矩陣行列式,即從上述係數矩陣中減去單位矩陣 乘常數λ,再得到特徵多項式

 

再解得其零點。

進一步簡化、應用矩陣加法的基本規則,得出

 

應用求單一2×2矩陣行列式的規則,可得下列一元二次方程

 
 

可以進一步簡化

 

應用因式分解得到給定一元二次方程的兩個根  

 
 
 
 

上面算出的  即所求A的特徵值。 矩陣ODE的特徵值可能是複數,求解過程的下一步及最終形式和解法可能會有巨大變化。

第二步

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第二步即找到A的特徵向量。

對算出的每個特徵值,都有單獨的特徵向量。例如對第一個特徵值即 ,有

 

應用矩陣乘法規則簡化上式,得到

 
 

所有計算都是為了得到最後一個式子,本例中就是α = 2β。現在任取一個無關緊要的小值(這樣更容易處理),代入α = 2β中的αβ(選哪個並不重要),這樣就得到了一個簡單的向量,就是這個特定特徵值所需的特徵向量。在本例中,我們取α = 2,得β = 1。用標準的向量符號來寫,向量是這樣的

 

對第二個特徵值 進行相同的計算,得到第二個特徵向量,結果為

 

第三步

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最後一步是找到「隱藏」在導數背後的所求函數。有兩個函數,因為微分方程涉及兩個變量。

方程包含之前得到的所有信息,形式如下:

 

代入特徵值和特徵向量,得到

 

簡化

 

再簡化,分別寫出函數xy的方程

 
 

上述方程就是所求的一般函數,但只是一般形式(AB的值未指定),但我們想找到它們的精確形式和解。因此現在,考慮問題的給定初始條件(即所謂初值問題)。假設給定了 ,是ODE的起點;條件的應用指定了常數AB。從條件 可以看出,t = 0時,上述方程的左式等於1,由此可構造下列線性方程

 
 

求解這些等式,發現常數AB都等於1/3。因此將這些值代入這兩個函數的一般形式,就可以得到它們的精確形式     所求的兩個函數。

使用矩陣指數

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上述問題可以直接應用矩陣指數法解決。也就是說,可以說

 

給出了(可用MATLABexpm工具包之類,或通過對角化,並利用對角矩陣的矩陣指數與元素的指數化相等這一特性來計算)

 

得到最終解

 

 

這與之前展示的特徵向量方法相同。

另見

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參考文獻

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  1. ^ Moya-Cessa, H.; Soto-Eguibar, F. Differential Equations: An Operational Approach. New Jersey: Rinton Press. 2011. ISBN 978-1-58949-060-4. 
  2. ^ Putzer, E. J. Avoiding the Jordan Canonical Form in the Discussion of Linear Systems with Constant Coefficients. The American Mathematical Monthly. 1966, 73 (1): 2–7. JSTOR 2313914. doi:10.1080/00029890.1966.11970714.