矩阵微分方程

微分方程是变量的未知函数的数学方程,将函数值与不同阶导数联系起来。矩阵微分方程包含多个函数,以向量形式堆叠在一起,并由一个矩阵将它们与导数联系起来。

例如,一阶矩阵常微分方程

其中是基变量的函数的向量,是函数的一阶导,系数矩阵。

为常数且有n线性无关的特征向量,微分方程有如下一般解:

其中λ1, λ2, …, λnA的特征值,u1, u2, …, unA相应的特征向量;c1, c2, …, cn为常数。

更一般地说,若等于其积分,则马格努斯展开降为前导阶,微分方程的一般解是

其中常向量。

通过使用哈密尔顿–凯莱定理和类范德蒙矩阵,这种形式化的矩阵指数解可简化为一种简单的形式。[1]下面,我们将用普策算法(Putzer's algorithm)来展示这一方法。[2]

矩阵系统的稳定性与稳态

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矩阵方程

 

当且仅当常数矩阵A的所有特征值的实部都为负,n×1参数常数向量b稳定

稳定时收敛到的稳态x*可置

 

找到,因此有

 

假设A可逆。

因此,原方程可用偏离稳态的齐次形式来写

 

一种等效的表达是,x*是非齐次方程的一个特解,而所有解的形式都是

 

其中 是齐次方程(b=0)的解。

双状态变量情形的稳定性

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n = 2(2个状态变量)时,稳定条件为:过渡矩阵A的两个特征值均有负实部,等价于A为负、行列式为正。

矩阵形式的解

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 的形式解为矩阵指数形式

 

使用多种技术中的任何一种进行评估。

计算eAt的普策算法

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给定特征值为 的矩阵A

 

其中

 
 
 
 
 
 

 的方程是简单的一阶非齐次常微分方程。

注意该算法并不要求矩阵A可对角化,并绕过了通常使用的若尔当标准形的计算。

矩阵常微分方程解构示例

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一阶齐次矩阵常微分方程包含两个函数x(t)、y(t),从矩阵形式解出后有如下形式:

 

其中    可为任意标量。 高阶矩阵ODE的形式可能复杂得多。

解分解后的矩阵常微分方程

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求解上述方程并找到这种特定阶次和形式的所需函数的过程大概分3步。每个步骤的简要说明如下:

  • 找到特征值
  • 找到特征向量
  • 找到所需函数

第三部通常是把前两步的结果代入专门形式的一般方程中,下详。

矩阵ODE已解示例

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要按上述3步解矩阵ODE,并在过程中使用简单矩阵,具体来说,现在下面的一阶齐次线性ODE中找到函数x、函数y,都用单一自变量t表示:

 

要解这个常微分方程系统,在过程中的某时刻需要一组两个初始条件(对应起点的两个状态变量)。这时先取x(0) = y(0) = 1

第一步

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第一步即找到A的特征值

 

上面的导数记号x′等称为拉格朗日记法(由约瑟夫·拉格朗日提出,等同于前面方程里的dx/dt,这是莱布尼兹记法,得名于戈特弗里德·莱布尼茨)。

一旦两个变量的系数被写为上述矩阵形式A,就可估计特征值了。为此,可求矩阵行列式,即从上述系数矩阵中减去单位矩阵 乘常数λ,再得到特征多项式

 

再解得其零点。

进一步简化、应用矩阵加法的基本规则,得出

 

应用求单一2×2矩阵行列式的规则,可得下列一元二次方程

 
 

可以进一步简化

 

应用因式分解得到给定一元二次方程的两个根  

 
 
 
 

上面算出的  即所求A的特征值。 矩阵ODE的特征值可能是复数,求解过程的下一步及最终形式和解法可能会有巨大变化。

第二步

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第二步即找到A的特征向量。

对算出的每个特征值,都有单独的特征向量。例如对第一个特征值即 ,有

 

应用矩阵乘法规则简化上式,得到

 
 

所有计算都是为了得到最后一个式子,本例中就是α = 2β。现在任取一个无关紧要的小值(这样更容易处理),代入α = 2β中的αβ(选哪个并不重要),这样就得到了一个简单的向量,就是这个特定特征值所需的特征向量。在本例中,我们取α = 2,得β = 1。用标准的向量符号来写,向量是这样的

 

对第二个特征值 进行相同的计算,得到第二个特征向量,结果为

 

第三步

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最后一步是找到“隐藏”在导数背后的所求函数。有两个函数,因为微分方程涉及两个变量。

方程包含之前得到的所有信息,形式如下:

 

代入特征值和特征向量,得到

 

简化

 

再简化,分别写出函数xy的方程

 
 

上述方程就是所求的一般函数,但只是一般形式(AB的值未指定),但我们想找到它们的精确形式和解。因此现在,考虑问题的给定初始条件(即所谓初值问题)。假设给定了 ,是ODE的起点;条件的应用指定了常数AB。从条件 可以看出,t = 0时,上述方程的左式等于1,由此可构造下列线性方程

 
 

求解这些等式,发现常数AB都等于1/3。因此将这些值代入这两个函数的一般形式,就可以得到它们的精确形式     所求的两个函数。

使用矩阵指数

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上述问题可以直接应用矩阵指数法解决。也就是说,可以说

 

给出了(可用MATLABexpm工具包之类,或通过对角化,并利用对角矩阵的矩阵指数与元素的指数化相等这一特性来计算)

 

得到最终解

 

 

这与之前展示的特征向量方法相同。

另见

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参考文献

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  1. ^ Moya-Cessa, H.; Soto-Eguibar, F. Differential Equations: An Operational Approach. New Jersey: Rinton Press. 2011. ISBN 978-1-58949-060-4. 
  2. ^ Putzer, E. J. Avoiding the Jordan Canonical Form in the Discussion of Linear Systems with Constant Coefficients. The American Mathematical Monthly. 1966, 73 (1): 2–7. JSTOR 2313914. doi:10.1080/00029890.1966.11970714.