抽象代數中,*-代數(或對合代數)是由兩個對合環RA組成的數學結構,其中R是交換的,A具有R結合代數的結構。對合代數推廣了帶共軛的數系的概念,如複數共軛複數、複數上的矩陣共軛轉置希爾伯特空間上的線性算子埃爾米特伴隨

不過,代數也可能不允許任何對合[a]

定義

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數學中,*-環是具有映射 ,這映射既是反自同構也是對合。

更確切地說,*要滿足以下公理: [1]

  •  
  •  
  •  
  •  

這也稱作對合環。第三條公理可從第二與第四條推出。

使 的元素是自伴的。[2]

此外,還可定義代數對象的*-版本,如理想子環,要求是*-不變的: 等等。

在計算理論中,*-環與星半環無關。

*-代數

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*-代數A是*-環,[b]其對合*是交換*-環R上的結合代數,帶有對合',使 [3] 基*-環R通常是複數(其中'為共軛複數)。

據公理可知,A上的*在R中是共軛線性的,即 

 

*-同態 是與AB的對合相容的代數同態,即

  •  [2]

*-運算的哲學

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符號

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xx*,或
xx

但不能是 

例子

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  • 交換環配備平凡(恆等)對合成為*-環。
  • 人們最熟悉的實數上的*-環和*-代數是複數域,共軛複數發揮對合*的作用。
  • 更一般地,通過平方根(如虛數單位 )的伴隨得到的域擴張是原域上的*-代數,視作平凡*-環。*可翻轉平方根的符號。
  • 二次整數環(對某些D)是交換*-環,*的定義與此類似;二次域是適當二次整數環上的*-代數。
  • 四元數雙曲複數二元數,可能還有其他超複數系構成*-環(帶有內置的共軛運算)及實數上的*-代數(*是平凡的)。三者都不是復代數。
  • 赫維茲四元數形成非交換*-環,帶有四元共軛。
  • 實數上n階方陣的矩陣代數,*是轉置
  • 複數上n階方陣的矩陣代數,*是共軛轉置
  • 其推廣,即希爾伯特空間上有界線性算子代數及其埃爾米特伴隨也定義了*-代數。
  • 交換平凡*-環R上的多項式環 R上的*-代數, 
  •  是*-環、(交換)R環上的代數 ,則AR上的*-代數(其中*平凡)。
    • *-環都是整數上的*-代數。
  • 交換*-環是自身的*-代數,更一般地,也是其任意*-子環的*-代數。
  • 交換*-環R對自身*-理想的R上的*-代數。
    • 例如,任意交換平凡*-環都是其對偶數環上的*-代數,即具有非平凡*的*-環,因為對 的商使原環復原。
    • 交換環K及其多項式環 也如此:對 的商使K復原。
  • 黑克代數中,對合對卡日丹-盧斯蒂格所行駛非常重要。
  • 橢圓曲線自同態環成為整數上的*-代數,其中對合是取對偶同源。類似的構造也適於有極化的阿貝爾簇,當中稱作洛薩提對合(見Milne的阿貝爾簇講義)。

對合霍普夫代數是*-代數的重要例子(具有相容余乘法的附加結構);最常見的例子是:

反例

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不是所有代數都允許對合:

考慮複數上的2階方陣的子代數:  

任何非平凡反自同構必為如下形式:[4]   對任意複數 

由此可見,任何非平凡反自同構都不是冪等的:  

結論是,子代數不允許任何對合。

附加結構

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轉置的很多性質在一般*-代數中成立:

  • 埃爾米特元素形成若爾當代數
  • 斜埃爾米特元素形成李代數;
  • 若2在*-環中可逆,則算子 是正交冪等[2]稱為對稱與反對稱,因此代數分解為對稱與反對稱(埃爾米特、斜埃爾米特)元素的直和(若*-環是域則為向量空間)。這些空間一般不構成結合代數,因為冪等是算子,而不是代數中的元素。

斜結構

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給定*-環,有映射 。由於 ,它並不定義*-環結構(除非特徵標為2,這時−*與原*相同),也沒有反乘法性,但滿足其他公理(線性、對合),因此與 的*-代數非常相似。

由這映射固定的元素(即滿足 者)稱作斜埃爾米特的。

對帶復共軛的複數,實數是埃爾米特元素,虛數是斜埃爾米特元素。

另見

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腳註

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  1. ^ 這時,「對合」指對合反自同構,也稱作反對合。
  2. ^ 大多數定義不要求*-代數有乘法單位元,即*-代數可以只是*-偽環

參考文獻

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  1. ^ Weisstein, Eric W. C-Star Algebra. Wolfram MathWorld. 2015 [2023-12-27]. (原始內容存檔於2023-05-31). 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Baez, John. Octonions. Department of Mathematics. University of California, Riverside. 2015 [2015-01-27]. (原始內容存檔於2015-03-26). 
  3. ^ nLabstar-algebra條目
  4. ^ Winker, S. K.; Wos, L.; Lusk, E. L. Semigroups, Antiautomorphisms, and Involutions: A Computer Solution to an Open Problem, I. Mathematics of Computation. 1981, 37 (156): 533–545 [2023-12-27]. ISSN 0025-5718. doi:10.2307/2007445. (原始內容存檔於2023-06-13).