SL2(ℝ)

在數學中，特殊線性群 SL₂(ℝ) 是行列式為 1 的 2×2 實矩陣組成的群：

${\mbox{SL}}_{2}(\mathbb {R} )=\left\{{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}:a,b,c,d\in \mathbb {R} \right.\,$，且 $ad-bc=1{\Bigg \}}\,$．

它是一個三維李群，在幾何、拓撲、表示論及物理中有重要應用．

與 SL₂(ℝ) 密切相關的是射影線性群 PSL₂(ℝ)。這是將 SL₂(ℝ) 中每個元素與它的負元素等同得到的商：

${\mbox{PSL}}_{2}(\mathbb {R} )={\mbox{SL}}_{2}(\mathbb {R} )/\{-1,+1\}.\,$

一些作者將這個群記做 SL(2,ℝ)．這是一個單李群，包含模群 PSL₂(ℤ)．

描述

SL₂(ℝ) 是 ℝ² 上所有保持定向面積的線性變換群。它同構於辛群 Sp₂(ℝ) 以及廣義特殊酉群 SU(1,1)。它也同構於單位長共四元數群。

商 PSL₂(ℝ) 有多個有趣的描述：

• 它是實射影直線 $\mathbb {R} \cup \{\infty \}$ 上保持定向的射影變換群。
• 它是單位圓盤的共形自同構群。
• 它是雙曲平面保持定向的等距群。
• 它是三維閔可夫斯基空間的限制洛倫茲群。等價地，它同構於不定正交群 SO⁺(1,2)。從而 SL₂(ℝ) 同構於旋量群 Spin(2,1)⁺。

線性分式變換

PSL₂(ℝ) 的元素做為線性分式變換作用在實射影直線 $\mathbb {R} \cup \{\infty \}$ 上：

$x\mapsto {\frac {ax+b}{cx+d}}.$

這類似於 PSL₂(ℂ) 通過莫比烏斯變換在黎曼球面上的作用。這是 PSL₂(ℝ) 在雙曲平面上的作用限制到無窮遠邊界。

莫比烏斯變換

PSL₂(ℝ) 中的元素通過莫比烏斯變換作用在複平面上：

$z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}\;\;\;(\,$ 這裡 $a,b,c,d\in \mathbb {R} {\mbox{)}}.\,$

這正好是保持上半平面的莫比烏斯變換集合。從而 PSL₂(ℝ) 是上半平面的共形自同構群。由黎曼映射定理，它也是單位圓盤的共形自同構群。

這些莫比烏斯變換是雙曲空間上半平面模型的等距，而圓盤相應的莫比烏斯變換是龐加萊圓盤模型的雙曲等距。

伴隨表示

群 SL₂(ℝ) 通過共軛作用在它的李代數 SL₂(ℝ) 上，導致 PSL₂(ℝ) 的一個忠實 3 維線性表示。這也可以描述為 PSL₂(ℝ) 作用在 ℝ² 上的二次型上。結果是如下表示

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a^{2}&2ac&c^{2}\\ab&ad+bc&cd\\b^{2}&2bd&d^{2}\end{bmatrix}}.$

sl₂(ℝ) 上的基靈型有符號 (2,1)，誘導了 PSL₂(ℝ) 與洛倫茲群 SO⁺(2,1) 之間一個同構。PSL₂(ℝ) 在閔可夫斯基空間上的作用限制成 PSL₂(ℝ) 在雙曲空間的雙曲面模型上的等距。

元素的分類

SL₂(ℝ) 中一個元素 A 的本徵值滿足特徵多項式

$\lambda ^{2}\,-\,\mathrm {tr} (A)\,\lambda \,+\,1\,=\,0,\,$

從而

$\lambda ={\frac {\mathrm {tr} (A)\pm {\sqrt {\mathrm {tr} (A)^{2}-4}}}{2}}.\,$

這導致了如下元素分類：

• 如果 | tr(A) | < 2，則 A 稱為橢圓型。

• 如果 | tr(A) | = 2，則 A 稱為拋物型。

• 如果 | tr(A) | > 2，則 A 稱為雙曲型。

橢圓型元素

橢圓型元素的本徵值都是複數，是單位圓周上的共軛值。這樣的元素的作用是歐幾里得空間中的旋轉，相應的 PSL₂(ℝ) 元素之作用是雙曲平面與閔可夫斯基空間的旋轉。

模群的橢圓型元素的本徵值一定為 {ω, 1/ω} 形式，其中 ω 是一個本原3次、4次、或6次單位根。他們是模群中所有有限階元素，他們作用在環面上是周期性微分同胚。

拋物型元素

拋物型元素只有一個本徵值，1 或者 -1。這樣的元素作用在歐幾里得平面上是錯切映射，相應 PSL₂(ℝ) 中元素作用在雙曲平面上是極限旋轉（limit rotation），在閔可夫斯基空間上的作用是零旋轉。

模群的拋物型元素作用在環面上是德恩扭轉（Dehn twist）。

雙曲型元素

雙曲型元素的本徵值都是實數，互為倒數。這樣一個元素作用在歐幾里得空間上是擠壓映射（squeeze mapping），相應的 PSL₂(ℝ) 元素作用在雙曲平面是平移，在閔可夫斯基空間上的作用是洛倫茲遞升。

模群的雙曲型元素作用在環面上是阿諾索夫微分同胚（Anosov diffeomorphism）。

拓撲和萬有覆蓋

做為一個拓撲空間，PSL₂(R) 可以描述為雙曲平面的單位切叢，這是一個圓叢，有由雙曲平面上辛結構誘導的自然切觸結構。SL₂(R) 是 PSL₂(R) 的二重覆蓋，可以認為是雙曲平面上的旋量叢。

SL₂(R) 的基本群是無限循環群 ℤ。其萬有覆蓋群記做 ${\overline {{\mbox{SL}}_{2}(\mathbb {R} )}}$，是一個有限維李群但不是矩陣群。即 ${\overline {{\mbox{SL}}_{2}(\mathbb {R} )}}$ 沒有忠實有限維表示。

做為一個拓撲空間，${\overline {{\mbox{SL}}_{2}(\mathbb {R} )}}$ 是雙曲平面上一個線叢。若賦予一個左不變度量，3-流形 ${\overline {{\mbox{SL}}_{2}(\mathbb {R} )}}$ 成為瑟斯頓八幾何之一。例如，${\overline {{\mbox{SL}}_{2}(\mathbb {R} )}}$ 是任何雙曲曲面的單位切叢的萬有覆蓋。任何以 ${\overline {{\mbox{SL}}_{2}(\mathbb {R} )}}$ 為模型的流形是可定向的，也是一個二維雙曲軌形上的圓叢（一個塞弗特纖維空間（Seifert fiber space））。

代數結構

SL₂(ℝ) 的中心是兩個元素的群 {-1,1}，商 PSL₂(ℝ) 是單群。

PSL₂(ℝ) 的離散子群稱為富克斯群（Fuchsian group）。他們是歐幾里得壁紙群（wallpaper group）和飾帶群（Frieze group）的雙曲類比。最有名的是模群 PSL₂(ℤ)，它作用在雙曲平面由理想三角形形成的嵌圖上。

圓群SO(2)是 SL₂(ℝ) 的一個極大緊子群，圓 SO(2)/{-1,+1} 是 PSL₂(ℝ) 的一個極大緊子群。

PSL₂(ℝ) 的舒爾乘子（Schur multiplier）是 ℤ，萬有中心擴張與萬有覆蓋群相同。

表示理論

主條目：SL2(R)的表示理論

SL₂(ℝ) 是一個實非緊單李群，也是復李群 SL₂(ℂ) 的分裂實形式。SL₂(ℝ) 的李代數記做 sl₂(ℝ)，是所有跡為零的 2×2 實矩陣。 它是 VIII 型比安基代數。

SL₂(ℝ) 的有限維表示理論等價於SU(2)的表示理論，這是 SL₂(ℂ) 的緊實形式。特別地 SL₂(ℝ) 沒有非平凡有限維酉表示。

SL₂(ℝ) 的無限維表示理論相當有意思。這個群有多類酉表示，這被蓋爾范德、奈馬克 (1946)、巴格曼 (1947)、Harish-Chandra (1952) 詳細地解決了。

另見

• 線性群
• 特殊線性群
• 射影線性群（projective linear group）
• 雙曲等距（hyperbolic isometry）
• 模群（modular group）
• 莫比烏斯變換
• 射影變換
• 富克斯群（Fuchsian group）
• 李群列表（Table of Lie groups）

參考文獻

• V. Bargmann, Irreducible Unitary Representations of the Lorentz Group，The Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 48, No. 3 (Jul., 1947), pp. 568-640
• Gelfand, I.; Neumark, M. Unitary representations of the Lorentz group. Acad. Sci. USSR. J. Phys. 10, (1946), pp. 93--94
• Harish-Chandra, Plancherel formula for the 2×2 real unimodular group. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 38 (1952), pp. 337--342
• Serge Lang, SL2(R). Graduate Texts in Mathematics, 105. Springer-Verlag, New York, 1985. ISBN 0-387-96198-4
• William Thurston. Three-dimensional geometry and topology. Vol. 1. Edited by Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. x+311 pp. ISBN 0-691-08304-5