算子理論

數學中，算子理論（operator theory）是對函數空間上線性算子的研究，始於微分算子和積分算子。算子可按特徵抽象地表示，例如有界線性算子和閉算子，也可以考慮非線性算子。研究在很大程度上依賴於函數空間的拓撲，是泛函分析的分支。

若算子集合構成域上的代數，則就是算子代數。對算子代數的描述是算子理論的一部分。

單算子理論

單算子理論涉及算子的性質與分類，如據譜分類正規算子。

算子的譜

譜定理是關於線性算子或矩陣的一系列結果中的任意一個。^[1]廣義地說，譜定理提供了算子或矩陣可對角化的條件（即在某個基下可表為對角矩陣），這概念對有限維空間上的算子來說比較簡單，但對無限維則要進行修改。總的來說，譜定理確定了一類可用乘法算子建模的線性算子，後者非常簡單。更抽象地說，譜定理是關於交換C*-代數的一個聲明。

譜定理適用的算子包括自伴算子，更一般地說是希爾伯特空間上的正規算子。譜定理還提供了算子作用的底向量空間的規範分解，稱作譜分解、特徵值分解或特徵分解。

正規算子

復希爾伯特空間H上的正規算子是連續線性算子 $N:\ H\to H$ ，可與其埃爾米特伴隨N*交換： $NN^{*}=N^{*}N$ 。^[2]

正規算子之所以重要，是因為譜定理對其成立。如今，人們對正規算子類已有了很好了解。正規算子的例子有

么正算符： $N^{*}=N^{-1}$
厄米算子（即自伴算子 $N^{*}=N$ 和反自伴算子 $N^{*}=-N$ ）
正算子： $N=MM^{*}$
如將希爾伯特空間視作 $\mathbb {C} ^{n}$ ，則正規矩陣可視作正規算子。

譜定理可推廣到更一般的矩陣。令A為有限維內積空間上的算子，則若 $A^{*}A=AA^{*}$ ，則稱其正規。可以證明，若且唯若A可酉對角化時，A正規：由舒爾分解，有 $A=UTU^{*}$ ，其中U是酉矩陣，T是上三角陣。由於A正規， $TT^{*}=T^{*}T$ ，因此T一定是對角陣，因為正規上三角陣是對角陣。反之亦然。

也就是說，若且唯若存在酉矩陣U，使 $A=UDU^{*}$ 其中D是對角矩陣時，A正規。那麼，D的對角線項就是A的特徵值；U的列向量就是A的特徵向量，且都正交。不同於厄米矩陣，D的項不必是實數。

極分解

任意有界線性算子A在復希爾伯特空間之間的極分解都可典範分解為部分等距與非負算子之積。^[3]

矩陣極分解概括如下：若A是有界線性算子，則有唯一的分解 $A=UP$ ，其中U是部分等距（partial isometry），P是非負自伴算子，U的初始空間是P的範圍閉包。

算子U 由於以下問題要弱化為部分等距，而非酉矩陣。若A是 $I^{2}(\mathbb {N} )$ 上的單側移位算子，則 $|A|=(A^{*}A)^{1/2}=I$ ，因此若 $A=U|A|$ ，則U一定是A而A不是酉的。

極分解的存在來自道格拉斯引理：

引理 — 若A、B是希爾伯特空間H上的有界算子，且滿足 $A^{*}A\leq B^{*}B$ ，則存在一個收縮（contraction）C，使 $A=CB$ 。此外，若 ${\rm {Ker}}(B^{*})\subset {\rm {Ker}}(C)$ ，則C是唯一的。

算子C的定義為 $C (Bh) = Ah$ ，通過連續性擴張到閉包 ${\rm {Ran}}(B)$ ，並在其正交補上為零。算子C是良定義的，因為 $A^{*}A\leq B^{*}B$ 意味着 ${\rm {Ker}}(B)\subset {\rm {Ker}}(A)$ ，因此可得出此引理。

特別地，若 $A^{*}A=B^{*}B$ ，則C是部分等距；若還有 ${\rm {Ker}}(B^{*})\subset {\rm {Ker}}(C)$ ，則是唯一的。一般來說，對任意有界算子A， $A^{*}A=(A^{*}A)^{\frac {1}{2}}(A^{*}A)^{\frac {1}{2}},$ 其中 $(A^{*}A)^{1/2}$ 是通常函數演算給出的唯一正 ${\sqrt {A^{*}A}}$ 。所以，根據引理有 $A=U(A^{*}A)^{\frac {1}{2}}$ 對某部分等距U，若 ${\rm {Ker}}(A)\subset {\rm {Ker}}(U)$ 則是唯一的。（注意 ${\rm {Ker}}(A)={\rm {Ker}}(A^{*}A)={\rm {Ker}}(B)={\rm {Ker}}(B^{*}B),\ B=B^{*}=(A^{*}A)^{1/2}.$ ）取 $P=(A^{*}A)^{1/2}$ ，可得極分解 $A=UP$ 。注意，可用類似論證證明 $A=P'U'$ ，其中P' 是正的，U' 是部分等距。

'H有限維時，U可以擴展為酉算子；但一般情形下並非如此（見上例）。另外，極分解可用算子的奇異值分解來表示。

根據連續函數演算的性質， $|A|$ 在由A生成的C*-代數中。對部分等距有類似但較弱的陳述：極部分U在由A生成的馮諾依曼代數中。若A可逆，則U也在A生成的C*-代數中。

與複分析的聯繫

算子理論研究的很多算子都是全純函數希爾伯特空間上的算子，因此其與泛函理論中的問題密切相關。例如，伯林定理用內函數描述了單側移位的不變子空間，其中內函數是單位圓盤上的有界全純函數，么模邊界值在圓上幾乎無處不在。伯林將單側移位解釋為自變量在哈代空間的乘法運算。^[4]對乘法算子及更一般的特普利茨算子（即乘法，然後投影到哈代空間）的成功激發了對其它空間（如博格曼空間）類似問題的研究。

算子代數

算子代數使C*-代數等代數成為人們關注的焦點。

C*-代數

C*-代數A是複數域上的巴拿赫代數，以及映射 ${}^{*}:\ A\to A$ 。x*表示A的元素x的像。映射*具有以下性質：^[5]

是對合， $\forall x\in A:$ $x^{**}=(x^{*})^{*}=x$
$\forall x,\ y\in A:$ $(x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}$ $(xy)^{*}=y^{*}x^{*}$
$\forall \lambda \in \mathbb {C} ,\ \forall x\in A:$ $(\lambda x)^{*}={\overline {\lambda }}x^{*}.$
$\forall x\in A:$ $\|x^{*}x\|=\left\|x\right\|\left\|x^{*}\right\|.$

備註前三條等式表示A是*-代數。最後一條稱作C*等式，等價於 $\|xx^{*}\|=\|x\|^{2},$

C*等式是非常強的要求。例如，結合譜半徑公式，可知C*範數是由代數結構唯一決定的： $\|x\|^{2}=\|x^{*}x\|=\sup\{|\lambda |:x^{*}x-\lambda \,1{\text{ is not invertible}}\}.$

另見

不變子空間
函數演算
譜理論
- Resolvent formalism（英語：Resolvent formalism）
緊算子
- 積分方程的弗雷德霍姆理論

參考文獻

^ Sunder, V.S. Functional Analysis: Spectral Theory (1997) Birkhäuser Verlag
^ Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray, Linear algebra 2nd, Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, Inc.: 312, 1971, MR 0276251
^ Conway, John B., A Course in Operator Theory, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, 2000, ISBN 0821820656
^ Nikolski, N., A treatise on the shift operator, Springer-Verlag, 1986, ISBN 0-387-90176-0 . A sophisticated treatment of the connections between Operator theory and Function theory in the Hardy space.
^ Arveson, W., An Invitation to C*-Algebra, Springer-Verlag, 1976, ISBN 0-387-90176-0 . An excellent introduction to the subject, accessible for those with a knowledge of basic functional analysis.

延伸閱讀

Conway, J. B.: A Course in Functional Analysis, 2nd edition, Springer-Verlag, 1994, ISBN 0-387-97245-5
Yoshino, Takashi. Introduction to Operator Theory. Chapman and Hall/CRC. 1993. ISBN 978-0582237438.

外部連結

History of Operator Theory （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

[1] Sunder, V.S. Functional Analysis: Spectral Theory (1997) Birkhäuser Verlag

[2] Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray, Linear algebra 2nd, Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, Inc.: 312, 1971, MR 0276251

[3] Conway, John B., A Course in Operator Theory, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, 2000, ISBN 0821820656

[4] Nikolski, N., A treatise on the shift operator, Springer-Verlag, 1986, ISBN 0-387-90176-0 . A sophisticated treatment of the connections between Operator theory and Function theory in the Hardy space.

[5] Arveson, W., An Invitation to C*-Algebra, Springer-Verlag, 1976, ISBN 0-387-90176-0 . An excellent introduction to the subject, accessible for those with a knowledge of basic functional analysis.

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