數學計算機科學中,數學對象標準形規範形是將該對象作為表達式呈現的標準方式。通常來說,它提供了對象的最簡單的表示,並允許以獨特的方式識別。「規範(canonical)」與「標準(normal)」的區別因領域而異,大多數時候規範形都規定了對象的唯一表示形式,而標準形則不要求唯一性。[1]

多重集為規範形進行算法易位構詞遊戲測試:以C語言數組形式給出字符串「madam curie」「radium came」。通過排序,將每個字符串竄轉為規範形。由於兩個字符串排序後完全相同,因此原字符串實為彼此的變形。

小數表示,自然數的規範形是不以0開頭的有限數字序列。更一般地說,對於定義了等價關係的一類對象,規範形包括每類中的特定對象。例如

在計算機科學與計算機代數中,在計算機中有很多方法表示同一個數學對象。這時,規範形是對每個對象都有唯一表示的表示法(典型化是將某種表示轉換為規範形的過程。因此,測試兩個對象的規範形是否相等,便可輕鬆地驗證它們是否等價。 規範形經常依賴於任意選擇(如變量排序),給測試兩個對象是否等價的獨立計算帶來困難。因此,在計算機代數中,標準形是很弱的概念:標準形中,0的表示是唯一的,因此可以通過對兩個對象作差、置於標準形中,來檢驗它們是否相等。

規範形也可以指以自然(規範)方式定義的微分形式

定義

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給定對象集合S以及其上的等價關係R ,則指定S中的一些對象為「規範形」,這樣所考慮的每個對象都等價於規範形的某個對象。換句話說S中的規範形代表一類等價類。要檢驗兩個對象是否等價,只需檢驗其規範形是否等價。 因此,規範形提供了分類定理,還為類中的對象提供了代表形式。

形式上,集合S上等價關係R的規範化是一個映射c:SS,對所有ss1s2S

  1. c(s) = c(c(s))   (冪等性);
  2. s1 R s2,若且唯若c(s1) = c(s2)   (決定性);
  3. s R c(s)  (代表性)。

性質3是冗餘的:將性質2應用於性質1即可得出。

在實際應用中,能識別規範形往往是有利的。還有一個實際的算法問題需要考慮:如何將S中的給定對象s轉換為規範形式s*?規範形一般用於更有效地運算等價類。例如,模算術中,同餘類的規範形通常是其中的最小非負整數。類運算可以組合這些代表形,並將結果還原為最小非負餘數。 唯一性要求有時會被放寬,允許形式在更精細的等價關係下是唯一的。

規範形可能只是慣例,也可能來自定理。例如,多項式在書寫時通常按冪次遞減:如x2 + x + 30,而非x + 30 + x2。相對地,矩陣的若爾當標準形來自定理。

示例

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大數記號

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標準形用於書寫極大的數字,其中最知名的是科學計數法[2]

數論

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  • 正整數的規範表示
  • 連分數的標準形

線性代數

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對象 A等價於B的條件 規範形 註釋
複數正規矩陣  酉矩陣U 對角矩陣(重排序) 譜定理
複數矩陣  ,酉矩陣U、V 元素為正實數的對角陣(降序) 奇異值分解
代數閉域矩陣  非奇異方陣P 若爾當標準形(塊重排序)
代數閉域矩陣  ,非奇異方陣P 韋爾規範形(塊重排序)
域矩陣  ,非奇異方陣P 弗羅貝尼烏斯標準形
主理想域矩陣  ,非奇異方陣P、Q 史密斯標準形 可逆的基本行列變換不影響等價性
整數矩陣  么模矩陣U 埃爾米特標準形
整數模n矩陣 豪厄爾標準形
K上的有限維向量空間 A、B作為向量空間同構  n為非負整數

代數

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對象 A等價於B的條件 標準形
有限生成R-模,R主理想域 A、B作為R-模同構 初等分解(重排序)或不變因子分解

幾何

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解析幾何中:

  • 直線方程:Ax + By = C,而 A2 + B2 = 1(C ≥ 0)
  • 圓方程: 

方程還有其他書寫形式。例如,直線方程可以寫作點斜式和斜截式的一次方程

凸多胞形可以表示為標準形:

  • 所有面都是平的;
  • 所有邊都與單位球面相切;
  • 多面體的中心店位於原點。[3]

可積系統

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所有可微流形都有餘切叢,總可以被賦予某種微分形式,稱為重言1形式。這種形式使餘切叢具有辛流形的結構,並允許流形上的向量場通過歐拉-拉格朗日方程哈密頓力學進行積分,這種可積的微分方程系統稱為可積系統

動力系統

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動力系統研究與可積系統有所重合;在動力系統研究中,我們也有標準形的概念。

三維幾何

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三維流形研究中,有第一基本形式第二基本形式第三基本形式

函數分析

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對象 A、B等價的條件 標準形
希爾伯特空間 A、B均為有限維希爾伯特空間,則A、B保距同構。  數列空間(將索引集I換為另一個等索引集的意義上)
有單位(unit)的可交換C*-代數 A、B作為C*-代數同構 豪斯多夫空間上的連續函數代數 ,與基空間同胚的意義上。

經典邏輯

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集合論

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改寫系統

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改變公式的形式的符號操作稱為公式的「改寫」(rewriting)。可以研究可對公式進行有效操作的規則集合,以研究公式改寫的抽象性質,也就是「改寫規則」——抽象改寫系統的一個部分。常見問題是,有沒有可能將某些通用表達式變為一種單一的、通用的形式,即標準形。若不同的改寫序列仍能得到相同的形式,則這種形式就可稱為標準形,改寫則稱為匯合(confluent)。標準形不總可得。

λ演算

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  • 若不能進行beta還原,則lambda項就是Beta範式λ演算是抽象改寫系統的一種特殊情況。例如,在無類型的lambda演算中, 項沒有標準形。在有類型的lambda演算中,每個形式良好的項都可改寫為標準形。

圖論

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圖論中,圖規範化是找到給定圖G的規範形的過程。圖的規範形是與G圖同構有標號圖Canon(G),這樣,與G同構的圖都具有與G相同的規範圖,也就實現了圖同構的判斷。

計算 (計算機科學)

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計算中,將數據還原為任一種規範形通常稱為「數據規範化」(data normalization)。

例如,數據庫規範化是對關係數據庫字段數據庫表進行調整,以儘量減少數據冗餘與依賴的過程。[4]軟件安全領域,常見的漏洞是未經檢查的惡意輸入(參見代碼注入),解決方法是進行適當的數據確認。在進行輸入驗證之前,通常會通過消除編碼(如HTML字符編碼)和將其化為單一通用字符編碼的方式進行正規化處理。 其他形式的數據(通常與信號處理,包括音頻圖像,以及機器學習)也可以進行規範化處理,以將數值範圍框定得有限。

內容管理中適用單一信源(SSOT)的概念,與數據庫規範化軟件開發相仿。功能強大的內容管理系統可以提供獲取單一信源的合理方法,例如嵌入

另見

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註釋

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  1. ^ 有時「規範」與「標準」可以互換,如若爾當規範形與若爾當標準形(見MathWorks上的若爾當標準形頁面存檔備份,存於互聯網檔案館))。
  2. ^ Big Numbers and Scientific Notation. Teaching Quantitative Literacy. [2019-11-20]. (原始內容存檔於2023-03-26) (英語). 
  3. ^ Ziegler, Günter M., Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics 152, Springer-Verlag: 117–118, 1995, ISBN 0-387-94365-X 
  4. ^ Description of the database normalization basics. support.microsoft.com. [2019-11-20]. (原始內容存檔於2019-05-23). 

參考文獻

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  • Shilov, Georgi E., Silverman, Richard A. , 編, Linear Algebra, Dover, 1977, ISBN 0-486-63518-X .
  • Hansen, Vagn Lundsgaard, Functional Analysis: Entering Hilbert Space, World Scientific Publishing, 2006, ISBN 981-256-563-9 .