多重線性代數

在數學中，多重線性代數推廣了線性代數的方法。和線性代數一樣也是建立在向量的概念上，發展了向量空間的理論。在應用上，出現了許多類型的張量。該理論全面囊括了一系列空間以及它們之間的關係。

多重線性代數方式的歷史背景

這個學科本身有許多不同的起源可以追溯到十九世紀的數學，但是稱之為張量分析，或張量計算或張量場。張量在微分幾何、廣義相對論以及許多應用數學分支中的應用發展起來。大約在20世紀中葉，張量的研究轉向抽象。布爾巴基學派的專著《多重線性代數》特別流行；事實上，也許「多重線性代數」便是由此發明的。

原因之一是當時在同調代數這個新領域的應用。20世紀40年代代數拓撲的發展給純代數方式處理張量積注入了新的活力。兩個空間的積同調群的計算涉及到張量積；但是只在最簡單的情形，比如環面是直接算出來的（參見萬有係數定理）。細微的拓撲現象要求一種更好的概念；從技術上說，需要定義Tor函子。

該材料組織得很廣泛，包括追溯到赫爾曼·格拉斯曼的想法，從微分形式理論導致了德拉姆上同調中的想法，以及一些更初等的想法比如楔積（推廣了叉積）。

布爾巴基將結論以相當苛刻的方式，完全拒絕向量分析中一種處理方式（四元數方法，即，在一般情形，和李群的關係）。他們轉而應用一種利用範疇論的新方式，從李群處理方式的觀點來看是一種獨立的方法。由於這導致了一種更清晰的處理方式，它們可能在純數學術語中沒有對應物。（嚴格地說，涉及到泛性質方式；這似乎比範疇論更一般，而這兩個交替方式的關係也在同一時間被理清了。）

事實上他們所做的是準確的解釋了「張量空間」是將多重線性問題簡化為線性問題的建構。這種純代數挑戰沒有提供幾何直觀。

將問題重新表述成多重線性代數術語是有好處的，這裏有清楚的和良定義的「最好解」：解的限制恰好是你事實上所需要的。一般沒有必要引入任何特殊的構造，幾何概念或依賴於坐標系。在範疇理論術語中，一切都是完全自然的。

抽象方法的總結

原則上抽象方法可以重新獲得通過古典方法得到的一切。在實踐中可能並不簡單。另一方面，「自然」這一概念和廣義相對論中的廣義協變性原理一致。後者處理張量場（流形上逐點變化的張量），但是協變性斷言張量語言對廣義相對論的恰當表述是不可缺少的。

幾十年以後，來自範疇論中相當抽象觀點與20世紀30年代赫爾曼·外爾（在他有名的和非常難的著作《經典群》）發展的方法密切相關。在某種方式上，這使理論成為一個圓圈，再次連接了新舊兩種觀點。

多重線性代數議題

本文中所涉及到的題材遠少於當前的發展，下面是與之密切相關的一些條目：

更多參見：張量理論術語

從應用觀點看

多重線性代數以多種不同的形態出現在應用中：