弗洛爾同調

數學中，弗洛爾同調是一種研究辛幾何與低維拓撲的工具。弗洛爾同調是有限維莫爾斯同調的無窮維類似物，是一種新穎的不變量。安德烈斯·弗洛爾先後提出了多種構造：

在證明辛幾何的阿諾德猜想時，提出了弗洛爾同調的第一個版本，現在稱作拉格朗日弗洛爾同調；
為辛流形的拉格朗日子流形提出了密切相關的理論；
利用楊-米爾斯泛函，將同調群與閉3維流形聯繫起來。

這些構造及其後代在目前的辛流形、切觸流形及（光滑）3、4維流形的拓撲學發揮着重要作用。

弗洛爾同調的定義通常是將無限維流形與其上的實值函數關聯起來。在辛的背景下，這是辛流形的自由閉路空間與辛作用泛函。3維流形的（瞬子）版本，則是3維流形上帶陳-西蒙斯泛函的SU(2)-聯絡空間。粗略地講，弗洛爾同調是無限維流形上函數的莫爾斯同調。函數臨界點（的特定集合）張成的阿貝爾群形成了弗洛爾鏈復形。鏈復形的微分由計算連接某些臨界點對（的集合）的函數梯度流線定義。弗洛爾同調是此鏈復形的同調。

在可以成功應用弗洛爾思想的情形下，梯度流線方程通常是有幾何意義的解析可處理方程。對於辛弗洛爾同調，閉路空間中路徑的梯度流方程是圓柱體（閉路路徑的總空間）到待研究辛流形的映射的柯西-黎曼方程（的擾動版本），解是偽全純曲線。然後運用格羅莫夫緊性定理，證明微分是良定義的，且平方為零，這樣就定義了弗洛爾同調。瞬子弗洛爾同調的梯度流方程正是與實線交叉的3為流形上的楊–米爾斯方程。

辛弗洛爾同調

辛弗洛爾同調（SFH）是與辛流形及其非退化辛同胚相關聯的同調論。若辛同胚是哈密頓的，則此同調來自辛流形自由閉路空間（的萬有覆疊）上的辛作用泛函。SFH在辛同胚的哈密頓同痕下不變。

當中，非退化指1不是辛同胚的導數在任意定點上的特徵值，意味着定點是孤立的。SFH是由這種辛同胚的不動點生成的鏈復形的同調，當中微分計算了實線與辛同胚的映射環面之積中的某些偽全純曲線。這本身就是一個辛流形，維度比原流形大2。在適當的殆復結構選擇下，其中（有限能量的）有孔全純曲線的圓柱末端漸進於映射環面中與辛同胚不動點對應的閉路。不動點對之間可以定義相對指標（relative index），微分計算相對指標為1的全純圓柱數量。

緊流形的哈密頓辛同胚的辛弗洛爾同調同構於底流形的奇異同調。於是，流形的貝蒂數之和會產生阿諾德猜想的一版本所預測的非退化辛同胚的定點數下界。哈密頓辛同胚的SFH還有褲對（pair of pants）積，是等價於量子上同調的變形上積。此積的一個版本對非正合辛同胚也存在。

對流形M的餘切叢，由於其非緊性，弗洛爾同調取決於哈密頓量的選擇。對於在無窮遠處為二次的哈密頓量，弗洛爾同調是M的自由閉路空間的奇異同調（這一說法的各種版本證明由Viterbo、Salamon–Weber、Abbondandolo–Schwarz、Cohen做出）。餘切叢的弗洛爾同調上還有更複雜的運算，對應底流形閉路空間同調上的弦拓撲運算。

辛弗洛爾同調在提出同調鏡像對稱猜想上起着關鍵作用。

PSS同構

1996年，S. Piunikhin、D. Salamon、M. Schwarz總結了弗洛爾同調與量子上同調的關係，表述如下。Piunikhin, Salamon & Schwarz (1996)

半正定辛流形 $(M,\ \omega )$ 閉路空間的弗洛爾上同調群自然同構於M的普通上同調，後者由與覆疊變換群相關聯的合適諾維科夫環張開（tensored）。
此同構將M的上同調上的量子上積結構與弗洛爾同調上的褲對積交織在一起。

辛流形M的半正定與緊性條件用於得到諾維科夫環，以及定義弗洛爾同調與量子上同調。半正定意味着以下條件之一成立（注意此三者是有關聯的）：

$\langle [\omega ],A\rangle =\lambda \langle c_{1},A\rangle ,\ \forall A\in \pi _{2}(M),\ \lambda \geq 0$ （M單調）
$\langle c_{1},A\rangle =0,\ \forall A\in \pi _{2}(M)$ 。
最小陳數 $N\geq 0$ 定義為 $\langle c_{1},\pi _{2}(M)\rangle =N\mathbb {Z}$ 不小於 $n-2$ 。

辛流形M的量子上同調群可定義為普通上同調與諾維科夫環Λ的張量積，即

QH_{*}(M)=H_{*}(M)\otimes \Lambda .

弗洛爾同調的這個構造解釋了M上殆復結構的選擇與到弗洛爾同調的同構之間的獨立性，後者來自莫爾斯理論、偽全純曲線的思想，而同調與上同調之間的龐加萊對偶性是其背景。

3維流形的弗洛爾同調

閉 3-流形有幾種等價的弗洛爾同調。每種同調都會產生3類同調群，可以組成正合三角。3-流形中的扭結會在每個理論的鏈復形上導出一個濾子，其鏈同倫類是扭結不變量（其同調滿足的形式屬性，形式上類似於組合定義的科瓦諾夫同調）。

這些同調與4-流形的唐納森與塞伯格不變量、辛4-流形的陶布斯的格羅莫夫不變量關係密切；考慮3-流形交叉R上相關微分方程（分別是楊-米爾斯、塞伯格-威滕、柯西-黎曼方程）的解，可以研究這些理論對應的3-流形同調的微分。3-流形弗洛爾同調也應是有界4-流形相對不變量的目標，通過膠合構造與閉4-流形不變量相關，將有界3-流形的邊界粘合在一起可得後者（這與拓撲量子場論的概念密切相關）。對於赫戈弗洛爾同調，首先定義的是3-流形同調，之後根據它定義了閉4-流形不變量。

3-流形同調也可以擴展到有界3-流形：縫合弗洛爾同調(Juhász 2008)與有界弗洛爾同調(Lipshitz, Ozsváth & Thurston 2008)。它們與閉3-流形的不變量相關，是通過3-流形弗洛爾同調的膠合公式得到，可以描述為兩個有界3-流形沿邊界的並。

若3-流形配備了切觸結構，則其弗洛爾同調也配備了同調的特異元（distinguished element）。Kronheimer、Mrowka首先在塞伯格-威滕情形下引入了切觸元。Ozsvath、Szabo利用Giroux提出的切觸流形與開書分解的關係，為赫戈弗洛爾同調構造了切觸元，而在嵌入切觸同調中，它作為空集的同調類是自由的。（與其他三個不同，其定義需要切除同調。嵌入切觸同調見Hutchings (2009)）

這些理論都帶有先驗的相對級：Kronheimer、Mrowka（對SWF）、Gripp、Huang（對HF）、Hutchings（對ECH）（通過有向2-平面場的同倫類）將相對級提升為絕對級。Cristofaro-Gardiner證明了ECH與塞伯格-威滕弗洛爾同調之間的陶布斯同構保持這些絕對級不變。

瞬子弗洛爾同調

有與唐納森理論相關的3-流形不變量，是弗洛爾自己提出的，可用3-流形（更確切地說是同調3-球面）上主 SU(2)-叢的聯絡空間上的陳–西蒙斯泛函求得。其臨界點是平坦聯絡，流線是瞬子，即與實線交叉的3-流形上的反自對偶聯絡。瞬子弗洛爾同調可以視作卡松不變量的推廣，因為弗洛爾同調的歐拉示性數與卡松不變量一致。

在弗洛爾提出弗洛爾同調後不久，唐納森就意識到配邊會導出映射。這是拓撲量子場論結構的第一個例子。

塞伯格-威滕弗洛爾同調

塞伯格-威滕弗洛爾同調或單極弗洛爾同調是光滑3-流形（配備 ${\rm {spin}}^{c}$ 結構）的同調論，可以視作3-流形的U(1)聯絡上陳–西蒙斯–狄拉克泛函的莫爾斯同調。相關的梯度流方程對應於與實線交叉的3-流形上的塞伯格-威滕方程。等價地，鏈復形的生成子是3-流形與實線之積上塞伯格-威滕方程的平移不變解（稱作單極），微分計算3-流形與實線之積上塞伯格-威滕方程的解，在無窮處趨近於不變解。

Peter Kronheimer與Tomasz Mrowka在專著《單極與3-流形》（Monopoles and Three-manifolds）中嚴格構造了塞伯格-威滕-弗洛爾同調的一個版本，即單極弗洛爾同調。陶布斯證明，其同構於嵌入切觸同調。Manolescu (2003)、Frøyshov (2010)對有理同調3-球面給出了SWF的替代構造，是一致的。

赫戈弗洛爾同調

赫戈弗洛爾同調是Peter Ozsváth與Zoltán Szabó提出的具有 ${\rm {spin}}^{c}$ 結構的閉3-流形不變量，通過類似於拉格朗日弗洛爾同調的構造，利用空間的赫戈圖計算得來。Kutluhan, Lee & Taubes (2020)發表了赫戈弗洛爾同調與塞伯格-威滕弗洛爾同調同構的證明，Colin, Ghiggini & Honda (2011)發表了赫戈弗洛爾同調的加號版本（方向相反）與嵌入切觸同調同構的證明。

3-流形中的扭結會導出赫戈弗洛爾同調群上的濾子，而濾後的同倫類是一種強大的扭結不變量，稱作扭結弗洛爾同調，範疇化了亞歷山大多項式。扭結弗洛爾同調由Ozsváth & Szabó (2004)和Rasmussen (2003)獨立定義，用於探測扭結的虧格。運用赫戈分裂的網格圖，扭結弗洛爾同調可有一種組合構造，見Manolescu, Ozsváth & Sarkar (2009)。

在扭結上分支的S^3的二重覆疊的赫戈弗洛爾同調通過譜序列與科瓦諾夫同調相關聯(Ozsváth & Szabó 2005)。

赫戈弗洛爾同調的「帽」版本的組合描述見Sarkar & Wang (2010)。赫戈弗洛爾同調的「加」「減」版本、相關的Ozsváth–Szabó 4-流形不變量也有組合描述，見(Manolescu, Ozsváth & Thurston 2009)。

嵌入切觸同調

嵌入切觸同調是Michael Hutchings提出的一種3-流形不變量（具有接觸的第二同調類，對應塞伯格-威滕弗洛爾同調中 ${\rm {spin}}^{c}$ 結構的選擇），（克利福德·陶布斯證明）同構於塞伯格-威滕弗洛爾上同調，因此（Kutluhan, Lee & Taubes 2020、Colin, Ghiggini & Honda 2011證明）同構於赫戈弗洛爾同調的加版本（方向相反）。可以將其視作陶布斯格羅莫夫不變量（等價於塞伯格-威滕不變量）從閉辛4-流形到特定非緊辛4-流形（即與R交叉的切觸3-流形）的推廣。其構造類似於辛場論，因為是由某些閉里布軌道集生成的，其微分計算某些以里布軌道為端點的全純曲線，與SFT的不同之處在於里布軌道集的技術條件，以及不計算弗雷德霍姆指標為1的端點已知全純曲線，只計算同時滿足ECH指標給出的拓撲條件者，這尤其意味着所考慮的曲線（主要）是嵌入的。

韋因斯坦猜想：切觸3-流形有閉的里布軌道，對任意切觸形式、任意ECH非平凡的流形都成立。陶布斯運用與ECH密切相關的技術證明了猜想，這項工作的擴展產生了ECH與SWF之間的同構關係。ECH中的很多構造（包括其良定性）都依賴於這種同構(Taubes 2007)。 ECH的切觸元有特別好的形式：其是與里布軌道的空集相關聯的循環。嵌入切觸同調的類似物可定義在（有界）曲面的辛同胚的映射環面上，稱作周期弗洛爾同調，是對曲面辛同胚的辛弗洛爾同調的推廣。更廣義地說，它可根據3-流形上的任意穩哈密頓結構定義，後者與切觸結構類似，定義了一個非零向量場（里布向量場），Hutchings與Taubes證明了它們的韋因斯坦猜想，即它們總有閉的軌道（除非是2-環面的映射環面）。

拉格朗日交弗洛爾同調

辛流形兩橫截相交的拉格朗日子流形的拉格朗日弗洛爾同調是由兩子流形的交點生成的鏈復形的同調，其微分計算偽全純惠特尼圓盤。

給定辛流形的3個拉格朗日子流形 $L_{0},\ L_{1},\ L_{2}$ ，在拉格朗日弗洛爾同調上有積結構：

HF(L_{0},L_{1})\otimes HF(L_{1},L_{2})\rightarrow HF(L_{0},L_{2}),

是通過計數全純三角（三角的全純映射，頂點與邊映射到適當的交點與拉格朗日子流形）定義的。

Fukaya、Oh、Ono、Ohta發表了這方面的論文。Lalonde、Cornea最近關於「聚類同調」（cluster homology）的研究提供了另一種方法。一對拉格朗日子流形的弗洛爾同調不總存在，存在時就會阻礙用哈密頓同痕分離拉格朗日子流形。

有幾種弗洛爾同調是拉格朗日弗洛爾同調的特例。M的辛同胚的辛弗洛爾同調可視作是拉格朗日弗洛爾同調的一種情形，當中環境流形是與M交叉的M，拉格朗日子流形是辛同胚的對角和圖。赫戈弗洛爾同調的構造基於3-流形的赫戈分裂定義的全實子流形的拉格朗日弗洛爾同調的變體。Seidel–Smith、Manolescu構造了一個鏈不變量，作為拉格朗日弗洛爾同調的一種情形，與組合定義的鏈不變量——科瓦諾夫同調一致。

阿蒂亞–弗洛爾猜想

阿蒂亞–弗洛爾猜想將瞬子弗洛爾同調與拉格朗日交弗洛爾同調聯繫起來。^[1]考慮3-流形Y，赫戈分裂沿面 $\Sigma$ ，則 $\Sigma$ 模規範等價（gauge equivalence）上的平坦聯絡空間是 $6g-6$ 維辛流形 $M(\Sigma )$ ，其中g是面 $\Sigma$ 的虧格。赫戈分裂中， $\Sigma$ 綁定了兩個3-流形，各自的平坦聯絡模規範等價的有界空間作為拉格朗日子流形嵌入 $M(\Sigma )$ 。可以考慮拉格朗日交弗洛爾同調，也可以考慮3-流形Y的瞬子弗洛爾同調。阿蒂亞–弗洛爾猜想斷言，這兩個不變量同構。Salamon–Wehrheim與Daemi–Fukaya正在研究其證明。

與鏡像對稱的關係

馬克西姆·孔采維奇的同倫鏡像對稱猜想預言卡拉比-丘流形X中拉格朗日量的拉格朗日弗洛爾同調等價於鏡像卡拉比-丘流形上凝聚層的Ext群。這時，不應關注弗洛爾同調群，而應關注弗洛爾鏈群。與褲對積相似，可以利用偽全純n邊形構造多組分，其滿足 $A_{\infty }$ 關係，使辛流形中所有（無阻礙）拉格朗日子流形範疇變為 $A_{\infty }$ 範疇，稱作深谷範疇。

更精確地說，必須為拉格朗日量添加額外數據——分次與自旋結構。具有這些結構的拉格朗日量常稱作膜。同調鏡像對稱猜想認為，卡拉比-丘流形X的深谷範疇，與鏡像流形凝聚層的有界導出範疇的底微分分次範疇之間，有一類導出森田等價，反之亦然。

辛場論（SFT）

這是切觸流形與其間的辛配邊的不變量，最初由Yakov Eliashberg、Alexander Givental、Helmut Hofer提出。辛場論及其子復形、有理辛場論、切觸同調定義為微分代數的同調，由所選切觸形式的里布向量場的閉軌道生成。微分計算切觸流形上圓柱的特定全純曲線，其中的平凡例子是閉里布軌道上（平凡）圓柱的分支覆蓋。它還包括一種線性同調論，稱作圓柱或線性化切觸同調（有時濫用符號，只稱作切觸同調），其鏈群是由閉軌道生成的向量空間，微分只計算全純圓柱。但因為全純圓盤的存在以及缺乏正則性、橫截性結果，圓柱切觸同調不總有定義。在圓柱切觸同調有意義的情形下，可將其視作自由閉路空間上作用泛函的（稍有修改的）莫爾斯同調，其將閉路送到閉路上切觸形式alpha的積分上。里布軌道是這泛函的臨界點。 SFT還與切觸流形的勒讓德子流形的一個相對不變量有關，稱作相對切觸同調。其生成子是里布弦，即里布向量場在拉格朗日量上始終的軌跡，其微分計算切觸流形辛化中的某些全純條帶，其端點漸進於給定的里布弦。 SFT中，切觸流形可用具有辛同胚的辛流形的映射環面取代。圓柱切觸同調是良定義的，並由辛同胚之冪的辛弗洛爾同調給出，（有理）辛場論與切觸同調可視作推廣的辛弗洛爾同調。但若辛同胚是時間依賴哈密頓量的時1映射，則這些高等不變量並不包含任何進一步的信息。

弗洛爾同倫

構建某對象的弗洛爾同調論的一種可行方案是構建一個相關譜，其普通同調就是所需的弗洛爾同調。將其他同調論應用於這樣的譜，可得到其他有趣的不變量。這一策略由Ralph Cohen、John Jones、Graeme Segal提出，並由Manolescu (2003)在某些情形下用於塞伯格-威滕-弗洛爾同調，Cohen將其用於餘切叢的辛弗洛爾同調。這種方法是Manolescu (2013)構造Pin (2)-等價塞伯格–威滕弗洛爾同調的基礎，他以此推翻了維數不小於5的流形的三角猜想。

分析基礎

M其中許多弗洛爾同調還沒被完整嚴格地構造出來，很多猜想的等價關係也還沒有證明。進行相關分析時，尤其是構造偽全純曲線的緊化模空間時，會遇到技術困難。Hofer與Kris Wysocki和Eduard Zehnder合作，通過多流形（polyfold）理論和「一般弗雷德霍姆理論」發展了新的分析基礎。雖然多流形的詮釋尚未完成，但在一些重要案例中，橫截性可以更簡單地證明了。