楊輝三角形

楊輝三角形，又稱帕斯卡三角形、賈憲三角形、海亞姆三角形、巴斯卡三角形，是二項式系數的一種寫法，形似三角形，在中國首現於南宋楊輝的《詳解九章算法》得名，其在書中說明是引自賈憲的《釋鎖算書》，故又名賈憲三角形。前 9 行寫出來如下：

${\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\\1\quad 8\quad 28\quad 56\quad 70\quad 56\quad 28\quad 8\quad 1\\1\quad 9\quad 36\quad 84\quad 126\quad 126\quad 84\quad 36\quad 9\quad 1\\1\quad 10\quad 45\quad 120\quad 210\quad 252\quad 210\quad 120\quad 45\quad 10\quad 1\\\end{array}}$

楊輝三角形第 $n$ 層（頂層稱第 0 層，第 1 行，第 $n$ 層即第 $n+1$ 行，此處 $n$ 為包含 0 在內的自然數）正好對應於二項式 $\left(a+b\right)^{n}$ 展開的係數。例如第二層 1 2 1 是冪指數為 2 的二項式 $\left(a+b\right)^{2}$ 展開形式 $a^{2}+2ab+b^{2}$ 的係數。

性質

每個數是它左上方和右上方的數的和

各條線穿過的數之和均為斐波那契數

用楊輝三角形做成的謝爾賓斯基三角形

楊輝三角形以正整數構成，數字左右對稱，每行由1開始逐漸變大，然後變小，回到1。
楊輝三角形每一行的平方和在楊輝三角出現奇數次。
楊輝三角形第2的冪行所有數都是奇數^{[註 1]}，此為魯卡斯定理的特殊情況。
第 $n$ 行的數字個數為 $n$ 個。
第 $n$ 行的第 $k$ 個數字為組合數 $C_{k-1}^{n-1}$ 。
第 $n$ 行數字和為 $2^{n-1}$ ，因為第 $n$ 行是 $\left(1+1\right)^{n-1}$ 的二項展開。
第 $n$ 行的數字按順序寫下所形成的數字為 $11^{n-1}$ ，因為該數字是 $\left(10+1\right)^{n-1}$ 的二項展開。例如第二行 $11=11^{1}$ ，第三行 $121=11^{2}$ ，第四行 $1331=11^{3}$ ，第五行 $14641=11^{4}$ ，第六行 $161051=11^{5}$ （第六行之後需進位）。該規律可推廣至任何進位制，例如在九進制下： $121_{9}=100_{10}$ ， $1331_{9}=1000_{10}$ 。
除每行最左側與最右側的數字以外，每個數字等於它的左上方與右上方兩個數字之和（也就是說，第 $n$ 行第 $k$ 個數字等於第 $n-1$ 行的第 $k-1$ 個數字與第 $k$ 個數字的和）。這是因為有組合恆等式： $C_{n+1}^{k+1}=C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}$ 。可用此性質寫出整個楊輝三角形。
如果 $n$ 為質數，則第 $\left(n+1\right)$ 行的數中除了兩端的1以外均為 $n$ 的整數倍數。若 $n$ 為合數則不然。^{[註 2]}
按照該三角形的斜邊以及與之平行的斜線上的數所形成的數列為第 $\left(n-1\right)$ 維度的單純形數。即第一列全為1（0維），第二列為自然數形成的數列，第三列為三角形數形成的數列，第四列為四面體數形成的數列，第五列為五胞體數形成的數列，以此類推。
第 $p$ 行（第 $n$ 層）的所有的數的平方和為第 $\left(2p-1\right)$ 行（第 $2n$ 層）正中央的數字。可用該式得出 $\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2}={2n \choose n}$ 。例如第五行（第四層）所有的數的平方和 $1^{2}+4^{2}+6^{2}+4^{2}+1^{2}=70$ 是第九行（第八層）正中央的數字。
將三角形左端對齊之後，沿右斜45度的對角線方向（不改變三角形形狀的話則需要按照中國象棋的馬的走法）取得的數之和為斐波那契數。
將第奇數行正中央的數減去其左側（或右側）第二個數，得到的差為卡塔蘭數。
將楊輝三角形中所有的奇數與所有的偶數以不同顏色塗色的話，可以形成一個類似謝爾賓斯基三角形的圖形。

歷史

印度手稿中使用的 Meru Prastaara (मेरु प्रस्तार)，源自賓伽羅的公式。拉古納特圖書館J&K手稿；公元755年

朱世傑《四元玉鑒》中的「古法七乘方圖」

波斯數學家Al-Karaji和天文學家兼詩人歐瑪爾·海亞姆（عمر خیام,Omar Khayyám）在10世紀都發現了這個三角形，而且還知道可以藉助這個三角形找 $n$ 次根，和它跟二項式的關係。但他們的著作已不存。^[2]

11世紀北宋數學家賈憲發明了賈憲三角，並發明了增乘方造表法，可以求任意高次方的展開式係數。賈憲還對賈憲三角表（古代稱數字表為「立成」）的構造進行描述。^[3]賈憲的三角表圖和文字描寫，仍保存在大英博物館所藏《永樂大典》卷一萬六千三百四十四。

13世紀中國南宋數學家楊輝在《詳解九章算術》裏解釋這種形式的數表，並說明此表引自11世紀前半賈憲的《釋鎖算術》^[4]。

1303年元代數學家朱世傑在《四元玉鑒》卷首繪製《古法七乘方圖》^[5]。

意大利人稱之為「塔塔利亞三角形」（Triangolo di Tartaglia）以紀念在16世紀發現一元三次方程解的塔塔利亞。

布萊士·巴斯卡的著作Traité du triangle arithmétique（1655年）介紹了這個三角形。巴斯卡搜集了幾個關於它的結果，並以此解決一些概率論上的問題，影響面廣泛，皮埃爾·雷蒙·德蒙莫爾（1708年）和亞伯拉罕·狄默夫（1730年）都用巴斯卡來稱呼這個三角形。

歷史上曾經獨立繪製過這種圖表的數學家：

Karaji 和歐瑪爾·海亞姆波斯 10世紀（圖文無存）
賈憲中國北宋 11世紀《釋鎖算術》（圖文現存大英博物館所藏《永樂大典》）
楊輝中國南宋 1261《詳解九章算法》記載之功（圖文現存大英博物館所藏《永樂大典》）
朱世傑中國元代 1299《四元玉鑒》級數求和公式
阿爾·卡西阿拉伯 1427《算術的鑰匙》（現存圖文）
阿皮亞納斯德國 1527
施蒂費爾德國 1544《綜合算術》二項式展開式係數
薛貝爾法國 1545
B·巴斯卡法國 1654《論算術三角形》

中國數學家的研究

中國賈憲是賈憲三角的發明人，賈憲/楊輝稱之為「釋鎖求廉本源」，朱世傑稱之為「古法七乘方圖」（1303年），明代數學家吳敬《九章詳註比類算法大全》稱之為「開方作法本源」（1450年）；明王文素《算學寶鑑》稱之為「開方本源圖」（1524年）；明代程大位《算法統宗》稱之為「開方求廉率作法本源圖」（1592年）。清代梅文鼎《少廣拾遺》稱之為「七乘府算法」（1692年）；清代孔廣森《少廣正負術》稱之為「諸乘方乘率表」；焦循《加減乘除釋》稱之為「古開方本原圖」；劉衡《籌表開諸乘方捷法》稱之為「開方求廉率圖」；項名達《象數一原》稱之為「遞加圖」。偉烈亞力《數學啟蒙》稱之為「倍廉法表」；李善蘭《垛積比類》稱之為「三角垛表」。近代中算史家李儼稱之為「巴斯噶三角形」，但根據《永樂大典》指出「巴斯噶三角形」最早由賈憲使用。^[6]。著名數學家華羅庚，在1956年寫的一本通俗讀物《從楊輝三角談起》^[7]，將賈憲的《開方作法本源》稱為「楊輝三角」，首次將「巴斯噶三角形」迴歸宋代數學家名下；此後的中學數學教科書和許多數學科普讀物都跟隨之^[8]。另一方面，專業的中國數學史著作，都用「賈憲三角」這個稱呼。^[9]^[10]。

一個數在楊輝三角出現的次數

由1開始，正整數在楊輝三角形出現的次數為：∞,1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4, ... （OEIS:A003016）。最小而又大於1的數在賈憲三角形至少出現n次的數為2, 3, 6, 10, 120, 120, 3003, 3003, ... （OEIS:A062527）

除了1之外，所有正整數都出現有限次。
只有2出現剛好一次。
6,20,70等出現三次。
出現兩次和四次的數很多。
還未能找到出現剛好五次或七次的數。
120,210,1540等出現剛好六次。（OEIS:A098565）
- 因為丟番圖方程
  ${n+1 \choose k+1}={n \choose k+2},$
  有無窮個解^[11]，所以出現至少六次的數有無窮多個。
- 其解答，是

n=F_{2i+2}F_{2i+3}-1,\,

k=F_{2i}F_{2i+3}-1,\,

- 其中 $F_{n}$ 表示第 $n$ 個斐波那契數（ $F_{1}=F_{2}=1$ ）。
3003是第一個出現八次的數。

註釋

^ 亦即組合數 ${\binom {2^{a}-1}{b}}$ 恆為奇數，其中 $a$ 為非負整數， $b$ 為 $0,1,2,3,\cdots ,(2^{a}-1)$ 中的某一數。
^ 考慮二項式係數 ${\binom {p}{n}}={\frac {p!}{n!(p-n)!}}$ ，並限定n不為p或0，則由於分子有質數p，但分母不含p，故分子的p能保留，不被約分而除去，即 ${\binom {p}{n}}$ 恆為p的倍數^[1]。另見中一新生之夢。

參考文獻

^ How is (x+y)^p≡x^p+y^p mod p for any prime number p. Mathematics Stack Exchange. 2018-09-27 [2021-04-26]. （原始內容存檔於2022-03-25）（英語）.
^ Victor J. Katz, editor, The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam, A Sourcebook. Page 518, Princeton University Press 2007.
^ 郭書春著《中國科學技術史·數學卷》第十五章《唐中葉至元中葉熟悉概論》第357頁 （賈憲）創造《開發作法本源》即賈憲三角 科學出版社 2010
^ 《永樂大典》卷一萬六千三百四十四
^ 朱世傑原著李兆華校證《四元玉鑒校證》卷首《古法七乘方圖》第58頁科學出版社 2007 ISBN 978-7-03-020112-6
^ 李儼《中算家的巴斯噶三角形研究》《李儼.錢寶琮科學史全集》卷6，215-230頁
^ 華羅庚著《從楊輝三角談起》《數學通報叢書》科學出版社 1956年10月
^ 郭書春《中國科學技術史·數學卷》422頁第十八章第二節《賈憲三角》，科學出版社 2010
^ 吳文俊主編《中國數學史大系》第五卷 704頁
^ 郭書春《中國科學技術史·數學卷》第十八章第二節《賈憲三角》，科學出版社 2010
^ Singmaster, David, "Repeated Binomial Coefficients and Fibonacci numbers", Fibonacci Quarterly, volume 13, number 4, pages 296—298, 1975.

外部連結

楊輝三角形

參見

[1] 亦即組合數 ${\binom {2^{a}-1}{b}}$ 恆為奇數，其中 $a$ 為非負整數， $b$ 為 $0,1,2,3,\cdots ,(2^{a}-1)$ 中的某一數。

[3] 考慮二項式係數 ${\binom {p}{n}}={\frac {p!}{n!(p-n)!}}$ ，並限定n不為p或0，則由於分子有質數p，但分母不含p，故分子的p能保留，不被約分而除去，即 ${\binom {p}{n}}$ 恆為p的倍數^[1]。另見中一新生之夢。

[2] How is (x+y)^p≡x^p+y^p mod p for any prime number p. Mathematics Stack Exchange. 2018-09-27 [2021-04-26]. （原始內容存檔於2022-03-25）（英語）.

[4] Victor J. Katz, editor, The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam, A Sourcebook. Page 518, Princeton University Press 2007.

[5] 郭書春著《中國科學技術史·數學卷》第十五章《唐中葉至元中葉熟悉概論》第357頁 （賈憲）創造《開發作法本源》即賈憲三角 科學出版社 2010

[6] 《永樂大典》卷一萬六千三百四十四

[7] 朱世傑原著李兆華校證《四元玉鑒校證》卷首《古法七乘方圖》第58頁科學出版社 2007 ISBN 978-7-03-020112-6

[8] 李儼《中算家的巴斯噶三角形研究》《李儼.錢寶琮科學史全集》卷6，215-230頁

[9] 華羅庚著《從楊輝三角談起》《數學通報叢書》科學出版社 1956年10月

[10] 郭書春《中國科學技術史·數學卷》422頁第十八章第二節《賈憲三角》，科學出版社 2010

[11] 吳文俊主編《中國數學史大系》第五卷 704頁

[12] 郭書春《中國科學技術史·數學卷》第十八章第二節《賈憲三角》，科學出版社 2010

[singmaster1975-13] Singmaster, David, "Repeated Binomial Coefficients and Fibonacci numbers", Fibonacci Quarterly, volume 13, number 4, pages 296—298, 1975.

[註 1]

[註 2]

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