負數

小於0的實數

負數英文:Negative number),在數學上指小於0實數,如−2、−3.2和−807.5,與正數相對。負數本身是一個不可數無限集合。這個集合數學上通常用粗體R來表示。負數與0統稱非正數。

各式各樣的
基本

延伸
其他

圓周率
自然對數的底
虛數單位
無限大

負數的歷史

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負整數可以被認為是自然數的擴展,使得等式 對任意  都有意義。相對而言,其他數的集合都是從自然數通過逐步擴展得到的。

負數在表示小於 0 的值的時候非常有用。例如,在會計學上,它可以被用來表示負債,而且通常以紅色表示(若不帶負數符號則加上括號),所以又稱「赤字」。

自從漢代,中國數學家就已經了解負數和零的概念了。[1] 公元1世紀的《九章算術》說「正負術曰:同名相除,異名相益,正無入負之,負無入正之。其異名相除,同名相益,正無入正之,負無入負之。」[2](這段話的大意是「減法:遇到同符號數字應相減其數值,遇到異符號數字應相加其數值,零減正數的差是負數,零減負數的差是正數。」)。以上文字裏的「無入」通常被數學歷史家認為是零的概念。

儘管中國古人首先發現並應用了負數,但卻並沒有從理性方面討論負數存在的意義和本質,這可能是文化習慣導致的。對負數精確的定義,和其根本屬性的討論,是由近代西方數學家首先完成的。[3]

西方最早在數學上使用負數的文獻紀錄,是由古印度數學家婆羅摩笈多於公元628年完成的《婆羅摩歷算書英語Brāhmasphuṭasiddhānta》。它的出現是為了表示負資產或債務。在很大程度上,歐洲數學家直到17世紀[來源請求]才接受負數的概念。

符號函數

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在實數上可以定義這樣一個函數 ,它對正數取值為 1,負數取值為 −1,0 取值為 0。這個函數通常被稱為符號函數

 

 不為 0 時,則有:

 

這裏,  絕對值 單位階躍函數。請參見導數

負數的四則運算

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負數四則運算口訣
口訣 釋義
加法 減法 乘法 除法
被乘數 乘數 被除數 除數
a + (+b) = a + b
a + (b) = a b
a (+b) = a b
a (b) = a + b
負數四則運算口訣簡單版
兩個符號一樣 兩個符號不同
得正 得負

加法

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上一個負數相當於去其相反數

 
 

減法

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一個較大的正數減去一個較小的正數將得到一個正數

一個較小的正數減去一個較大的正數將得到一個負數:

 
 
 

任意負數減去一個正數總得到一個負數:

 

減去一個負數相當於加上相應的正數:

 
 

乘法

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一個負數和一個正數相得到一個負數: 。這裏,乘法可以被看作是多次加法的重複: 

兩個負數相乘得到一個正數: 。這裏,乘法不能再被看作是多次加法的重複了,而是為了使乘法滿足分配律

 

等式的左邊為 。等式的右邊為 。為了使兩邊相等,必須要 

除法

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除法和乘法類似。若被除數除數有不同的符號,結果是一個負數:

 
 

若被除數和除數有相同的符號(就算他們均為負),結果是一個正數:

 

參見

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參考資料及註釋

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  1. ^ Wáng, Qīngxiáng, Sangi o koeta otoko (The man who exceeded counting rods), Tokyo: Tōyō Shoten, 1999, ISBN 4-88595-226-3 
  2. ^   九章算術. 維基文庫. 中國 (中文). 
  3. ^ HPM通訊第二期. [2018-04-19]. (原始內容存檔於2020-01-29).