主理想定理

在数学中，类域论(代数数论的一个分支)的主理想定理指出，理想的扩张给出了从代数数域的类群到其希尔伯特类域的类群的映射，从而将所有理想类送到主理想类。这种现象也被称为主理想化。

正式命题

对于任何代数数域K和K的整数环中的任何理想I ，如果L是K的希尔伯特类域，则

$IO_{L}\$

是主理想$\alpha O_{L}$ ，此处，$O_{L}$为L的整数环且$\alpha$为$O_{L}$中的元素 。

历史

大卫·希尔伯特于1902年给出主理想定理的猜想 ，这是他的类域论计划的最后一部分并于1929年完成。

埃米尔 阿廷 （1927, 1929）将主理想定理简化为关于有限阿贝尔群的问题: 他证明了如果从有限群到交换子群的转移平凡的则主理想定理成立。这个结果由菲利浦·富特文勒于1929年证明。

参考

• Artin, Emil, Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 1927, 5 (1): 353–363, doi:10.1007/BF02952531 
• Artin, Emil, Idealklassen in Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetz, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 1929, 7 (1): 46–51, doi:10.1007/BF02941159 
• Furtwängler, Philipp. Beweis des Hauptidealsatzes fur Klassenkörper algebraischer Zahlkörper. Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. 1929, 7: 14–36. JFM 55.0699.02. S2CID 123544263. doi:10.1007/BF02941157. 
• Gras, Georges. Class field theory. From theory to practice. Springer Monographs in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag. 2003. ISBN 3-540-44133-6. Zbl 1019.11032. 
• Hilbert, David, Über die Theorie der relativ-Abel'schen Zahlkörper, Acta Mathematica, 1902, 26 (1): 99–131 [1898], doi:10.1007/BF02415486 
• Koch, Helmut. Algebraic Number Theory. Encycl. Math. Sci. 62 2nd printing of 1st. Springer-Verlag. 1997: 104. ISBN 3-540-63003-1. Zbl 0819.11044. 
• Serre, Jean-Pierre. Local Fields. Graduate Texts in Mathematics 67. 由Greenberg翻译. Springer-Verlag. 1979: 120–122. ISBN 0-387-90424-7. Zbl 0423.12016.