在物理学里,连续性方程(英语:continuity equation)是描述守恒量传输行为的偏微分方程。在适当条件下,质量能量动量电荷等都是守恒量,因此很多传输行为都可以用连续性方程来描述。

连续性方程是局域性的守恒定律方程。与全域性的守恒定律相比,这种守恒定律条件更强。本条目内的所有关于连续性方程的范例都表达了同样的思想──在任意区域内某种守恒量总量的改变,等于从边界进入或离去的数量;守恒量不能够增加或减少,只能够从某一个位置迁移到另一个位置。

每一种连续性方程都既可以用积分形式表达(使用通量积分),描述任意有限区域内的守恒量;也可以用微分形式表达(使用散度算符),描述任意位置的守恒量。其微分形式与积分形式通过散度定理相互关联。

概论

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微分形式

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一般的连续性方程的微分形式为

 

其中,  是某物理量   的密度(每单位体积的物理量),   的流量密度(每单位面积每单位时间的物理量)的矢量函数(vector function),   在每单位体积每单位时间的生成量。

假若   则称   为“源点”;假若   则称   为“汇点”。假设   是没有产生或湮灭的守恒量,(例如,电荷),则   ,连续性方程变为

 

从简单的“能量连续性方程”到复杂的纳维-斯托克斯方程,这方程可以用来表示任意连续性方程。该方程也是平流方程advection equation)的推广。

另一些物理学中的方程也具有类似连续性方程的数学形式,例如电场高斯定律引力场高斯重力定律。但是他们通常不被称为连续性方程,因为   并不代表真实物理量的流动。

积分形式

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在连续性方程的积分形式里,  是包住体积   的任意闭曲面。如同图内左边的曲面(以蓝色显示),  没有边界;而图内右边的曲面都有边界(以红色显示)。

根据散度定理,连续性方程可以写为等价的积分形式:

 

其中,  是包住体积   的任意固定(不随时间改变)闭曲面,  是在体积   内的   总量,  是在积分体积   内源点与汇点的总生成量每单位时间,  是微小面矢量积分元素。

举一简例,假设  台北101大楼  是在大楼内某时间的总人数,  是由门口、墙壁、屋顶、地基等等,共同组成的曲面,则连续性方程表明,当人们进入大楼时(代表穿过曲面的内向通量),或当大楼里面的孕妇生产时(代表源点的   ),在大楼里面的总人数会增加;而当人们离开大楼时(代表穿过曲面的外向通量),在大楼里面的总人数会减少。

电磁理论

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在电磁理论里,连续性方程可以视为一条经验定律,表达局域电荷守恒,或是从麦克斯韦方程组推导出的结果。“电荷连续性方程”表明,电荷密度   的变率与电流密度   的散度,两者的代数和等于零:

 

麦克斯韦-安培方程满足局域电荷守恒的连续性方程

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麦克斯韦-安培方程

 

其中, 磁场 电场 磁常数 电常数

取散度于方程的两边,由于旋度散度必是零,

 

高斯定律的方程为

 

将这方程代入,可以得到

 

电流是电荷的流量。连续性方程可以这样论述:假若电荷从某微小体积元素移动出去(电流密度的散度是正值),则在那微小体积元素内的总电荷量会减少,电荷密度的变率是负值。从这解释可以察觉,连续性方程就是电荷守恒。

四维电流

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四维电流密度定义为

 

其中,  标记时空坐标, 光速

电荷守恒可以简洁地由四维电流密度的散度表达,即连续性方程

 

其中, 

流体力学

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流体力学里,连续性方程表明,在任何稳定态过程中,质量进入物理系统的速率等于离开的速率。[1][2]。此时连续性方程与电路学基尔霍夫电流定律类似。“质量连续性方程”的微分形式为[1]

 

其中,  是流体质量密度,  是流速矢量场,两者相乘后为质量通量

假设流体是不可压缩流,则密度   是常数,质量连续性方程简化为体积连续性方程:[1]

 

这意味着,在所有位置,速度场的散度等于零;也就是说,局域的体积变率为零。

在另一方面,纳维-斯托克斯方程是一个矢量连续性方程,描述动量守恒

能量

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根据能量守恒,能量只能够传输,不能够生成或湮灭,这意味着“能量连续性方程”。这是在热力学定律Laws of thermodynamics)外,能量守恒的另一种数学表述,即,

 

其中,  是能量密度(单位体积的能量),  是能量通量矢量(数值大小为单位截面面积每单位时间传输的能量,方向为截面的外法线方向)。

根据傅里叶定律Fourier's law),对于均匀传导介质,

 

其中, 热导率 温度函数。

能量连续性方程又可写为热传导方程

 

量子力学

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量子力学里,从概率守恒可以得到“概率连续性方程”假设一个量子系统的波函数为   ,概率流  的定义为

 

其中, 约化普朗克常数  是质量,  共轭复数  是取括弧内项目的虚部

连续方程与概率守恒定律

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概率流满足量子力学的连续方程

 

其中,  是概率密度。

应用高斯公式,可以等价地以积分方程表示,

 (1)

其中,  是任意三维区域,   的边界曲面。

方程 (1) 左边第一个体积积分项(不包括对于时间的偏微分)是测量粒子位置时粒子在   内的概率。第二个曲面积分是概率流出   的通量。总之,方程 (1) 表明,粒子在三维区域   内的概率对于时间的微分,与其流出三维区域的概率   的通量,两者之和等于零。

连续方程推导

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测得粒子在三维区域   内的概率  

 

概率对于时间的导数是

 (2)

注意到  含时薛定谔方程

 

其中, 位势

将含时薛定谔方程代入方程 (2) ,可以得到

 

应用一则矢量恒等式,可以得到

 

这方程右手边第一项与第三项互相抵销,将抵销后的方程代入,

 

将概率密度方程与概率流定义式代入,

 

该等式对于任意三维区域   都成立,所以被积项目在任何位置都必须等于零:

 

参阅

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参考文献

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Pedlosky, Joseph. Geophysical fluid dynamics. Springer. 1987: 10–13. ISBN 9780387963877. 
  2. ^ Clancy, L.J.(1975), Aerodynamics, Section 3.3, Pitman Publishing Limited, London