連續性方程式

在物理學裏,連續性方程式(英語:continuity equation)是描述守恆量傳輸行為的偏微分方程式。在適當條件下,質量能量動量電荷等都是守恆量,因此很多傳輸行為都可以用連續性方程式來描述。

連續性方程式是局域性的守恆定律方程式。與全域性的守恆定律相比,這種守恆定律條件更強。本條目內的所有關於連續性方程式的範例都表達了同樣的思想──在任意區域內某種守恆量總量的改變,等於從邊界進入或離去的數量;守恆量不能夠增加或減少,只能夠從某一個位置遷移到另一個位置。

每一種連續性方程式都既可以用積分形式表達(使用通量積分),描述任意有限區域內的守恆量;也可以用微分形式表達(使用散度算符),描述任意位置的守恆量。其微分形式與積分形式通過散度定理相互關聯。

概論

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微分形式

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一般的連續性方程式的微分形式為

 

其中,  是某物理量   的密度(每單位體積的物理量),   的流量密度(每單位面積每單位時間的物理量)的向量函數(vector function),   在每單位體積每單位時間的生成量。

假若   則稱   為「源點」;假若   則稱   為「匯點」。假設   是沒有產生或湮滅的守恆量,(例如,電荷),則   ,連續性方程式變為

 

從簡單的「能量連續性方程式」到複雜的納維-斯托克斯方程式,這方程式可以用來表示任意連續性方程式。該方程式也是平流方程式advection equation)的推廣。

另一些物理學中的方程式也具有類似連續性方程式的數學形式,例如電場高斯定律重力場高斯重力定律。但是他們通常不被稱為連續性方程式,因為   並不代表真實物理量的流動。

積分形式

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在連續性方程式的積分形式裏,  是包住體積   的任意閉曲面。如同圖內左邊的曲面(以藍色顯示),  沒有邊界;而圖內右邊的曲面都有邊界(以紅色顯示)。

根據散度定理,連續性方程式可以寫為等價的積分形式:

 

其中,  是包住體積   的任意固定(不隨時間改變)閉曲面,  是在體積   內的   總量,  是在積分體積   內源點與匯點的總生成量每單位時間,  是微小面向量積分元素。

舉一簡例,假設  台北101大樓  是在大樓內某時間的總人數,  是由門口、牆壁、屋頂、地基等等,共同組成的曲面,則連續性方程式表明,當人們進入大樓時(代表穿過曲面的內向通量),或當大樓裏面的孕婦生產時(代表源點的   ),在大樓裏面的總人數會增加;而當人們離開大樓時(代表穿過曲面的外向通量),在大樓裏面的總人數會減少。

電磁理論

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在電磁理論裏,連續性方程式可以視為一條經驗定律,表達局域電荷守恆,或是從馬克士威方程組推導出的結果。「電荷連續性方程式」表明,電荷密度   的變率與電流密度   的散度,兩者的代數和等於零:

 

馬克士威-安培方程式滿足局域電荷守恆的連續性方程式

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馬克士威-安培方程式

 

其中, 磁場 電場 磁常數 電常數

取散度於方程式的兩邊,由於旋度散度必是零,

 

高斯定律的方程式為

 

將這方程式代入,可以得到

 

電流是電荷的流量。連續性方程式可以這樣論述:假若電荷從某微小體積元素移動出去(電流密度的散度是正值),則在那微小體積元素內的總電荷量會減少,電荷密度的變率是負值。從這解釋可以察覺,連續性方程式就是電荷守恆。

四維電流

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四維電流密度定義為

 

其中,  標記時空坐標, 光速

電荷守恆可以簡潔地由四維電流密度的散度表達,即連續性方程式

 

其中, 

流體力學

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流體力學裏,連續性方程式表明,在任何穩定態過程中,質量進入物理系統的速率等於離開的速率。[1][2]。此時連續性方程式與電路學克希荷夫電流定律類似。「質量連續性方程式」的微分形式為[1]

 

其中,  是流體質量密度,  是流速向量場,兩者相乘後為質量通量

假設流體是不可壓縮流,則密度   是常數,質量連續性方程式簡化為體積連續性方程式:[1]

 

這意味著,在所有位置,速度場的散度等於零;也就是說,局域的體積變率為零。

在另一方面,納維-斯托克斯方程式是一個向量連續性方程式,描述動量守恆

能量

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根據能量守恆,能量只能夠傳輸,不能夠生成或湮滅,這意味著「能量連續性方程式」。這是在熱力學定律Laws of thermodynamics)外,能量守恆的另一種數學表述,即,

 

其中,  是能量密度(單位體積的能量),  是能量通量向量(數值大小為單位截面面積每單位時間傳輸的能量,方向為截面的外法線方向)。

根據傅立葉定律Fourier's law),對於均勻傳導介質,

 

其中, 熱導率 溫度函數。

能量連續性方程式又可寫為熱傳導方程式

 

量子力學

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量子力學裏,從機率守恆可以得到「機率連續性方程式」假設一個量子系統的波函數為   ,機率流  的定義為

 

其中, 約化普朗克常數  是質量,  共軛複數  是取括弧內項目的虛部

連續方程式與機率守恆定律

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機率流滿足量子力學的連續方程式

 

其中,  是機率密度。

應用高斯公式,可以等價地以積分方程式表示,

 (1)

其中,  是任意三維區域,   的邊界曲面。

方程式 (1) 左邊第一個體積積分項(不包括對於時間的偏微分)是測量粒子位置時粒子在   內的機率。第二個曲面積分是機率流出   的通量。總之,方程式 (1) 表明,粒子在三維區域   內的機率對於時間的微分,與其流出三維區域的機率   的通量,兩者之和等於零。

連續方程式推導

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測得粒子在三維區域   內的機率  

 

機率對於時間的導數是

 (2)

注意到  含時薛丁格方程式

 

其中, 位勢

將含時薛丁格方程式代入方程式 (2) ,可以得到

 

應用一則向量恆等式,可以得到

 

這方程式右手邊第一項與第三項互相抵銷,將抵銷後的方程式代入,

 

將機率密度方程式與機率流定義式代入,

 

該等式對於任意三維區域   都成立,所以被積項目在任何位置都必須等於零:

 

參閱

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參考文獻

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Pedlosky, Joseph. Geophysical fluid dynamics. Springer. 1987: 10–13. ISBN 9780387963877. 
  2. ^ Clancy, L.J.(1975), Aerodynamics, Section 3.3, Pitman Publishing Limited, London