多項式(英語:Polynomial)是代數學中的基礎概念,是由稱為未知數的變量和稱為係數的常數通過有限次加減法、乘法以及自然數冪次的乘方運算得到的代數表達式。多項式是整式的一種。未知數只有一個的多項式稱為一元多項式;例如就是一個三項一元二次多項式。未知數不止一個的多項式稱為多元多項式,例如就是一個三項三元三次多項式,一個多項式有幾次取決於最高的那個項的次數。(xy屬於二次)
可以寫成只由一項構成的多項式也稱為單項式。如果一項中不含未知數,則稱之為常數項。
多項式在數學的很多分支中乃至許多自然科學以及工程學中都有重要作用。
給定一個環 ( 通常是交換環,可以是有理數、實數或者複數等等)以及一個未知數 ,則任何形同:
-
的代數表達式叫做 上的一元多項式。其中 是 中的元素。未知數不代表任何值,但環 上的所有運算都對它適用。在不至於混淆的情形下,一般將一元多項式簡稱為多項式。可以證明,兩個多項式的和、差與積仍然是多項式,即多項式組成一個環 ,稱爲 上的(一元)多項式環。而所有的二元多項式則可以定義為所有以一元多項式為係數的多項式,即形同
-
的代數表達式。其中 都是 中的元素。全體這樣的表達式也構成一個環,記為 。以此類推,可以定義所有 元多項式集合:
多項式總可以表示為有限個元素的和,其中每個元素都是未知數與 中一個常數的乘積,這樣的元素稱為多項式的項,其中的常數稱為該項的係數。在 中,多項式的每一項都是形同 的乘積形式。其中 是係數, 被稱為 在這一項中的次數。所有 之和稱為這一項的次數。比如在以下這一項:
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中,係數是 ,不定元 的次數是 , 的次數是 ,這一項的次數是 。可以寫成只由一項構成的多項式也稱為單項式。如果一項中不含未知數,則稱之為常數項。
某個未知數 在多項式各項中最大的次數稱為多項式中未知數 的次數,擁有這樣次數的 的項被稱為 的最高次項。所有項的次數中最高的稱為多項式的次數。對於一元多項式來說,唯一的未知數的次數也稱為多項式的次數,未知數的最高次項也稱為多項式的最高次項。
例如多項式: 中 的次數最高,是 ,故此多項式的次數為四。因而此多項式可稱為三元四次四項式。 稱為四次項, 、 稱為一次項或線性項,而 是零次項或常數項。
多項式 的次數記作 。約定零多項式沒有次數,也沒有未知數。常數多項式分為零次多項式(非零常數)和零多項式。一次多項式又稱為線性多項式。多項式中的一次項又稱為線性項。如果某個多項式的所有項都有相同次數,則稱其為齊次多項式。
一個一元多項式被稱為首一多項式,如果它的最高次項的係數是 的單位元素。
選定一個未知數後,多項式可依各項中該未知數的次數以降序或升序排列。次數從低到高是升冪排列。次數從高到低是降冪排列。例如
-
是依X的次數降冪排列。
兩個多項式相加可以看作是對兩組單項式的和進行重組與合併同類項。通過加法結合律,可以將同類項放在一起,合併之後就得到了兩個多項式的和[1][2]。例如以下的兩個多項式:
-
它們的和是:
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化簡之後得到:
-
例: 、 則
例如以下的兩個多項式:
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計算它們的乘積,步驟如下:
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化簡之後得到:
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和整數之間的帶餘除法類似。可以證明,設有多項式 和非零多項式 ,則存在唯一的多項式 和 ,滿足:
-
其中多項式 若非零多項式,則其次數嚴格小於 的次數。
作為特例,如果要計算某個多項式 除以一次多項式 得到的餘多項式,可以直接將 代入到多項式 中。 除以 的餘多項式是 。
具體的計算可以使用類似直式除法的方式。例如,計算 除以 ,列式如下:
-
因此,商式是 ,餘式是 。
令
則 ,應用多項式乘法的矩陣算法,越右側代表越高次項。
首先,從高次方作f(x)除以g(x),求
再求
[3]
MATLAB程式實作
f = [1 -1 -2 1 3 -1];
g = [3 -1 1 -1];
zero_pad = zeros(1, length(f) - length(g));
g = toeplitz([3 zero_pad], [3 -1 1 -1 zero_pad]);
[row_len, col_len] = size(g);
q = f(end - row_len + 1 : end) / g(:, end - row_len + 1 : end)
r = f(1 : end - row_len) - q * g(:, 1 : end - row_len)
是兩個不同的項
若存在i使得 ,但 ,則 在 前
例如 ,這種排列法稱為字典排列法。[4]
多項式可以推廣到係數在任意一個環的情形,請參閱條目多項式環。