- 給定賦環空間 ,若F是O的O-子模,則稱之為O的理想層,因為對開的 , 是環 的理想。
- 設X為n維光滑簇,則X的切層是餘切層 的對偶,規範層 是 的n次外冪。
- 代數層是模層,也是環層。
設 為賦環空間。若F和G都是O-模,則它們的張量積
- or ,
也是O-模,與預層 相關聯(計算 的全局截面,其中 是射影空間上的塞爾扭曲層,如此可知層化是不可避免的)。
同樣,若F、G都是O-模,則
-
表示作為層 的O-模。[4]特別地,O-模
-
稱作F的對偶模,記作 。注意:對任意O-模E、F,都有規範同態
- ,
若E是秩有限的局部自由層,則就是同構。特別地,若L局部自由且秩為1(稱這樣的L是可逆層或線叢 ),[5]則有
-
這意味著可逆層的同構類構成群,稱作X的皮卡第群,規範等同於第一上同調群 (由標準的切赫上同調論證)。
若E是秩有限的局部自由層,則有配對給出的O-線性映射 ,稱作E的跡映射。
對任意O-模F,其張量代數、外代數和對稱代數的定義方式類似。例如,k次外冪
-
是與預層 相關聯的層。若F是秩為n的局部自由層,則 稱作F的行列式(determinant)線叢(嚴格說是可逆層),記作 。有自然的完美配對:
-
設 是賦環空間之間的態射。若F是O-模,則直像層 通過自然映射 是O'-模(這樣的自然映射是賦環空間態射數據的一部分)。
若G是O'-模,則G的模逆像 是作為模的張量積的O-模:
-
其中 是G的逆像層, 由伴隨從 得到。
和 之間有伴隨關係:對任意O-模F、O'-模G,
-
是阿貝爾群。還有射影公式:對O-模F、秩有限的局部自由O'-模E,
-
令M是環A上的模。置 and write 。對每對 ,根據局部化的泛性質,有自然映射
-
有性質 。則
-
是對象為集合 、態射為集合包含的範疇,到阿貝爾群範疇的反變函子。可以證明[8]它實際上是B-層(即其滿足膠合公理),於是定義了X上的層 ,稱作與M相關聯的層。
最基本的例子是X上的結構層,即 。此外, 具有 -模的結構,因此可得到A上模範疇 到 上模範疇的正合函子 。其定義了 到X上准凝聚層範疇的等價,其逆 是全局截面函子。X是諾特概形時,函子是從有限生成A-模到X上凝聚層範疇的等價。
此構造有以下性質:對任意A-模M、N與任意態射 ,
- .[9]
- 對A的任意素理想, 作為 -模。
- .[10]
- 若M是有限表示模, .[10]
- 由於 與X上准凝聚層範疇間的等價關係, 。
- ;[11]特別是,取直和與~交換。
- 若且唯若 的誘導序列正合,稱A-模序列正合。特別地, .
層上同調以難以計算而聞名。正因如此,下面的一般事實對任何實際計算都是重要的:
定理 — 令X是拓撲空間,F是其上的阿貝爾層, 是X的開覆蓋,使得 。則對任意i,
-
其中右式是第i切赫上同調。
塞爾消失定理[13]指出,若X是射影簇、F是其上的凝聚層,則對足夠大的n,塞爾扭曲 由有限多全局截面生成。此外,
- 是在 上有限生成的;
- 有取決於F的整數 使得
[14][15][16]
令 是賦環空間,F、H是X上O-模的層。H對F的擴張是O-模的短正合列
-
與群擴張一樣,若固定F、H,則H對F擴張的所有等價類構成阿貝爾群(參Baer和),其與Ext群 同構,當中 中的么元對應平凡擴張。
H是O的情形下,有:
-
因為兩側是同一個函子 的右導出函子。
注: Hartshorne等學者不寫下標O。
設X是諾特環上的射影概形。令F、G是X上的凝聚層,i是整數,則存在 使得
- .[17]
對任何凝聚層 都可用局部自由消解輕鬆計算:[18]給定復形
-
則
-
於是
-
考慮度數為d的光滑超曲面X,則可計算消解
-
並發現
-
考慮概形
-
其中 是光滑完全交, 。則有復形
-
消解了 ,可用於計算 。
- ^ Vakil, Math 216: Foundations of algebraic geometry (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館), 2.5.
- ^ Hartshorne,Ch. III, Proposition 2.2.
- ^ 此上同調函子與與阿貝爾層範疇中的全局截面函子的右導出函子重合,參Hartshorne,Ch. III, Proposition 2.6.
- ^ 有規範同態:
-
若F是有限表示,則其是同構(EGA, Ch. 0, 5.2.6.)
- ^ 對於凝聚層,有張量逆等同於局部自由且秩為1。實際上有事實:若 、且F凝聚,則F、G局部自由且秩為1。(cf. EGA, Ch 0, 5.4.3.)
- ^ Hartshorne,Ch III, Lemma 2.4.
- ^ see also: https://math.stackexchange.com/q/447234
- ^ Hartshorne,Ch. II, Proposition 5.1.
- ^ EGA I,Ch. I, Proposition 1.3.6. harvnb error: no target: CITEREFEGA_I (help)
- ^ 10.0 10.1 EGA I,Ch. I, Corollaire 1.3.12. harvnb error: no target: CITEREFEGA_I (help)
- ^ EGA I,Ch. I, Corollaire 1.3.9. harvnb error: no target: CITEREFEGA_I (help)
- ^ Hartshorne,Ch. II, Proposition 5.11.
- ^ Section 30.2 (01X8): Čech cohomology of quasi-coherent sheaves—The Stacks project. stacks.math.columbia.edu. [2023-12-07]. (原始內容存檔於2024-08-04).
- ^ Costa, Miró-Roig & Pons-Llopis 2021,Theorem 1.3.1
- ^ Links with sheaf cohomology. Local Cohomology. 2012: 438–479. ISBN 9780521513630. doi:10.1017/CBO9781139044059.023.
- ^ Serre 1955,§.66 Faisceaux algébriques cohérents sur les variétés projectives.
- ^ Hartshorne,Ch. III, Proposition 6.9.
- ^ Hartshorne, Robin. Algebraic Geometry. : 233–235.
- Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean. Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1960, 4 [2024-04-13]. MR 0217083. doi:10.1007/bf02684778. (原始內容存檔於2021-07-19).
- Hartshorne, Robin, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 52, New York: Springer-Verlag, 1977, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
- Costa, Laura; Miró-Roig, Rosa María; Pons-Llopis, Joan. Ulrich Bundles. 2021 [2024-09-17]. ISBN 9783110647686. doi:10.1515/9783110647686. (原始內容存檔於2023-10-01).
- Links with sheaf cohomology. Local Cohomology. 2012: 438–479. ISBN 9780521513630. doi:10.1017/CBO9781139044059.023.
- Serre, Jean-Pierre, Faisceaux algébriques cohérents (§.66 Faisceaux algébriques cohérents sur les variétés projectives.) (PDF), Annals of Mathematics, 1955, 61 (2): 197–278 [2024-04-13], JSTOR 1969915, MR 0068874, doi:10.2307/1969915, (原始內容存檔 (PDF)於2024-06-04)