正圖形
在幾何學中,正圖形或正幾何形狀(英語:Regular Geometric Shape)是一類具有高度對稱性的幾何結構。其中,若該幾何結構是由線段、平面或超平面的邊界構成則又可稱為正多胞形(英語:Regular polytope)。
一些正幾何形狀的例子 | |
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![]() 正五邊形是一個多邊形,是一個正圖形,由5個邊組成的二維正多胞形,其施萊夫利符號為{5} |
![]() 正十二面體是一個多面體,是一個正圖形,由12個正五邊形面組成的三維正多胞形,其施萊夫利符號為{5,3} |
![]() 正一百二十胞體是一個四維多胞體,是一個正圖形,由120個正十二面體胞組成的四維正多胞形,其施萊夫利符號為{5,3,3}。(這裡展示的是施萊格爾圖像) |
![]() 正方體堆砌是一個三維空間堆砌,可被看作是四維的無窮胞體,施萊夫利符號為{4,3,4} |
![]() 八維超正方體的256個頂點和1024條棱可以用正交投影來展示。(皮特里多邊形) |
和正圖形相對的概念為不規則圖形(Irregular Geometric Shape)或不規則幾何形狀、非正幾何形狀,其對稱性比正圖形低或無對稱性。在不規則圖形中,依照對稱性的高低又可以分為擬正圖形(Quasiregular)、半正圖形(Semiregular)、似正圖形(Demiregular)、均勻圖形(Uniform)等幾何結構。
正多胞形
編輯正多胞形是一種對稱性對於標記可遞的幾何結構,且具有高度對稱性,對於該幾何體內所有同維度的元素(如:點、線、面)都完全具有相同的性質,並且每一個元素皆為一個正圖形,例如,正方體所有的面的面積及形狀皆相同,且皆為正方形,是一個二維正多胞形、所有邊的長度也相同,所有角的角度及形式也相同,因此正方體是一個正圖形或正多胞形。對於所有元素,或叫j維面(對所有的 0 ≤ j ≤ n,其中n是該幾何體所在的維度) — 胞、面等等 — 也都對於多胞形的對稱性可遞,也是≤ n維的正圖形。
正圖形是正多邊形(例如:正方形或者正五邊形[1] )和正多面體(例如立方體)的向任意維度的推廣類比。正圖形極強的對稱性使它們擁有極強的審美價值,吸引著數學家和數學愛好者。
一般地,n維正圖形被定義為有正維面[(n − 1)-表面]和正頂點圖。這兩個條件已經能充分地保證所有面、所有頂點都是相似的。但要注意的是,這一定義並不適用於抽象多胞形。
一個正圖形能用形式為{a, b, c, ...., y, z}的施萊夫利符號代表,其正的面為{a, b, c, ..., y},頂點圖為{b, c, ..., y, z}。
分類和描述
編輯正圖形最基礎的分類是按其維度。
它們能夠按照對稱性進一步分類。例如,正方體和正八面體有著相同的對稱性,同樣,正十二面體和正二十面體也是。事實上,對稱群大多依照正圖形命名,例如正四面體對稱群和正二十面體對稱群。
3種特殊類型的正圖形存在於所有維度:
在二維,這裡有無窮多個正多邊形。在三維和四維這裡有許多上述三種之外的正多面體和正多胞體。在五維及以上維,只存在這三種類型的正圖形。另見正圖形列表。
正圖形的概念有時被擴展,使其包括了另外一些相關的幾何對象。其中一些有正的例子,下面「歷史發現」一章將會詳細說明。
施萊夫利符號
編輯施萊夫利符號是一個簡潔有力的多面體表示法,是19世紀由路德維希·施萊夫利所發明的,一個改進了的版本隨後成為了標準。這種記號可通過維度依次增加一獲得最好的解釋。
- 一個有著面{n},並且一個頂點處有p個面相交的正多面體標記為{n, p}。九個正多面體是:{3, 3}、{3, 4}、{4, 3}、{3, 5}、{5, 3}、{3, 5/2}、{5/2, 3}、{5, 5/2}和{5/2, 5}。{p}就是這個正多面體的頂點圖。
- 一個有著胞{n, p},並且每一條棱處有q個胞相交的正多胞體標記為{n, p, q}。其頂點圖為{p, q}。
- 一個五維正多胞體是{n, p, q, r},等等。
正圖形的對偶性
編輯正圖形的對偶形也是正圖形。對偶圖形的施萊夫利符號就是將原來的符號倒過來寫:{3,3}為自身對偶,{3,4}與{4,3}對偶,{4,3,3}與{3,3,4}對偶,以此類推。
正圖形的頂點圖的對偶即是其對偶圖形的維面。例如{3,3,4}的頂點圖是{3,4},其對偶即是{4,3} — {4,3,3}的一個胞。
如果其施萊夫利符號是回文,即正反讀都一樣,那麼這個正圖形就是自身對偶的。自身對偶正圖形包括:
- 點
- 線段,{}。
- 所有的正多邊形,{a}。
- 所有的n-正單純形,{3,3,3,...,3,3,3}。
- 四維正多胞形正二十四胞體,{3,4,3}。
- 所有n維超方形堆砌,{4,3,3,...,3,3,4}。這些在多胞形學中被看作無窮多胞形。
正單純形
編輯線段 | 正三角形 | 正四面體 | 正五胞體 |
我們從點A開始。標下與A相距r的點B,並連接它們,形成線段。在垂直與它的第二維度標下與A、B都相距r的第三點C,並連接AC、BC,形成正三角形。在垂直與它的第三維度標下與三點都相距r的第四點D,連接四點,便形成正四面體。用同樣的方法,我們可以得到更高維的類似正圖形。
這些就是正單純形。以維度來排序,它們是:
超方形
編輯正方形 | 立方體 | 超正方體 |
從一個點A開始。連一條線到距離為r的B,形成一條線段。延伸第二條長為r的線,垂直於AB,將B連接到C,同樣連結A到D,形成一個正方形ABCD。從每個頂點同樣延伸出長為r的線,同時垂直於AB和BC,標記點E、F、G、H形成立方體ABCD-EFGH。用同樣的方法,我們可以得到更高維的類似正圖形。
它們就是超方形或稱正測形。以維度來排序,它們是:
- 0. 點
- 1. 線段
- 2. 正方形(正四邊形)
- 3. 立方體(正六面體)
- 4. 四維超正方體(正八胞體)或4-超方體
- 5. 五維超正方體(五維正十胞體)或5-超方體
- ...一個n-超方體有2n個頂點。
正軸形
編輯正方形 | 正八面體 | 正十六胞體 |
從一個點O開始。從O向兩個相反的方向延出兩條線到距O點距離為r的A和B,互相之間距離為2r,形成一條線段。同樣再畫線段COD,長度為2r,以O為中點而垂直於AB。連接4個頂點形成正方形ACBD。再畫線段EOF,同樣長度為2r,中點為O,同時垂直於AB和CD(即上下方向)。將其頂點與正方形頂點一一相連得到正八面體。用同樣的方法,我們可以得到更高維的類似正圖形。
這樣得到的圖形稱為正軸形或交叉形。以維度來排序,它們是:
正無窮胞體 — 無窮多胞形
編輯參見
編輯參考文獻
編輯- ^ Regular Geometric Shapes (PDF). mommycrusader.com. [2019-04-13]. (原始內容 (PDF)存檔於2019-04-13).
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