正圖形

**正圖形**
一些正幾何形狀的例子
; 正五邊形是一個多邊形，是一個正圖形，由5個邊組成的二維正多胞形，其施萊夫利符號為{5}	; 正十二面體是一個多面體，是一個正圖形，由12個正五邊形面組成的三維正多胞形，其施萊夫利符號為{5,3}
; 正一百二十胞體是一個四維多胞體，是一個正圖形，由120個正十二面體胞組成的四維正多胞形，其施萊夫利符號為{5,3,3}。（这里展示的是施莱格尔图像（英语：Schlegel diagram））	; 正方體堆砌是一個三维空間堆砌，可被看作是四维的无穷胞体，施萊夫利符號為{4,3,4}
	; 八维超正方体的256个顶点和1024条棱可以用正交投影来展示。（皮特里多边形）

在幾何學中，正圖形或正幾何形狀（英語：Regular Geometric Shape）是一類具有高度對稱性的幾何結構。其中，若該幾何結構是由線段、平面或超平面的邊界構成則又可稱為正多胞形（英語：Regular polytope）。

和正圖形相對的概念為不規則圖形（Irregular Geometric Shape）或不規則幾何形狀、非正幾何形狀，其對稱性比正圖形低或無對稱性。在不規則圖形中，依照對稱性的高低又可以分為擬正圖形（Quasiregular）、半正圖形（英语：Semiregular_polytope）（Semiregular）、似正（英语：Demiregular tiling）圖形（Demiregular）、均勻圖形（英语：Uniform_polytope）（Uniform）等幾何結構。

正多胞形

正多胞形是一種對稱性对于標記可递的幾何結構，且具有高度對稱性，對於該幾何體內所有同維度的元素（如：點、線、面）都完全具有相同的性質，並且每一個元素皆為一個正圖形，例如，正方體所有的面的面積及形狀皆相同，且皆為正方形，是一個二維正多胞形、所有邊的長度也相同，所有角的角度及形式也相同，因此正方體是一個正圖形或正多胞形。對於所有元素，或叫j維面（對所有的 0 ≤ j ≤ n，其中n是該幾何體所在的維度） — 胞、面等等 — 也都对于多胞形的对称性可递，也是≤ n维的正圖形。

正图形是正多边形（例如：正方形或者正五边形^[1] ）和正多面体（例如立方体）的向任意维度的推广类比。正图形极强的对称性使它们拥有极强的审美价值，吸引着数学家和数学爱好者。

一般地，n维正图形被定义为有正维面[(n − 1)-表面]和正顶点图。这两个条件已经能充分地保证所有面、所有顶点都是相似的。但要注意的是，这一定义并不适用于抽象多胞形（英语：abstract polytope）。

一个正图形能用形式为{a, b, c, ...., y, z}的施莱夫利符号代表，其正的面为{a, b, c, ..., y}，顶点图为{b, c, ..., y, z}。

分類和描述

正图形最基础的分类是按其维度。

它们能够按照对称性进一步分类。例如，正方体和正八面体有着相同的对称性，同样，正十二面体和正二十面体也是。事实上，对称群大多依照正图形命名，例如正四面体对称群和正二十面体对称群。

3种特殊类型的正图形存在于所有维度：

单纯形（正单形）
超方形（正测形）
正轴形（交叉形）

在二维，这里有无穷多个正多边形。在三维和四维这里有许多上述三种之外的正多面体和正多胞体。在五维及以上维，只存在这三种类型的正图形。另见正图形列表。

正图形的概念有时被扩展，使其包括了另外一些相关的几何对象。其中一些有正的例子，下面“历史发现”一章将会详细说明。

施萊夫利符號

施萊夫利符號是一個簡潔有力的多面體表示法，是19世紀由路德維希·施萊夫利所發明的，一个改进了的版本随后成为了标准。这种记号可通过维度依次增加一获得最好的解释。

一个有n条边的凸正多边形可以标记为{n}。所以一个等边三角形是{3}，一个正方形是{4}……一个绕其中心旋转m圈的正星形多边形被标记为分式{n/m}，这里n和m是互质的，例如正五角星是{5/2}。

一个有着面{n}，并且一个顶点处有p个面相交的正多面体标记为{n, p}。九个正多面体是：{3, 3}、{3, 4}、{4, 3}、{3, 5}、{5, 3}、{3, 5/2}、{5/2, 3}、{5, 5/2}和{5/2, 5}。{p}就是这个正多面体的顶点图。

一个有着胞{n, p}，并且每一条棱处有q个胞相交的正多胞体标记为{n, p, q}。其顶点图为{p, q}。

一个五维正多胞体是{n, p, q, r}，等等。

正图形的对偶性

正图形的对偶形也是正图形。对偶图形的施莱夫利符号就是将原来的符号倒过来写：{3,3}为自身对偶，{3,4}与{4,3}对偶，{4,3,3}与{3,3,4}对偶，以此类推。

正图形的顶点图的对偶即是其对偶图形的维面。例如{3,3,4}的顶点图是{3,4}，其对偶即是{4,3} — {4,3,3}的一个胞。

任何维的超方形和正轴形都是互相对偶的。

如果其施莱夫利符号是回文，即正反读都一样，那么这个正图形就是自身对偶的。自身对偶正图形包括：

點
線段，{}。
所有的正多边形，{a}。
所有的n-正单纯形，{3,3,3,...,3,3,3}。
四维正多胞形正二十四胞体，{3,4,3}。
所有n维超方形堆砌，{4,3,3,...,3,3,4}。这些在多胞形学中被看作无穷多胞形。

正单纯形

1-正单纯形到 4-正单纯形的图像

线段	正三角形	正四面体	正五胞体

我们从点A开始。标下与A相距r的点B，并连接它们，形成线段。在垂直与它的第二维度标下与A、B都相距r的第三点C，并连接AC、BC，形成正三角形。在垂直与它的第三维度标下与三点都相距r的第四点D，连接四点，便形成正四面体。用同样的方法，我们可以得到更高维的类似正图形。

这些就是正单纯形。以维度来排序，它们是：

0. 点

1. 线段

2. 正三角形（正三边形）

3. 正四面体

4. 正五胞体或 4-单纯形

5. 五维正六胞体或 5-单纯形

... n-单纯形有n+1个顶点。

超方形

2-超方形到 4-超方形的图像

正方形	立方体	超正方体

从一个点A开始。连一条线到距离为r的B，形成一条线段。延伸第二条长为r的线，垂直于AB，将B连接到C，同样链接A到D，形成一个正方形ABCD。从每个顶点同样延伸出长为r的线，同时垂直于AB和BC，标记点E、F、G、H形成立方体ABCD-EFGH。用同样的方法，我们可以得到更高维的类似正图形。

它们就是超方形或称正测形。以维度来排序，它们是：

0. 点

1. 线段

2. 正方形（正四边形）

3. 立方体（正六面体）

4. 四维超正方体（正八胞体）或4-超方体

5. 五维超正方体（五維正十胞体）或5-超方体

...一个n-超方体有2ⁿ个顶点。

正轴形

2-正轴形到 4-正轴形的图像

正方形	正八面体	正十六胞体

从一个点O开始。从O向两个相反的方向延出两条线到距O点距离为r的A和B，互相之间距离为2r，形成一条线段。同样再画线段COD，长度为2r，以O为中点而垂直于AB。连接4个顶点形成正方形ACBD。再画线段EOF，同样长度为2r，中点为O，同时垂直于AB和CD（即上下方向）。将其顶点与正方形顶点一一相连得到正八面体。用同样的方法，我们可以得到更高维的类似正图形。

这样得到的图形称为正轴形或交叉形。以维度来排序，它们是：

0. 点

1. 线段

2. 正方形（正四边形）

3. 正八面体

4. 正十六胞体或4-正轴形

5. 正三十二超胞体（五维正三十二胞体）或5-正轴形

...n-正轴形有2n个顶点。

正无穷胞体 — 无穷多胞形

參見

參考文獻

^ Regular Geometric Shapes (PDF). mommycrusader.com. [2019-04-13]. （原始内容 (PDF)存档于2019-04-13）.

(Coxeter, 1948) Coxeter, H. S. M.; Regular Polytopes, (Methuen and Co., 1948).
(Coxeter, 1974) Coxeter, H. S. M.; Regular Complex Polytopes, (Cambridge University Press, 1974).
(Coxeter, 1982) Coxeter, H. S. M.; Ten Toroids and Fifty-Seven hemi-Dodecahedra Geometrica Dedicata 13 pp87–99.
(Coxeter, 1984) Coxeter, H. S. M.; A Symmetrical Arrangement of Eleven hemi-Icosahedra Annals of Discrete Mathematics 20 pp103–114.
(Coxeter, 1999) Coxeter, H. S. M.; Du Val, P.; Flather, H. T.; Petrie, J. F.; The Fifty-Nine Icosahedra (Tarquin Publications, Stradbroke, England, 1999)
(Cromwell, 1997) Cromwell, Peter R.; Polyhedra (Cambridge University Press, 1997)
(Euclid) Euclid, Elements, English Translation by Heath, T. L.; (Cambridge University Press, 1956).
(Grünbaum, 1977) Grünbaum, B.; Regularity of Graphs, Complexes and Designs, Problèmes Combinatoires et Théorie des Graphes, Colloquium Internationale CNRS, Orsay, 260 pp191–197.
(Grünbaum, 1994) B. Grünbaum, Polyhedra with hollow faces, Proc of NATO-ASI Conference on Polytopes ... etc. ... (Toronto 1993), ed T. Bisztriczky et al., Kluwer Academic pp. 43–70.
(Hilbert, 1952) Hilbert, D.; Cohn-Vossen, S. Geometry and the imagination, (Chelsea, 1952) p144.
(Haeckel, 1904) Haeckel, E.; Kunstformen der Natur (1904). Available as Haeckel, E.; Art forms in nature (Prestel USA, 1998), ISBN 3-7913-1990-6, or online at https://web.archive.org/web/20090627082453/http://caliban.mpiz-koeln.mpg.de/~stueber/haeckel/kunstformen/natur.html
(Lindemann, 1987) Lindemann F.; Sitzunger Bayerische Akademie Der Wissenschaften 26 (1987) pp625–768.
(McMullen, 2002) McMullen, P.; Schulte, S.; Abstract Regular Polytopes; (Cambridge University Press, 2002)
(Sanford, 1930) Sanford, V.; A Short History Of Mathematics, (The Riverside Press, 1930).
(Schläfli, 1855), Schläfli, L.; Reduction D'Une Integrale Multiple Qui Comprend L'Arc Du Cercle Et L'Aire Du Triangle Sphérique Comme Cas Particulières, Journal De Mathematiques 20 (1855) pp359–394.
(Schläfli, 1858), Schläfli, L.; On The Multiple Integral ∫ndx dy ... dz, Whose Limits Are $p_{1}=a_{1}x+b_{1}y+\cdots +h_{1}z\geq 0,$ $p_{2}>0,\ldots ,p_{n}>0$ and $x^{2}+y^{2}+\cdots +z^{2}<1$ Quarterly Journal Of Pure And Applied Mathematics 2 (1858) pp269–301, 3 (1860) pp54–68, 97–108.
(Schläfli, 1901), Schläfli, L.; Theorie Der Vielfachen Kontinuität, Denkschriften Der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft 38 (1901) pp1–237.
(Shephard, 1952) Shephard, G.C.; Regular Complex Polytopes, Proc. London Math. Soc. Series 3, 2 (1952) pp82–97.
(Smith, 1982) Smith, J. V.; Geometrical And Structural Crystallography, (John Wiley and Sons, 1982).
(Van der Waerden, 1954) Van der Waerden, B. L.; Science Awakening, (P Noordhoff Ltd, 1954), English Translation by Arnold Dresden.
D. M. Y. Sommerville, An Introduction to the Geometry of n Dimensions. New York, E. P. Dutton, 1930. 196 pp. (Dover Publications edition, 1958) Chapter X: The Regular Polytopes
Olshevsky, George, Regular polytope at Glossary for Hyperspace.
Stella: Polyhedron Navigator （页面存档备份，存于互联网档案馆） Tool for exploring 3D polyhedra, 4D polytopes, and printing nets
Ernst Haeckel's Kunstformen der Natur online (German)
Interesting fold-out nets of the cube, octahedron, dodecahedron and icosahedron （页面存档备份，存于互联网档案馆）

[1] Regular Geometric Shapes (PDF). mommycrusader.com. [2019-04-13]. （原始内容 (PDF)存档于2019-04-13）.

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一些正幾何形狀的例子
正五邊形是一個多邊形，是一個正圖形，由5個邊組成的二維正多胞形，其施萊夫利符號為{5}	正十二面體是一個多面體，是一個正圖形，由12個正五邊形面組成的三維正多胞形，其施萊夫利符號為{5,3}
正一百二十胞體是一個四維多胞體，是一個正圖形，由120個正十二面體胞組成的四維正多胞形，其施萊夫利符號為{5,3,3}。（这里展示的是施莱格尔图像（英语：Schlegel diagram））	正方體堆砌是一個三维空間堆砌，可被看作是四维的无穷胞体，施萊夫利符號為{4,3,4}
八维超正方体的256个顶点和1024条棱可以用正交投影来展示。（皮特里多边形）