閉包 (拓撲學)

閉包（英語：Closure）在拓撲學中是指，一個拓撲空間裡，子集S的閉包由S 的所有點及S 的極限點所組成的一個集合；直觀上來說，即為所有「靠近」S　的點所組成的集合。在子集S　的閉包內的點稱為S 的閉包點。閉包的概念在許多方面能與內部的概念相對比。

定義

閉包點

設S 為歐幾里德空間內的一個子集，若所有以x 為中心的開球都包含S 內的一點（這個點也可以是x 自身），即稱x 為S　的閉包點。

上述定義可以推廣到度量空間X 的任意子集S之上。具體地說，設X 為具度量d 的度量空間，S為X 內的子集，若對所有的r > 0，皆存在一個S 內的點y，使得 d(x, y) < r（同樣地，x = y 也可 ），即稱x 為S 的閉包點。另外，也可以如下定義：若 d(x, S) := inf{d(x, s) : s in S} = 0，即稱x 為S的閉包點。上述兩種定義的寫法是同樣的意思。

最後，閉包點的定義也可以推廣到拓撲空間，只需要用鄰域替代「開球」即可。設S 為拓撲空間X 的子集，則x 稱為S 的閉包點，若所有x 鄰域都包含S 內的一點。注意，這個定義並不要求鄰域一定要為開集。

極限點

閉包點的定義非常接近極限點的定義。這兩個定義之間的差別非常微小但很重要——在極限點的定義中，點 x 的鄰域必須包含「 不是 x 自身的」這個集合的點。

因此，所有極限點都是閉包點，但不是所有的閉包點都是極限點。不是極限點的閉包點就是孤點。也就是說，點 x 是孤點，若它是 S 的元素，且存在 x 的鄰域，該鄰域中除了 x 沒有其他的點屬於 S。

對給定的集合 S 和點 x，x 是 S 的閉包點，若且唯若 x 屬於 S，或 x 是 S 的極限點。

集合的閉包

集合S 的閉包是指由所有S 的閉包點所組成的集合。S 的閉包寫作 cl(S)，Cl(S) 或 S⁻。集合的閉包具有如下性質：

• cl(S) 是 S 的閉父集。
• cl(S) 是所有包含 S 的閉集的交集。
• cl(S) 是包含 S 的最小的閉集。
• 集合 S 是閉集，若且唯若 S = cl(S)。
• 若 S 是 T 的子集，則 cl(S) 是 cl(T) 的子集。
• 若 A 是閉集，則 A 包含 S 若且唯若 A 包含 cl(S)。

上述第二或第三條性質可作為拓撲閉包的定義。

在第一可數空間（如度量空間）中，cl(S) 是所有點的收斂序列的所有極限。

注意，若將「閉包」、「交集」、「包含」、「最小」、「閉」等詞彙相應替換成「內部」、「併集」、「包含於」、「最大」、「開」，上述性質仍然成立。更多信息請參看下面的「閉包算子」。

其他性質

• 集合的交集的閉包是集合的閉包的交集的子集。
• 有限多個集合的併集的閉包和這些集合的閉包的併集相等；零個集合的併集為空集，所以這個命題包含了前面的空集的閉包的特殊情況。無限多個集合的併集的閉包不一定等於這些集合的閉包的併集，但前者一定是後者的父集。

若 $A$ 為包含 $S$ 的 $X$ 的子空間，則 $S$ 在 $A$ 中計算得到的閉包等於 $A$ 和 $S$ 在 $X$ 中計算得到的閉包（$Cl_{A}(S)=A\cap Cl_{X}(S)$）的交集。特別的，$S$ 在 $A$ 中是稠密的，若且唯若 $A$ 是 $Cl_{X}(S)$ 的子集。

舉例

• 在任意空間，空集的閉包是空集。
• 對任意空間 X，cl(X) = X。
• 若 X 為實數的歐幾里得空間 R，則 cl((0, 1)) = [0, 1]。
• 若 X 為實數的歐幾里得空間 R，則有理數集合 Q 的閉包是全空間 R。也就是，Q 在 R 中是稠密的。
• 若 X 為複平面 C = R²，則 cl({z 屬於 C : |z| > 1}) = {z 屬於 C : |z| ≥ 1}。
• 若 S 為歐幾里得空間的有限子集，則 cl(S) = S。（在一般拓撲空間，這個性質和T₁ 公理等價。）

在實數集上，除了標準拓撲，還可以使用其他的拓撲結構。

• 若 X = R，且 R 有下限拓撲，則 cl((0, 1)) = [0, 1]。
• 若考慮 R 中所有集合都是開（閉）集的拓撲，則 cl((0, 1)) = (0, 1)。
• 若考慮 R 中只有空集和 R 自身是開（閉）集的拓撲，則 cl((0, 1)) = R。

上述示例中集合的閉包取決於背景空間的拓撲。接下來給出的兩個示例比較特殊。

• 在任意離散空間中，由於所有集合都是開（閉）集，所以所有集合都等於其閉包。
• 在任意不可分空間 X 中，由於只有空集和 X 自身是開（閉）集，所以空集的閉包是空集，對 X 中的非空集 A，cl(A) = X。也就是說，所有非離散空間中的非空集都是稠密的。

集合的閉包也取決於背景空間。例如：若 X 是有理數集合，具有從歐幾里得空間 R 中得到的子空間拓撲，且 S = {q 屬於 Q : q² > 2}，則 S 是 Q 中的閉集，且 S 在 Q 中的閉包是 S。相應的，S 在歐幾里得空間 R 中的閉包是所有大於等於 ${\sqrt {2}}$ 的實數組成的集合。

閉包算子

閉包算子 ⁻ 和內部算子 ^o 對偶，即

S⁻ = X \ (X \ S)^o

並且

S^o = X \ (X \ S)⁻

這裡，X 表示包含 S 的拓撲空間，反斜線表示集合的補集。

因此，閉包算子和庫拉托夫斯基閉包公理的抽象理論就可以方便地轉換為內部算子的寫法，這裡只需要將集合用它們的補集替換就可以了。

通過對給定集合反覆應用閉包和補集運算最多能得到 14 個不同的集合，這個結果叫做庫拉托夫斯基十四集問題。

參見

• 內部
• 庫拉托夫斯基閉包公理