高斯整數形成了一個唯一分解整環 ，其可逆元素 為
1
,
−
1
,
i
,
−
i
{\displaystyle 1,-1,i,-i}
Z
[
i
]
{\displaystyle \mathbf {Z} [i]}
質元素 又稱為高斯質數 高斯整數
a
+
b
i
{\displaystyle a+bi}
若且唯若 ：
a
,
b
{\displaystyle a,b}
4
n
+
3
{\displaystyle 4n+3}
−
(
4
n
+
3
)
{\displaystyle -(4n+3)}
或
a
,
b
{\displaystyle a,b}
a
2
+
b
2
{\displaystyle a^{2}+b^{2}}
高斯質數的分布 以下給出這些條件的證明。
必要條件 的證明為：唯若高斯整數的範數是質數，或質數的平方時，它才是高斯質數。這是因為對於任何高斯整數
g
{\displaystyle g}
g
∣
g
g
¯
=
N
(
g
)
{\displaystyle g\mid g{\overline {g}}=N(g)}
N
(
g
)
{\displaystyle N(g)}
算術基本定理 ，它可以分解為質數
p
1
p
2
⋯
p
n
{\displaystyle p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}
g
{\displaystyle g}
p
i
{\displaystyle p_{i}}
i
{\displaystyle i}
g
¯
{\displaystyle {\overline {g}}}
p
i
¯
=
p
i
{\displaystyle {\overline {p_{i}}}=p_{i}}
N
(
g
)
=
g
g
¯
∣
p
i
2
{\displaystyle N(g)=g{\overline {g}}\mid p_{i}^{2}}
g
{\displaystyle g}
如果實際上對於某個質數
p
{\displaystyle p}
N
(
g
)
=
p
2
{\displaystyle N(g)=p^{2}}
g
{\displaystyle g}
g
¯
{\displaystyle {\overline {g}}}
p
2
{\displaystyle p^{2}}
g
=
p
u
{\displaystyle g=pu}
g
¯
=
p
u
¯
{\displaystyle {\overline {g}}=p{\overline {u}}}
u
{\displaystyle u}
a
=
0
{\displaystyle a=0}
b
=
0
{\displaystyle b=0}
g
=
a
+
b
i
{\displaystyle g=a+bi}
然而，不是每一個質數
p
{\displaystyle p}
2
{\displaystyle 2}
2
=
(
1
+
i
)
(
1
−
i
)
{\displaystyle 2=(1+i)(1-i)}
4
n
+
1
{\displaystyle 4n+1}
費馬平方和定理 ，它們可以寫成
a
2
+
b
2
{\displaystyle a^{2}+b^{2}}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
a
2
+
b
2
=
(
a
+
b
i
)
(
a
−
b
i
)
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)}
4
n
+
3
{\displaystyle 4n+3}
形為
4
n
+
3
{\displaystyle 4n+3}
g
=
p
+
0
i
{\displaystyle g=p+0i}
p
=
4
n
+
3
{\displaystyle p=4n+3}
g
=
h
k
{\displaystyle g=hk}
p
2
=
N
(
g
)
=
N
(
h
)
N
(
k
)
{\displaystyle p^{2}=N(g)=N(h)N(k)}
N
(
h
)
=
N
(
k
)
=
p
{\displaystyle N(h)=N(k)=p}
4
n
+
3
{\displaystyle 4n+3}
g
{\displaystyle g}
類似地，
i
{\displaystyle i}
4
n
+
3
{\displaystyle 4n+3}
i
{\displaystyle i}
4
n
+
1
{\displaystyle 4n+1}
如果
g
{\displaystyle g}
g
{\displaystyle g}
g
=
h
k
{\displaystyle g=hk}
N
(
g
)
=
N
(
h
)
N
(
k
)
{\displaystyle N(g)=N(h)N(k)}
N
(
g
)
{\displaystyle N(g)}
N
(
h
)
{\displaystyle N(h)}
N
(
k
)
{\displaystyle N(k)}
h
{\displaystyle h}
k
{\displaystyle k}
高斯整數環是
Z
{\displaystyle \mathbf {Z} }
高斯有理數 域 中的整閉包 ，由實數部分和虛數部分都是有理數 的複數組成。
在圖中很容易看到，每一個複數 與最近的高斯整數的距離最多為
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}
Z
[
i
]
{\displaystyle \mathbf {Z} [i]}
歐幾里德環 ，其中
v
(
z
)
=
N
(
z
)
{\displaystyle v(z)=N(z)}
主理想整環 ，其理想皆形如
⟨
a
+
b
i
⟩
{\displaystyle \langle a+bi\rangle }
(
a
,
b
)
=
1
{\displaystyle (a,b)=1}
Z
[
i
]
/
⟨
a
+
b
i
⟩
≅
Z
a
2
+
b
2
=
{
[
0
]
,
[
1
]
,
[
2
]
⋯
,
[
a
2
+
b
2
−
1
]
}
.
{\displaystyle \mathbb {Z} [i]/{\left\langle a+bi\right\rangle }\cong \mathbb {Z} _{a^{2}+b^{2}}\ =\ \{[0],[1],[2]\cdots ,[a^{2}+b^{2}-1]\}.}
[ 1]
高斯圓問題 是中心為原點、半徑為給定值的圓內有多少格點 的問題。它本身並不是關於高斯整數的，但等價於確定範數小於某個給定值的高斯整數的數目。
關於高斯整數，還有一些猜想和未解決的問題，例如：
實數軸和虛數軸含有無窮多個高斯質數
3
,
7
,
11
,
19
,
…
{\displaystyle 3,7,11,19,\dots }
1
{\displaystyle 1}
在高斯質數上行走，步伐小於某個給定的值，可以走到無窮遠嗎？
^ 存档副本 . [2022-01-01 ] . （原始內容存檔 於2015-09-23）.
C. F. Gauss, Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda., Comm. Soc. Reg. Sci. Gottingen 7 (1832) 1-34; reprinted in Werke, Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1973, pp. 93-148.
從數到環：環論的早期歷史 ，由Israel Kleiner所作 (Elem. Math. 53 (1998) 18 – 35)Ribenboim, Paulo, The New Book of Prime Number Records, New York: Springer, 1996, ISBN 0-387-94457-5
![{\displaystyle \mathbf {Z} [i]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0a617cf5867f951fefb72f3ab7278e0f6f1eedd)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ffa94e9e2e6d9e5e5373d5fafb954b902743fde)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ae955a9a0d0f342fc73aaafe28af604d23267f7)
![{\displaystyle \mathbf {Z} [i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbb {Z} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab3ea6e4d0d9399bf9d4b39fd2dcad16de15b338)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [i]/{\left\langle a+bi\right\rangle }\cong \mathbb {Z} _{a^{2}+b^{2}}\ =\ \{[0],[1],[2]\cdots ,[a^{2}+b^{2}-1]\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff91630f30804e75139d3bb3cc1692b9892c03a0)
