冪

此條目頁的主題是代數概念。關於幾何定理，請見「圓冪定理」。

在數學中，重複連乘的運算叫做乘方，乘方的結果稱為 冪（英語：mathematical power，power）；由此，若 $n$ 為正整數，$n$ 個相同的數 $b$ 連續相乘（即 $b$ 自乘 $n$ 次），就可將 $b^{n}$ 看作乘方的結果 ——「冪」。

bn
記號
底數$b$ 與 指數$n$

$b^{n}=\underbrace {b\times \cdots \times b} _{n}$

冪運算（exponentiation）又稱指數運算、取冪，是數學運算，表達式為 $b^{n}$，讀作「$b$ 的 $n$ 次方」或「$b$ 的 $n$ 次冪」。其中，$b$ 稱為底數，而 $n$ 稱為指數，通常指數寫成上標，放在底數的右邊。在純文字格式等不能用上標的情況，例如在編程語言或電子郵件中，$b^{n}$ 通常寫成 b^n 或 b**n；也可視為超運算，記為 b[3]n；亦可以用高德納箭號表示法，寫成 b↑n。

當指數為 1 時，通常不寫出來，因為運算出的值和底數的數值一樣；指數為 2 時，可以讀作「$b$ 的平方」；指數為 3 時，可以讀作「$b$ 的立方」。

由於在十進制中，十的冪很容易計算，只需在後面加零即可，所以科學記數法藉此簡化記錄的數字；二的冪則在計算機科學中相當重要。

起始值 1（乘法的單位元）乘上底數（$b$）自乘指數（$n$）這麼多次。這樣定義了後，很易想到如何一般化指數 0 和負數的情況：指數是零時，底數不為零，冪均為一（即除 0 外，所有數的 0 次方都是 1 ）；指數是負數時，就等於重複除以底數（或底數的倒數自乘指數這麼多次），即：

$b^{0}=1\qquad (b\neq 0)$

$b^{-n}={1 \over \underbrace {b\times \cdots \times b} _{n}}={\frac {1}{b^{n}}}=\left({\frac {1}{b}}\right)^{n}\qquad (b\neq 0)$。

若以分數為指數的冪，則定義：

$b^{\frac {n}{m}}={\sqrt[{m}]{b^{n}}}$，

即 $b$ 的 $n$ 次方再開 $m$ 次方根。

0的0次方（$0^{0}$）目前沒有數學家給予正式的定義；在部分數學領域中，如組合數學，常用的慣例是定義為 1 。

此外，當 $n$ 是複數，且 $b$ 是正實數時，

$b^{n}=\exp(n\ln(b))$

exp 是指數函數，而 ln 是自然對數。

重要的恆等式

運算法則

• 同底數冪相乘，底數不變，指數相加：

$a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$

• 同底數冪相除，底數不變，指數相減：

$a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}$

• 同指數冪相除，指數不變，底數相除($b$不為0)：

${\frac {a^{n}}{b^{n}}}=\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}$

其他等式

• $x^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{x^{m}}}$
• $x^{-m}={\frac {1}{x^{m}}}\qquad (x\neq 0)$
• $x^{0}=1\qquad (x\neq 0)$
• $x^{1}=x\,\!$
• $x^{-1}={\frac {1}{x}}\qquad (x\neq 0)$

運算律

加法和乘法存在交換律，比如：$2+3=5=3+2$，$2\times 3=6=3\times 2$，但是冪的運算不存在交換律，$2^{3}=8$，但是$3^{2}=9$。

同樣，加法和乘法存在結合律，比如：$(2+3)+4=9=2+(3+4)$，$(2\times 3)\times 4=24=2\times (3\times 4)$。不過，冪運算沒有結合律：$(2^{3})^{4}=8^{4}=4096$，而$2^{(3^{4})}=2^{81}=2,417,851,639,229,258,349,412,352$，所以$(2^{3})^{4}\neq 2^{(3^{4})}$。

但是冪運算仍然有其運算律，稱為指數律：

• $a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$
• ${\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}$
• $(a^{m})^{n}=a^{mn}$
• ${\sqrt[{n}]{a^{m}}}=a^{\frac {m}{n}}$
• $a^{n}\cdot b^{n}=(a\cdot b)^{n}$
• ${\frac {a^{n}}{b^{n}}}=\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}$

整數指數冪

整數指數冪的運算只需要初等代數的知識。

正整數指數冪

表達式$a^{2}=a\cdot a$被稱作$a$的平方，因為邊長為$a$的正方形面積是$a^{2}$。

表達式$a^{3}=a\cdot a\cdot a$被稱作$a$的立方，因為邊長為$a$的正方體體積是$a^{3}$。

所以$3^{2}$讀作「3的平方」，$2^{3}$讀作「2的立方」。

指數表示的是底數反覆相乘多少次。比如$3^{5}=3\times 3\times 3\times 3\times 3=243$，指數是5，底數是3，表示3反覆相乘5次。

或者，整數指數冪可以遞歸地定義成：

$a^{n}={\begin{cases}1&(n=0)\\a\cdot a^{n-1}&(n>0)\\\left({\frac {1}{a}}\right)^{-n}&(n<0)\end{cases}}$

指數是1或者0

注意$3^{1}$表示僅僅1個3的乘積，就等於3。

注意$3^{5}=3\times 3^{4}$，$3^{4}=3\times 3^{3}$，$3^{3}=3\times 3^{2}$，$3^{2}=3\times 3^{1}$，

繼續，得到$3^{1}=3\times 3^{0}=3$，所以$3^{0}=1$

另一個得到此結論的方法是：通過運算法則${\frac {x^{n}}{x^{m}}}=x^{n-m}$

當$m=n$時，$1={\frac {x^{n}}{x^{n}}}=x^{n-n}=x^{0}$

• 任何數的1次方是它本身。

零的零次方

主條目：零的零次方

$0^{0}$ 其實還並未被數學家完整的定義，但部分看法是$0^{0}=1$ ，在程式語言中（python） $0**0=1$

在這裡給出這一種極限的看法

$\lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=0^{0}$ 於是，可以求出 x 取值從 1 到 0.0000001 計算得到的值，如圖

負數指數

我們定義任何不為 0 的數 a 的 -1 次方等於它的倒數。

$a^{-1}={\frac {1}{a}}$

對於非零$a$定義

$a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$,

而$a=0$時分母為 0 沒有意義。

證法一：

根據定義$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$，當$m=-n$時

$a^{-n}\,a^{n}=a^{-n\,+\,n}=a^{0}=1,$

得$a^{-n}\,a^{n}=1$, 所以$a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$。

證法二：

通過運算法則${\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}$

當$m=0$時，可得$a^{-n}=a^{0-n}={\frac {a^{0}}{a^{n}}}={\frac {1}{a^{n}}}$

負數指數$a^{-n}$還可以表示成1連續除以$n$個$a$。比如：

$3^{-4}={\frac {\frac {\frac {\frac {1}{3}}{3}}{3}}{3}}={\frac {1}{81}}={\frac {1}{3^{4}}}$.

特殊數的冪

10的冪

主條目：科學計數法

在十進制的計數系統中，10的冪寫成1後面跟着很多個0。例如：$10^{3}=1000,\ 10^{-3}=0.001$

因此10的冪用來表示非常大或者非常小的數字。如：299,792,458（真空中光速，單位是米每秒），可以寫成 $2.99792458\times 10^{8}$，近似值 $2.998\times 10^{8}$ 或 $3\times 10^{8}$

國際單位制詞頭也使用10的冪來描述特別大或者特別小的數字，比如：詞頭「千」就是 $10^{3}$，詞頭「毫」就是 $10^{-3}$

2的冪

主條目：2的冪

1的冪

1的任何次冪都為1。

0的冪

0的正數冪都等於0。

0的負數冪沒有定義。

任何非0之數的0次方都是1；而0的0次方是懸而未決的，某些領域下常用的慣例是約定為1。但某些教科書表示0的0次方為無意義。也有人主張定義為1。

負1的冪

-1的奇數冪等於-1

-1的偶數冪等於1

指數非常大時的冪

一個大於1的數的冪趨於無窮大，一個小於-1的數的冪趨於負無窮大

當$a>1$，$n\to \infty$，$a^{n}\to \infty$

當$a<-1$，$n\to \infty$，$a^{n}\to -\infty$ 或 $\infty$ , (視乎n 是奇數或偶數)

一個絕對值小於1的數的冪趨於0

當$|a|<1$，$n\to \infty$，$a^{n}\to 0$

1的冪永遠都是1

當$a=1$，$n\to \infty$，$a^{n}\to 1$

如果數a趨於1而它的冪趨於無窮，那麼極限並不一定是上面幾個。一個很重要的例子是：

當$n\to \infty ,\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\to e$

參見e的冪

其他指數的極限參見冪的極限

正實數的實數冪

一個正實數的實數冪可以通過兩種方法實現。

• 有理數冪可以通過N次方根定義，任何非0實數次冪都可以這樣定義
• 自然對數可以被用來通過指數函數定義實數冪

N次方根

從上到下：$x^{\frac {1}{8}},\ x^{\frac {1}{4}},\ x^{\frac {1}{2}},\ x^{1},\ x^{2},\ x^{4},\ x^{8}$

主條目：方根

一個數$a$的$n$次方根是$x$，$x$使$x^{n}=a$。

如果$a$是一個正實數，$n$是正整數，那麼方程$x^{n}=a$只有一個正實數根。 這個根被稱為$a$的$n$次方根，記作：${\sqrt[{n}]{a}}$，其中${\sqrt {\ }}$叫做根號。或者，$a$的$n$次方根也可以寫成$a^{\frac {1}{n}}$. 例如$4^{\frac {1}{2}}=2,\ 8^{\frac {1}{3}}=2$

當指數是${\frac {1}{2}}$時根號上的2可以省略，如：${\sqrt {4}}=4^{\frac {1}{2}}={\sqrt[{2}]{4}}=2$

有理數冪

有理數指數冪定義為

$a^{\frac {m}{n}}=(a^{m})^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$

e的冪

主條目：指數函數

這個重要的數學常數e，有時叫做歐拉數，近似2.718，是自然對數的底。它提供了定義非整數指數冪的一個方法。 它是從以下極限定義的：

$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

指數函數的定義是：

$e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$

可以很簡單地證明e的正整數k次方$e^{k}$是：

$e^{k}=\left[\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]^{k}$

$=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}$

$=\lim _{n\cdot k\to \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}$

$=\lim _{m\to \infty }\left(1+{\frac {k}{m}}\right)^{m}$

實數指數冪

y = b^x對各種底數b的圖像，分別為綠色的10、紅色的e、藍色的2和青色的1/2。

因為所有實數可以近似地表示為有理數，任意實數指數x可以定義成：

$b^{x}=\lim _{r\to x}b^{r},$

例如：

$x\approx 1.732$

於是

$5^{x}\approx 5^{1.732}=5^{\frac {433}{250}}={\sqrt[{250}]{5^{433}}}\approx 16.241$

實數指數冪通常使用對數來定義，而不是近似有理數。

自然對數$\ln {x}$是指數函數$e^{x}$的反函數。 它的定義是：對於任意$b>0$，滿足

$b=e^{\ln b}$

根據對數和指數運算的規則：

$b^{x}=(e^{\ln b})^{x}=e^{x\cdot \ln b}$

這就是實數指數冪的定義：

$b^{x}=e^{x\cdot \ln b}\,$

實數指數冪$b^{x}$的這個定義和上面使用有理數指數和連續性的定義相吻合。對於複數，這種定義更加常用。

負實數的實數冪

如果$a$是負數且$n$是偶數，那麼$x=a^{n}$是正數。如果$a$是負數且$n$是奇數，那麼$x=a^{n}$是負數。

使用對數和有理數指數都不能將$a^{k}$（其中$a$是負實數，$k$實數）定義成實數。在一些特殊情況下，給出一個定義是可行的：負指數的整數指數冪是實數，有理數指數冪對於$a^{\frac {m}{n}}$（$n$是奇數）可以使用$n$次方根來計算，但是因為沒有實數$x$使$x^{2}=-1$，對於$a^{\frac {m}{n}}$（$n$是偶數）時必須使用虛數單位$i$。

使用對數的方法不能定義$a\leq 0$時的$a^{k}$為實數。實際上，$e^{x}$對於任何實數$x$都是正的，所以$\ln(a)$對於負數沒有意義。

使用有理數指數冪來逼近的方法也不能用於負數$a$因為它依賴於連續性。函數$f(r)=a^{r}$對於任何正的有理數$a$是連續的，但是對於負數$a$，函數$f$在有些有理數$r$上甚至不是連續的。

例如：當$a=-1$，它的奇數次根等於-1。所以如果$n$是正奇數整數，$-1^{\frac {m}{n}}=-1$當$m$是奇數，$-1^{\frac {m}{n}}=1$當$m$是偶數。雖然有理數$q$使$-1^{q}=1$的集合是稠密集，但是有理數$q$使$-1^{q}=-1$的集合也是。所以函數$-1^{q}$在有理數域不是連續的。

因此，如果要求負實數的任意實數冪，必須將底數和指數看成複數，按複數的正實數冪或複數的複數冪方法計算。

正實數的複數冪

e的虛數次冪

主條目：指數函數

指數函數e^z可以通過(1 + z/N)^N當N趨於無窮大時的極限來定義，那麼e^iπ就是(1 + iπ/N)^N的極限。在這個動畫中n從1取到100。(1 + iπ/N)^N的值通過N重複增加在複數平面上展示，最終結果就是(1 + iπ/N)^N的準確值。可以看出，隨着N的增大，(1 + iπ/N)^N逐漸逼近極限-1。這就是歐拉公式。

複數運算的幾何意義和e的冪可以幫助我們理解$e^{ix}$（$x$是實數），即純虛數指數函數。想象一個直角三角形$(0,1,1+{\frac {ix}{n}})$（括號內是複數平面內三角形的三個頂點），對於足夠大的$n$，這個三角形可以看作一個扇形，這個扇形的中心角就等於${\frac {x}{n}}$弧度。對於所有$k$，三角形$(0,(1+{\frac {ix}{n}})^{k},(1+{\frac {ix}{n}})^{k+1})$互為相似三角形。所以當$n$足夠大時$(1+{\frac {ix}{n}})^{n}$的極限是複數平面上的單位圓上$x$弧度的點。這個點的極坐標是$(r,\theta )=(1,x)$，直角坐標是$(\cos x,\sin x)$。所以$e^{ix}=\cos x+i\sin x$，而這個函數可以稱為純虛數指數函數。這就是歐拉公式，它通過複數的意義將代數學和三角學聯繫起來了。

等式$e^{z}=1$的解是一個整數乘以$2i\pi$：

$\{z:e^{z}=1\}=\{2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}.$

更一般地，如果$e^{b}=a$，那麼$e^{z}=a$的每一個解都可以通過將$2i\pi$的整數倍加上$b$得到：

$\{z:e^{z}=a\}=\{b+2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}.$

這個復指數函數是一個有周期$2i\pi$的周期函數。

更簡單的：$e^{i\pi }=-1;\ e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y)$。

三角函數

主條目：歐拉公式

根據歐拉公式，三角函數餘弦和正弦是：

$\cos z={\frac {e^{i\cdot z}+e^{-i\cdot z}}{2}}\qquad \sin z={\frac {e^{i\cdot z}-e^{-i\cdot z}}{2\cdot i}}$

歷史上，在複數發明之前，餘弦和正弦是用幾何的方法定義的。上面的公式將複雜的三角函數的求和公式轉換成了簡單的指數方程

$e^{i\cdot (x+y)}=e^{i\cdot x}\cdot e^{i\cdot y}.\,$

使用了複數指數冪之後，很多三角學問題都能夠使用代數方法解決。

e的複數指數冪

$e^{x+iy}$可以分解成$e^{x}\cdot e^{iy}$。其中$e^{x}$是$e^{x+iy}$的模，$e^{iy}$決定了$e^{x+iy}$的方向

正實數的複數冪

如果$a$是一個正實數，$z$是任何複數，$a^{z}$定義成$e^{z\cdot \ln(a)}$，其中$x=\ln(a)$是方程$e^{x}=a$的唯一解。所以處理實數的方法同樣可以用來處理複數。

例如：

$2^{i}=e^{i\cdot \ln(2)}=\cos {\ln 2}+i\cdot \sin {\ln 2}=0.7692+0.63896i$

${{e}^{i}}=0.5403023+0.841471i$

${{10}^{i}}=-0.6682015+0.7439803i$

$(e^{2\pi })^{i}=535.49^{i}=1$

複數的複數冪

複數的虛數冪

讓我們從一個簡單的例子開始：計算$\left(1+i\right)^{i}$。

${\begin{aligned}\left(1+i\right)^{i}&=\left[{\sqrt {2}}\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)\right]^{i}\\&=\left({\sqrt {2}}e^{{\tfrac {\pi }{4}}i}\right)^{i}\\&=e^{-{\tfrac {\pi }{4}}}{\sqrt {2}}^{i}\\&=e^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\cos {\frac {\ln 2}{2}}+ie^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\sin {\frac {\ln 2}{2}}\\\end{aligned}}$

其中${\sqrt {2}}^{i}$的得法參見上文正實數的複數冪

複數的複數冪

類似地，在計算複數的複數冪時，我們可以將指數的實部與虛部分開以進行冪計算。例如計算$\left(1+i\right)^{2+i}$：

${\begin{aligned}\left(1+i\right)^{2+i}&=\left(1+i\right)^{2}\left(1+i\right)^{i}\\&=2ie^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\left(\cos {\frac {\ln 2}{2}}+i\sin {\frac {\ln 2}{2}}\right)\\&=-2e^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\sin {\frac {\ln 2}{2}}+2ie^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\cos {\frac {\ln 2}{2}}\\\end{aligned}}$

一般情況

複數的複數冪必須首先化為底數為$e$的形式：

$w^{z}=e^{z\ln w}$

又，由複數的極坐標表示法：

$w=re^{i\theta }$

故

$w^{z}=e^{z\ln(w)}=e^{z(\ln(r)+i\theta )}$。

然後，使用歐拉公式處理即可。

由於複數的極坐標表示法中，輻角$\theta$的取值是具有周期性的，因此複數的複數冪在大多數情況下是多值函數。不過實際應用中，為了簡便起見，輻角都只取主值，從而使冪值唯一。

在函數中

當函數名後有上標的數（即函數的指數），一般指要重複它的運算。例如$f^{3}(x)$即$f(f(f(x)))$。特別地，$f^{-1}(x)$指$f(x)$的反函數。

但三角函數的情況有所不同，一個正指數應用於函數的名字時，指答案要進行乘方運算，而指數為-1時則表示其反函數。例如：$(\sin x)^{-1}$表示$\csc x$。因此在三角函數時，使用$\sin ^{-1}x$來表示$\sin x$的反函數$\arcsin x$。

計算自然數（正整數）$n$的$a^{n}$的算法

最快的方式計算$a^{n}$，當$n$是正整數的時候。它利用了測試一個數是奇數在計算機上是非常容易的，和通過簡單的移所有位向右來除以2的事實。

在C/C++語言中，你可以寫如下算法：

double power(double a, unsigned int n)
{
    double y = 1;
    double f = a;
    while (n > 0) {
       if (n % 2 == 1) y *= f;
       n >>= 1;
       f *= f;
    }
    return y;
}

此算法的時間複雜度為$\mathrm {O} (\log n)\!$，比普通算法快（a自乘100次，時間複雜度為$\mathrm {O} (n)\!$），在$n$較大的時候更為顯著。

例如計算$a^{100}$，普通算法需要算100次，上述算法則只需要算7次。若要計算$a^{n}(n<0)$可先以上述算法計算$a^{|n|}$，再作倒數。

另見

• 迭代冪次

外部連結

• 指數的歷史