初等代数

(重定向自基本代数

初等代数是一个初等且相对简单形式的代数,教导对象为还没有数学算术方面较深知识的中小学生,大学学习的则称为高等代数。当在算术中只有数字与其运算(如:)出现时,在代数中也会使用字母符号诸如 等表示数字,习惯上用前者表示未知数变量,用后者表示任意的已知数。

概述

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初等代数中还会使用诸如     映射符号来表示关于某个字母符号的代数式

* 它使得算术等式(或不等式)可以被描述成命题定理(如:  实数    ),因此这是系统化学习实数性质的第一步。

  • 它允许涉及未知的数字。在一个问题的内容里,变量或许代表某一还不确定,但可能可以经由方程的规划及操纵来解开的数值。
  • 它允许探究数量之间的数学关系的可能(如“若你卖了   张票,你的收益将有   元”)。

这三个是初等代数的主要组成部分,以区隔其与目的为教导大学生更高深主题的抽象代数的不同。[原创研究?]

在初等代数里,表示式包含有数字、变量及运算。它们通常把较高次项(习惯上)写在表示左边(参考多项式),举几个例子来说:

 
 
 

在更进阶的代数里,表示式也会包含有初等函数

一个等式表示其等号两边的表示式是相等的。某些等式对于其中变量的所有取值都成立(如  );这种等式称为恒等式。而其他只有变量在某些值时才正确(如  ),此一使等式成立的变量值则称为这等式的

定理

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与代数运算相关的定理 [1]

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  • 加法是一可交换的运算(两个数不论顺序为何,它加起来的总和都一样)。
    • 减法是加法的逆运算。
    • 减去一个数和加上一个此数的负数是一样意思的:
 
例如:若   ,则  
  • 乘法是一可交换的运算。
    • 除法是乘法的逆运算。
    • 除去一个数和乘上一个此数的倒数是一样意思的:
 
例如:若   ,则  
  • 不是一可交换的运算。
    • 但幂却有两个逆运算:对数开方(如平方根)。
      • 例如:若  ,则  
      • 例如:若  ,则     
    • 负数的平方根不存在于实数内。(参考:复数
  • 加法的结合律性质: 
  • 乘法的结合律性质: 
  • 对应加法的乘法分配律性质: 
  • 对应乘法的幂分配律性质: 
  • 幂的乘法: 
  • 幂的幂: 

与“等于”相关的定理

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  •   (等于的自反性)。
  •  ,则   (等于的对称性)。
  •   ,则  等于传递律)。
  •  ,则  

其他定理

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  •   ,则  
    •  ,则对任一 c (等于的可加性)。
  •   ,则   =  
    •  ,则对任一 c (等于的可乘性)。
  • 若两个符号相等,则一个总是能替换另一个(替换原理)。
  •   ,则  不等式的传递律)。
  •  ,则对任一 c 
  •   ,则  
  •   ,则  

例子

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一元一次方程

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最简单的方程为一元一次方程,它们是含有一个常数和一没有幂的变量。例如:

 

其中心解法为在等式的两边同时以相同数字做加、减、乘、除,以使变量单独留在等式的一侧。一旦变量独立了,等式的另一边即是此变量的值。例如,将上面式子两边同时减去4:

 

简化后即为

 

再同时除以2

 

再简化后即为答案:

 

一般的情形

 

也可以依同样的方式得出答案来:

 

【这就是一元一次方程简单的说明】

一元二次方程

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一元二次方程可以表现成  ,在这   不等于零(假如   等于零,则此方式为一次方程式,而非二次方程式)。二次方程式必须保持二次的形态,如  ,二次方程式可以通过因式分解求解(多项式展开的逆过程),或者一般地使用二次方程求根公式。因式分解的举例:

 

这相当于

 

0 和 -3 是它的解,因为把   置为 0 或 -3 便使上述等式成立。 所有二次方程式在复数体系中都有两个解,但是在实数系统中却不一定,例如:

 

没有实数解,因为没有实数的平方是 -1。 有时一个二次方程式会有2重根,例如:

 

在这个方程中,-1是2重根。

线性方程组

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线性方程组内,如两个变量的方程组内有两个方程式的话,通常可以找出可同时满足两个方程式的两个变量。

下面为线性方程组的一个例子,有两个求解的方法:

 
 

求解的第一种方法

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将第2个等式的左右项各乘以2,

 
 

再将两式相加,

 

上式可化简为

 

因为已知 ,于是就可以由两式中的任意一个推断出 。所以这个问题的完整解为

 

注意:这并不是解这类特殊情况的唯一方法;  也可以在   之前求得。

求解的第二种方法

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另一种求解的方法为替代。

 

  的等值可以由两个方程式中的其中一种推出。我们使用第二个方程:

 

由方程的两边减去  

 
 

再乘上 -1:

 

将此   值放入原方程组的第一个方程式:

 
 
 

在方程的两端加上 2:

 
 

此可简化成

 

将此值代回两个方程式中的一个,可求得和上一个方法所求得的相同解答。

 


注意:这并不是解这类特殊情况的唯一方法;在这个方法里也是一样的,  也可以在   之前求得。

另见

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参考

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脚注

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  1. ^ Mirsky, Lawrence (1990) An Introduction to Linear Algebra Library of Congress. p.72-3. ISBN 0-486-66434-1.