abc猜想
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abc猜想(英語:abc conjecture)是一個未解決的數學猜想,最先由約瑟夫·奧斯特萊及大衛·馬瑟在1985年提出。abc猜想以三個互質正整數a, b, c描述,c是a及b的和,猜想因此得名。京都大學數理解析研究所望月新一教授於2012年提出論文證明,經過8年同行審查後於2020年4月發表,但對於該證明的正確性仍存在極大爭議。對此也衍生出一BOINC項目「ABC@Home」。
abc猜想若得證,數論中很多著名猜想可以立時得出。多利安·哥德費爾德稱abc猜想為「丟番圖分析中最重要的未解問題」。(Goldfeld 1996)
內容
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對正整數 , 表示 的質因數的積,稱為 的根基(radical)。例如
- rad(16) = rad(24) = 2,
- rad(17) = 17,
- rad(18) = rad(2 ⋅ 32) = 2 · 3 = 6,
- rad(1000000) = rad(26 ⋅ 56) = 2 ⋅ 5 = 10.
若正整數a, b, c 彼此互質,且a + b=c,「通常」會有c < rad(abc),例如:
- , , : 。
- , , : 。
但是也有反例,例如:
- , , :因為 , ,故此 。
如上有多於一個整數可被小的質數的高次冪整除,使rad(abc) < c,是較特殊的情況。ABC@Home計劃目的在尋找更多這樣的例子。
abc猜想(一)
- 對於任何 ,只存在有限個互質正整數的三元組(a, b, c),c = a + b,使得
abc猜想也有以下等價的表述方式:
abc猜想(二)
- 對於任何 ,存在常數 ,使得對於互質正整數的三元組(a, b, c),c = a + b,有:
abc猜想第三個表述方式,用到了三元組(a, b, c)的品質(quality),定義為:
例如:
- q(4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0.46820...
- q(3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1.426565...
一般的互質正整數的三元組,通常有 rad(abc) > c,因此q(a, b, c) < 1。q大於1的情況較少出現。
abc猜想(三)
- 對於任何 ,只存在有限個互質正整數的三元組(a, b, c),c = a + b,使得
abc猜想中的ε不能去掉,不然命題就不成立。考慮以下例子:
- , ,
這三個正整數互質,且有 。注意到 可被 整除,因此有
- :
因此
當n趨向無限大時, 也趨向無限大。因此不存在常數C,使得 c < C rad(abc)對所有適合條件的三元組都成立。
可得出的結果
編輯如果abc猜想得證,那麼有很多結果可以推導出來。其中一些結果,在abc猜想提出後,已經以其他方法得到證明,一些則仍然為猜想。
- Thue–Siegel–Roth定理
- 費馬大定理對所有足夠大指數的情形(安德魯·懷爾斯已證一般情形) (Granville 2002)
- Mordell猜想(格爾德·法爾廷斯已證一般情形)(Elkies 1991)
- Erdős–Woods猜想,除了有限多的反例。(Langevin 1993)
- 存在無限多非維費里希素數(Silverman 1988)
- Marshall Hall猜想的弱形式(Nitaj 1996)
- 費馬-卡塔蘭猜想(Pomerance 2008)
- 用勒讓德符號構成的L函數L(s, χd)沒有西格爾零點(需要abc猜想在代數數域上的一致形式,不只在有理整數上。)(Granville 2000)
- 對有至少3個簡單零點的多項式P(x),在整數x取的所有值中,只有有限個次方數。[1]
- Tijdeman定理的推廣形式,關於ym = xn + k的解的個數(定理是k=1的情形),及Pillai猜想,關於Aym = Bxn + k的解的個數。
- 等價於Granville–Langevin 猜想[2][3]
- 等價於修改後的Szpiro猜想(Oesterlé 1988)
- Brocard問題n! + A= k2,對任何給定的整數A,都只有有限個解。(Dąbrowski 1996)
理論結果
編輯abc猜想導出c有abc的根基的接近線性函數的上界;不過,現在已知的是指數上界。確切結果如下:
上述的上界中,K1是不依賴a, b, c的常數,而K2和K3是(以可有效計算的方式)依賴於ε的常數,但不依賴於a, b, c。上述的上界對c > 2的三元組都成立。
計算結果
編輯2006年,荷蘭的萊頓大學數學系與Kennislink科學研究所合作,開展ABC@Home計劃。這個計劃是網格計算系統,目的在找出更多的正整數三元組a, b, c使得rad(abc) < c。雖然有無限個例子或反例不能解決abc猜想,但是期望藉着這個計劃發現的三元組的模式,可以得出對這個猜想以至於數論的新的洞見。
下述的q是上節定義的品質。
q > 1 | q > 1.05 | q > 1.1 | q > 1.2 | q > 1.3 | q > 1.4 | |
---|---|---|---|---|---|---|
c < 102 | 6 | 4 | 4 | 2 | 0 | 0 |
c < 103 | 31 | 17 | 14 | 8 | 3 | 1 |
c < 104 | 120 | 74 | 50 | 22 | 8 | 3 |
c < 105 | 418 | 240 | 152 | 51 | 13 | 6 |
c < 106 | 1,268 | 667 | 379 | 102 | 29 | 11 |
c < 107 | 3,499 | 1,669 | 856 | 210 | 60 | 17 |
c < 108 | 8,987 | 3,869 | 1,801 | 384 | 98 | 25 |
c < 109 | 22,316 | 8,742 | 3,693 | 706 | 144 | 34 |
c < 1010 | 51,677 | 18,233 | 7,035 | 1,159 | 218 | 51 |
c < 1011 | 116,978 | 37,612 | 13,266 | 1,947 | 327 | 64 |
c < 1012 | 252,856 | 73,714 | 23,773 | 3,028 | 455 | 74 |
c < 1013 | 528,275 | 139,762 | 41,438 | 4,519 | 599 | 84 |
c < 1014 | 1,075,319 | 258,168 | 70,047 | 6,665 | 769 | 98 |
c < 1015 | 2,131,671 | 463,446 | 115,041 | 9,497 | 998 | 112 |
c < 1016 | 4,119,410 | 812,499 | 184,727 | 13,118 | 1,232 | 126 |
c < 1017 | 7,801,334 | 1,396,909 | 290,965 | 17,890 | 1,530 | 143 |
c < 1018 | 14,482,065 | 2,352,105 | 449,194 | 24,013 | 1,843 | 160 |
截至2014年4月[update],ABC@Home找出 2380 萬個三元組,現今目標在找出c不大於263的所有三元組(a,b,c)。[5]
q | a | b | c | 發現者 | |
---|---|---|---|---|---|
1 | 1.6299 | 2 | 310·109 | 235 | Eric Reyssat |
2 | 1.6260 | 112 | 32·56·73 | 221·23 | Benne de Weger |
3 | 1.6235 | 19·1307 | 7·292·318 | 28·322·54 | Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski |
4 | 1.5808 | 283 | 511·132 | 28·38·173 | Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski, Abderrahmane Nitaj |
5 | 1.5679 | 1 | 2·37 | 54·7 | Benne de Weger |
歷史
編輯1996年,艾倫·貝克(Alan Baker)提出一個較為精確的猜想,將 用 取代,在此 是 的不同質因數的數目。
2007年,呂西安·施皮羅嘗試給出證明,後來被發現有錯誤。[7]
2012年8月,日本京都大學數學家望月新一發表長約五百頁的abc猜想的證明,以他建立的宇宙際泰赫米勒理論(inter-universal Teichmüller theory)為基礎[8][9][10]。該證明目前正由其他數學專家檢查中。[11]當Vesselin Dimitrov和阿克沙伊·文卡泰什在2012年10月發現一處錯誤時,望月新一在他的網站確認了此錯誤,並聲稱這個錯誤能夠在近期修補,不會影響最後的結果[12]。2012年12月,望月新一在自己主頁貼出了自己對所有四篇文章的修改稿。主要包含27條重要的修改。2012年12月-2013年2月,他又屢次對文章進行了修訂,新修正了18處錯誤,當中很多也是打字錯誤[13]。望月新一在網上公開了2013年[14]以及2014年[15]的檢驗進度報告。2018年8月,皮特·舒爾策和Jakob Stix指出,望月新一的證明論文中 Corollary 3.12 證明結尾的一行推理存在無法修復的缺陷。[16]望月認為二者的批評存在「某種根本上的誤解」。[17]
參見
編輯- 根基
- Mason-Stothers定理—多項式環上的對應定理
參考文獻
編輯引用
編輯- ^ 存档副本 (PDF). [2014-09-29]. (原始內容 (PDF)存檔於2009-02-05).
- ^ Mollin (2009)
- ^ Mollin (2010) p.297
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- ^ 100 unbeaten triples. Reken mee met ABC. 2010-11-07 [2014-10-28]. (原始內容存檔於2014-10-25).
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- ^ 存档副本 (PDF). [2015-01-17]. (原始內容存檔 (PDF)於2015-01-22).
- ^ 望月新一的 ABC 猜想证明被认为存在无法修复的漏洞. www.solidot.org. [2018-10-10]. (原始內容存檔於2018-10-11).
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來源
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外部連結
編輯- ABC@home(頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) 分佈式計算項目ABC@Home.
- Easy as ABC(頁面存檔備份,存於互聯網檔案館): Easy to follow, detailed explanation by Brian Hayes.
- 埃里克·韋斯坦因. abc Conjecture. MathWorld.
- Abderrahmane Nitaj's ABC conjecture home page
- Bart de Smit's ABC Triples webpage(頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)
- http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ABC-Conjecture.pdf(頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)
- The amazing ABC conjecture(頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)
- The ABC's of Number Theory by Noam D. Elkies
- Questions about Number(頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) by Barry Mazur
- Philosophy behind Mochizuki’s work on the ABC conjecture(頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) on MathOverflow
- ABC Conjecture(頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) Polymath project wiki page linking to various sources of commentary on Mochizuki's papers.