abc猜想

abc猜想（英語：abc conjecture）是一個未解決的數學猜想，最先由約瑟夫·奧斯特萊及大衛·馬瑟在1985年提出。abc猜想以三個互質正整數a, b, c描述，c是a及b的和，猜想因此得名。京都大學數理解析研究所望月新一教授於2012年提出論文證明，經過8年同行審查後於2020年4月發表，但對於該證明的正確性仍存在極大爭議。對此也衍生出一BOINC項目「ABC@Home」。

abc猜想若得證，數論中很多著名猜想可以立時得出。多利安·哥德費爾德稱abc猜想為「丟番圖分析中最重要的未解問題」。(Goldfeld 1996)

內容

對正整數 $n$ ， $\operatorname {rad} (n)$ 表示 $n$ 的質因數的積，稱為 $n$ 的根基（radical）。例如

rad(16) = rad(2⁴) = 2,

rad(17) = 17,

rad(18) = rad(2 ⋅ 3²) = 2 · 3 = 6,

rad(1000000) = rad(2⁶ ⋅ 5⁶) = 2 ⋅ 5 = 10.

若正整數a, b, c 彼此互質，且a + b=c，「通常」會有c < rad(abc)，例如：

a=2

,

b=7

,

c=9

：

\operatorname {rad} (abc)=42>c

。

a=9

,

b=16

,

c=25

：

\operatorname {rad} (abc)=30>c

。

但是也有反例，例如：

a=3

,

b=125

,

c=128

：因為

125=5^{3}

，

128=2^{7}

，故此

\operatorname {rad} (abc)=30<c

。

如上有多於一個整數可被小的質數的高次冪整除，使rad(abc) < c，是較特殊的情況。ABC@Home計劃目的在尋找更多這樣的例子。

abc猜想（一）

對於任何

\varepsilon >0

，只存在有限個互質正整數的三元組(a, b, c)，c = a + b，使得

c>\operatorname {rad} (abc)^{1+\epsilon }

abc猜想也有以下等價的表述方式：

abc猜想（二）

對於任何

\varepsilon >0

，存在常數

C_{\varepsilon }>0

，使得對於互質正整數的三元組(a, b, c)，c = a + b，有：

c<C_{\varepsilon }\operatorname {rad} (abc)^{1+\epsilon },

abc猜想第三個表述方式，用到了三元組(a, b, c)的品質（quality），定義為：

q(a,b,c)={\frac {\log(c)}{\log(\operatorname {rad} (abc))}}

例如：

q(4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0.46820...
q(3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1.426565...

一般的互質正整數的三元組，通常有 rad(abc) > c，因此q(a, b, c) < 1。q大於1的情況較少出現。

abc猜想（三）

對於任何

\varepsilon >0

，只存在有限個互質正整數的三元組(a, b, c)，c = a + b，使得

q(a,b,c)>1+\epsilon

abc猜想中的ε不能去掉，不然命題就不成立。考慮以下例子：

a_{n}=3^{2^{n}}-1

,

b_{n}=1

,

c_{n}=3^{2^{n}}

這三個正整數互質，且有 $a_{n}+b_{n}=c_{n}$ 。注意到 $a_{n}$ 可被 $2^{n+2}$ 整除，因此有

\operatorname {rad} (a_{n}b_{n}c_{n})\leq 3\cdot 2\cdot {\frac {a_{n}}{2^{n+2}}}={\frac {3a_{n}}{2^{n+1}}}

:

因此

c_{n}>a_{n}\geq {\frac {2^{n+1}}{3}}\operatorname {rad} (a_{n}b_{n}c_{n})

當n趨向無限大時， ${\frac {2^{n+1}}{3}}$ 也趨向無限大。因此不存在常數C，使得 c < C rad(abc)對所有適合條件的三元組都成立。

可得出的結果

如果abc猜想得證，那麼有很多結果可以推導出來。其中一些結果，在abc猜想提出後，已經以其他方法得到證明，一些則仍然為猜想。

Thue–Siegel–Roth定理（英語：Thue–Siegel–Roth theorem）
費馬大定理對所有足夠大指數的情形（安德魯·懷爾斯已證一般情形） (Granville 2002)
Mordell猜想（格爾德·法爾廷斯已證一般情形）(Elkies 1991)
Erdős–Woods猜想（英語：Erdős–Woods conjecture），除了有限多的反例。(Langevin 1993)
存在無限多非維費里希素數(Silverman 1988)
Marshall Hall猜想（英語：Marshall Hall's conjecture）的弱形式(Nitaj 1996)
費馬－卡塔蘭猜想(Pomerance 2008)
用勒讓德符號構成的L函數L(s, χ_d)沒有西格爾零點（需要abc猜想在代數數域上的一致形式，不只在有理整數上。）(Granville 2000)
對有至少3個簡單零點的多項式P(x)，在整數x取的所有值中，只有有限個次方數。^[1]
Tijdeman定理（英語：Tijdeman's theorem）的推廣形式，關於y^m = xⁿ + k的解的個數（定理是k=1的情形），及Pillai猜想，關於Ay^m = Bxⁿ + k的解的個數。
等價於Granville–Langevin 猜想^[2]^[3]
等價於修改後的Szpiro猜想（英語：Szpiro's conjecture）(Oesterlé 1988)
Brocard問題（英語：Brocard's problem）n! + A= k²，對任何給定的整數A，都只有有限個解。(Dąbrowski 1996)

理論結果

abc猜想導出c有abc的根基的接近線性函數的上界；不過，現在已知的是指數上界。確切結果如下：

c<\exp {\left(K_{1}\operatorname {rad} (abc)^{15}\right)}

(Stewart & Tijdeman 1986),

c<\exp {\left(K_{2}\operatorname {rad} (abc)^{{\frac {2}{3}}+\varepsilon }\right)}

(Stewart & Yu 1991),

c<\exp {\left(K_{3}\operatorname {rad} (abc)^{{\frac {1}{3}}+\varepsilon }\right)}

(Stewart & Yu 2001).

上述的上界中，K₁是不依賴a, b, c的常數，而K₂和K₃是（以可有效計算的方式）依賴於ε的常數，但不依賴於a, b, c。上述的上界對c > 2的三元組都成立。

計算結果

2006年，荷蘭的萊頓大學數學系與Kennislink科學研究所合作，開展ABC@Home計劃。這個計劃是網格計算系統，目的在找出更多的正整數三元組a, b, c使得rad(abc) < c。雖然有無限個例子或反例不能解決abc猜想，但是期望藉著這個計劃發現的三元組的模式，可以得出對這個猜想以至於數論的新的洞見。

下述的q是上節定義的品質。

符合q > 1的三元組分佈^[4]
	q > 1	q > 1.05	q > 1.1	q > 1.2	q > 1.3	q > 1.4
c < 10²	6	4	4	2	0	0
c < 10³	31	17	14	8	3	1
c < 10⁴	120	74	50	22	8	3
c < 10⁵	418	240	152	51	13	6
c < 10⁶	1,268	667	379	102	29	11
c < 10⁷	3,499	1,669	856	210	60	17
c < 10⁸	8,987	3,869	1,801	384	98	25
c < 10⁹	22,316	8,742	3,693	706	144	34
c < 10¹⁰	51,677	18,233	7,035	1,159	218	51
c < 10¹¹	116,978	37,612	13,266	1,947	327	64
c < 10¹²	252,856	73,714	23,773	3,028	455	74
c < 10¹³	528,275	139,762	41,438	4,519	599	84
c < 10¹⁴	1,075,319	258,168	70,047	6,665	769	98
c < 10¹⁵	2,131,671	463,446	115,041	9,497	998	112
c < 10¹⁶	4,119,410	812,499	184,727	13,118	1,232	126
c < 10¹⁷	7,801,334	1,396,909	290,965	17,890	1,530	143
c < 10¹⁸	14,482,065	2,352,105	449,194	24,013	1,843	160

截至2014年4月 (2014-04)^[update]，ABC@Home找出 2380 萬個三元組，現今目標在找出c不大於2⁶³的所有三元組(a,b,c)。^[5]

已知之中最高品質的三元組^[6]
	q	a	b	c	發現者
1	1.6299	2	3¹⁰·109	23⁵	Eric Reyssat
2	1.6260	11²	3²·5⁶·7³	2²¹·23	Benne de Weger
3	1.6235	19·1307	7·29²·31⁸	2⁸·3²²·5⁴	Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski
4	1.5808	283	5¹¹·13²	2⁸·3⁸·17³	Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski, Abderrahmane Nitaj
5	1.5679	1	2·3⁷	5⁴·7	Benne de Weger

歷史

1996年，艾倫·貝克（Alan Baker）提出一個較為精確的猜想，將 $\operatorname {rad} (abc)$ 用 $\varepsilon ^{-\omega }\operatorname {rad} (abc)$ 取代，在此 $\omega$ 是 $a,b,c$ 的不同質因數的數目。

2007年，呂西安·施皮羅嘗試給出證明，後來被發現有錯誤。^[7]

2012年8月，日本京都大學數學家望月新一發表長約五百頁的abc猜想的證明，以他建立的宇宙際泰赫米勒理論（inter-universal Teichmüller theory）為基礎^[8]^[9]^[10]。該證明目前正由其他數學專家檢查中。^[11]當Vesselin Dimitrov和阿克沙伊·文卡泰什在2012年10月發現一處錯誤時，望月新一在他的網站確認了此錯誤，並聲稱這個錯誤能夠在近期修補，不會影響最後的結果^[12]。2012年12月，望月新一在自己主頁貼出了自己對所有四篇文章的修改稿。主要包含27條重要的修改。2012年12月-2013年2月，他又屢次對文章進行了修訂，新修正了18處錯誤，當中很多也是打字錯誤^[13]。望月新一在網上公開了2013年^[14]以及2014年^[15]的檢驗進度報告。2018年8月，皮特·舒爾策和Jakob Stix（英語：Jakob Stix）指出，望月新一的證明論文中 Corollary 3.12 證明結尾的一行推理存在無法修復的缺陷。^[16]望月認為二者的批評存在「某種根本上的誤解」。^[17]

參見

根基
Mason-Stothers定理—多項式環上的對應定理

參考文獻

引用

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來源

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外部連結

ABC@home（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）分布式計算項目ABC@Home.
Easy as ABC（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）: Easy to follow, detailed explanation by Brian Hayes.
埃里克·韋斯坦因. abc Conjecture. MathWorld.
Abderrahmane Nitaj's ABC conjecture home page
Bart de Smit's ABC Triples webpage（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ABC-Conjecture.pdf（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
The amazing ABC conjecture（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
The ABC's of Number Theory by Noam D. Elkies
Questions about Number（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） by Barry Mazur
Philosophy behind Mochizuki’s work on the ABC conjecture（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） on MathOverflow
ABC Conjecture（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Polymath project wiki page linking to various sources of commentary on Mochizuki's papers.

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[2] Mollin (2009)

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