群范畴

在数学上，群范畴（表记为Grp或Gp）指的是以群为物件、以同态映射为态射，也因此这是个具体范畴，而研究这范畴的理论即是群论。

与其他范畴的关系

群范畴有两个以群范畴为定义域的遗忘函子，其中一个是映射至幺半群的函子M: Grp → Mon；另一个是映射至集合范畴的函子U: Grp → Set。在这其中，M有两个伴随函子，其中一个I: Mon→Grp是右伴随函子；而另一个K: Mon→Grp则是左伴随函子；其中I: Mon→Grp是将所有的幺半群映射至其可逆元素的子幺半群的函子；而K: Mon→Grp则是将所有的幺半群映射至格罗滕迪克群的函子；此外，遗忘函子U: Grp → Set则有一个以合成函子形式出现的左伴随函子KF: Set→Mon→Grp，其中F是自由函子，这自由函子会将每个集合S映射至由S产生的自由群。

范畴性质

群范畴当中的单态射即是同态单射；而其满态射即是同态满射；而其同构映射即是同态双射。

群范畴是完全范畴，也同时是余完全范畴。其范畴─理论积即是群的直积；而其余积则是群的自由积。这个范畴的零对象则是当然群，也就是只包含单位元的群。

非可加性故非交换性

阿贝尔群范畴Ab是群范畴的完全子范畴。Ab是一个交换范畴，但群范畴本身不是交换范畴；事实上，群范畴甚至不是可加范畴，而这是因为在两个群同态之间，通常没有可自然定义的“和”之故。以下为其证明：

三阶对称群S₃映至自己的映射$E=\operatorname {Hom} (S_{3},S_{3})$有十个元素，其中z是一个$E$中的任一元素与之相乘都会得到z的元素（也就是将群中每个元素都映至单位元的映射）；此外，有三个元素是一个固定边的乘积总与自己相等的元素（也就是将这个群映至其二阶子群的映射）；另外还有六个是自同态映射。假定群范畴是个可加范畴，那这个有十个元素的集合$E$就会是一个环；而在任何的环当中，都会有一个零元素0，使得对环中所有的元素x而言，都有0x=x0=0，因此z会是$E$中的零元素；然而，在$E$，没有任何两个非零元素的乘积会是z，因此这会是一个无零因子的环；而一个无零因子的有限环会是一个域，但没有一个域会有十个元素，而这是因为每个有限域的元素个数都会是质数的幂之故。

正合序列

在群范畴中，正合序列是有意义的，而一些在阿贝尔范畴中成立的定理及其结果，像是九引理以及五引理等，在群范畴中也成立。群范畴是一个正则范畴。

参考资料

• Goldblatt, Robert. Topoi, the Categorial Analysis of Logic Revised. Dover Publications. 2006 [1984] [2009-11-25]. ISBN 978-0-486-45026-1. （原始内容存档于2020-03-21）.