约翰逊多面体列表

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约翰逊多面体是指的所有都是正多边形顶点并非均匀的严格凸多面体。 即不是柏拉图立体、不是阿基米德立体、不是半正多面体、不是棱柱也不是反棱柱严格凸正多边形多面体。 1966年,诺曼·约翰逊英语Norman Johnson (mathematician)发表了一份包含92种有以上性质的多面体列表,并给出了名称和编号,但他并未证明这种立体仅有92个,但猜想没有其他的这种立体。[1] 1969年,维克多·扎加勒(Victor Zalgaller)证明了约翰逊多面体仅有92个,也就是诺曼·约翰逊给出的多面体列表是完整的。[2]

另外,也可能构造出具有近似于正多边形面的凸多面体;或可以构造所有面都是正多边形但不要求严格凸的凸多面体。这些多面体被非正式地称为拟约翰逊多面体;它们的数量无法被确定,后者则有无穷多种。但后者如果加上一个“条件边”的条件,则可以确定其数量为78个,称为条件边正多边形凸多面体[3]。详细的这些立体可以参见条件边正多边形凸多面体列表[4]

下表列出了92种约翰逊多面体的各项重要性质与数值。每个表都允许按特定栏位的内容来做排序,以便依据特定属性或性质或约翰逊多面体的名称来进行排序。

列表

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下表列出约翰逊多面体的名称与展开图

Jn 名称 英语名称 展开图 图像
1 正四角锥 Square pyramid    
2 正五角锥 Pentagonal pyramid    
3 正三角台塔 Triangular cupola    
4 正四角台塔 Square cupola    
5 正五角台塔 Pentagonal cupola    
6 正五角丸塔 Pentagonal rotunda    
7 正三角锥柱 Elongated triangular pyramid    
8 正四角锥柱 Elongated square pyramid    
9 正五角锥柱 Elongated pentagonal pyramid    
10 四角锥反角柱 Gyroelongated square pyramid    
11 五角锥反角柱 Gyroelongated pentagonal pyramid    
12 双三角锥 Triangular bipyramid    
13 双五角锥 Pentagonal bipyramid    
14 双三角锥柱 Elongated triangular bipyramid    
15 双四角锥柱 Elongated square bipyramid    
16 双五角锥柱 Elongated pentagonal bipyramid    
17 双四角锥反角柱 Gyroelongated square bipyramid    
18 三角台塔柱 Elongated triangular cupola    
19 四角台塔柱 Elongated square cupola    
20 五角台塔柱 Elongated pentagonal cupola    
21 正五角丸塔柱 Elongated pentagonal rotunda    
22 正三角台塔反角柱 Gyroelongated triangular cupola    
23 正四角台塔反角柱 Gyroelongated square cupola    
24 正五角台塔反角柱 Gyroelongated pentagonal cupola    
25 正五角丸塔反角柱 Gyroelongated pentagonal rotunda    
26 异相双三角柱 Gyrobifastigium    
27 同相双三角台塔 Triangular orthobicupola    
28 同相双四角台塔 Square orthobicupola    
29 异相双四角台塔 Square gyrobicupola    
30 同相双五角台塔 Pentagonal orthobicupola    
31 异相双五角台塔 Pentagonal gyrobicupola    
32 同相五角台塔丸塔 Pentagonal orthocupolarotunda    
33 异相五角台塔丸塔 Pentagonal gyrocupolarotunda    
34 同相双五角丸塔英语Pentagonal orthobirotunda Pentagonal orthobirotunda    
35 同相双三角台塔柱英语Elongated triangular orthobicupola Elongated triangular orthobicupola    
36 异相双三角台塔柱英语Elongated triangular gyrobicupola Elongated triangular gyrobicupola    
37 异相双四角台塔柱 Elongated square gyrobicupola    
38 同相双五角台塔柱英语Elongated pentagonal orthobicupola Elongated pentagonal orthobicupola    
39 异相双五角台塔柱英语Elongated pentagonal gyrobicupola Elongated pentagonal gyrobicupola    
40 同相五角台塔丸塔柱英语Elongated pentagonal orthocupolarotunda Elongated pentagonal orthocupolarotunda    
41 异相五角台塔丸塔柱英语Elongated pentagonal gyrocupolarotunda Elongated pentagonal gyrocupolarotunda    
42 同相五角双丸塔柱英语Elongated pentagonal orthobirotunda Elongated pentagonal orthobirotunda    
43 异相五角双丸塔柱英语Elongated pentagonal gyrobirotunda Elongated pentagonal gyrobirotunda    
44 双三角台塔反角柱英语Gyroelongated triangular bicupola Gyroelongated triangular bicupola    
45 双四角台塔反角柱英语Gyroelongated square bicupola Gyroelongated square bicupola    
46 双五角台塔反角柱英语Gyroelongated pentagonal bicupola Gyroelongated pentagonal bicupola    
47 五角台塔丸塔反角柱英语Gyroelongated pentagonal cupolarotunda Gyroelongated pentagonal cupolarotunda    
48 双五角丸塔反角柱英语Gyroelongated pentagonal birotunda Gyroelongated pentagonal birotunda    
49 侧锥三角柱 Augmented triangular prism    
50 二侧锥三角柱 Biaugmented triangular prism    
51 三侧锥三角柱 Triaugmented triangular prism    
52 侧锥五角柱 Augmented pentagonal prism    
53 间二侧锥五角柱 Biaugmented pentagonal prism    
54 侧锥六角柱 Augmented hexagonal prism    
55 对二侧锥六角柱 Parabiaugmented hexagonal prism    
56 间二侧锥六角柱 Metabiaugmented hexagonal prism    
57 三侧锥六角柱 Triaugmented hexagonal prism    
58 侧锥正十二面体英语Augmented dodecahedron Augmented dodecahedron    
59 对二侧锥正十二面体英语Parabiaugmented dodecahedron Parabiaugmented dodecahedron    
60 间二侧锥正十二面体英语Metabiaugmented dodecahedron Metabiaugmented dodecahedron    
61 三侧锥正十二面体英语Triaugmented dodecahedron Triaugmented dodecahedron    
62 正二十面体欠邻二侧锥英语Metabidiminished icosahedron Metabidiminished icosahedron    
63 正二十面体欠三侧锥英语Tridiminished icosahedron Tridiminished icosahedron    
64 侧锥正二十面体欠三侧锥英语Augmented tridiminished icosahedron Augmented tridiminished icosahedron    
65 侧台塔截角四面体 Augmented truncated tetrahedron    
66 侧台塔截角立方体 Augmented truncated cube    
67 对二侧台塔截角立方体 Biaugmented truncated cube    
68 侧台塔截角十二面体英语Augmented truncated dodecahedron Augmented truncated dodecahedron    
69 对二侧台塔截角十二面体英语Parabiaugmented truncated dodecahedron Parabiaugmented truncated dodecahedron    
70 间二侧台塔截角十二面体英语Metabiaugmented truncated dodecahedron Metabiaugmented truncated dodecahedron    
71 三侧台塔截角十二面体英语Triaugmented truncated dodecahedron Triaugmented truncated dodecahedron    
72 单旋侧台塔小斜方截半二十面体英语Gyrate rhombicosidodecahedron Gyrate rhombicosidodecahedron    
73 对二旋侧台塔小斜方截半二十面体英语Parabigyrate rhombicosidodecahedron Parabigyrate rhombicosidodecahedron    
74 邻二旋侧台塔小斜方截半二十面体英语Metabigyrate rhombicosidodecahedron Metabigyrate rhombicosidodecahedron    
75 三旋侧台塔小斜方截半二十面体英语Trigyrate rhombicosidodecahedron Trigyrate rhombicosidodecahedron    
76 小斜方截半二十面体欠一侧台塔英语Diminished rhombicosidodecahedron Diminished rhombicosidodecahedron    
77 对单旋侧台塔小斜方截半二十面体欠一侧台塔英语Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron    
78 邻单旋侧台塔小斜方截半二十面体欠一侧台塔英语Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron    
79 二旋侧台塔小斜方截半二十面体欠一侧台塔英语Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron    
80 小斜方截半二十面体欠对二侧台塔 Parabidiminished rhombicosidodecahedron    
81 小斜方截半二十面体欠邻二侧台塔英语Metabidiminished rhombicosidodecahedron Metabidiminished rhombicosidodecahedron    
82 单旋侧台塔小斜方截半二十面体欠二侧台塔 Gyrate bidiminished rhombicosidodecahedron    
83 小斜方截半二十面体欠三侧台塔 Tridiminished rhombicosidodecahedron    
84 扭棱锲形体 Snub disphenoid    
85 扭棱四角反角柱 Snub square antiprism    
86 球状屋顶 Sphenocorona    
87 侧锥球状屋顶 Augmented sphenocorona    
88 加长型球状屋顶 Sphenomegacorona    
89 广底加长型球状屋顶 Hebesphenomegacorona    
90 五角锥球状屋顶 Disphenocingulum    
91 双新月双丸塔 Bilunabirotunda    
92 三角广底球状丸塔 Triangular hebesphenorotunda    

说明:

  • Jn – 约翰逊多面体编号
  • 展开图 – 立体展开成平面的结果

顶点、边、面和对称性

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下表列出约翰逊多面体的顶点数、边数和面数,以及特定形状的面数。同时也列出了其对称性:

Jn 名称 图像 V E F F3 F4 F5 F6 F8 F10 对称群英语List of spherical symmetry groups 阶数英语Symmetry number
1 正四角锥   5 8 5 4 1 C4v, [4], (*44) 8
2 正五角锥   6 10 6 5 1 C5v, [5], (*55) 10
3 正三角台塔   9 15 8 4 3 1 C3v, [3], (*33) 6
4 正四角台塔   12 20 10 4 5 1 C4v, [4], (*44) 8
5 正五角台塔   15 25 12 5 5 1 1 C5v, [5], (*55) 10
6 正五角丸塔   20 35 17 10 6 1 C5v, [5], (*55) 10
7 正三角锥柱   7 12 7 4 3 C3v, [3], (*33) 6
8 正四角锥柱   9 16 9 4 5 C4v, [4], (*44) 8
9 正五角锥柱   11 20 11 5 5 1 C5v, [5], (*55) 10
10 四角锥反角柱   9 20 13 12 1 C4v, [4], (*44) 8
11 五角锥反角柱   11 25 16 15 1 C5v, [5], (*55) 10
12 双三角锥   5 9 6 6 D3h, [3,2], (*223) 12
13 双五角锥   7 15 10 10 D5h, [5,2], (*225) 20
14 双三角锥柱   8 15 9 6 3 D3h, [3,2], (*223) 12
15 双四角锥柱   10 20 12 8 4 D4h, [4,2], (*224) 16
16 双五角锥柱   12 25 15 10 5 D5h, [5,2], (*225) 20
17 双四角锥反角柱   10 24 16 16 D4d, [2+,8], (2*4) 16
18 三角台塔柱   15 27 14 4 9 1 C3v, [3], (*33) 6
19 四角台塔柱   20 36 18 4 13 1 C4v, [4], (*44) 8
20 五角台塔柱   25 45 22 5 15 1 1 C5v, [5], (*55) 10
21 正五角丸塔柱   30 55 27 10 10 6 1 C5v, [5], (*55) 10
22 正三角台塔反角柱   15 33 20 16 3 1 C3v, [3], (*33) 6
23 正四角台塔反角柱   20 44 26 20 5 1 C4v, [4], (*44) 8
24 正五角台塔反角柱   25 55 32 25 5 1 1 C5v, [5], (*55) 10
25 正五角丸塔反角柱   30 65 37 30 6 1 C5v, [5], (*55) 10
26 异相双三角柱   8 14 8 4 4 D2d, [2+,4], (2*2) 8
27 同相双三角台塔   12 24 14 8 6 D3h, [3,2], (*223) 12
28 同相双四角台塔   16 32 18 8 10 D4h, [4,2], (*224) 16
29 异相双四角台塔   16 32 18 8 10 D4d, [2+,8], (2*4) 16
30 同相双五角台塔   20 40 22 10 10 2 D5h, [5,2], (*225) 20
31 异相双五角台塔   20 40 22 10 10 2 D5d, [2+,10], (2*5) 20
32 同相五角台塔丸塔   25 50 27 15 5 7 C5v, [5], (*55) 10
33 异相五角台塔丸塔   25 50 27 15 5 7 C5v, [5], (*55) 10
34 同相双五角丸塔英语Pentagonal orthobirotunda   30 60 32 20 12 D5h, [5,2], (*225) 20
35 同相双三角台塔柱英语Elongated triangular orthobicupola   18 36 20 8 12 D3h, [3,2], (*223) 12
36 异相双三角台塔柱英语Elongated triangular gyrobicupola   18 36 20 8 12 D3d, [2+,6], (2*3) 12
37 异相双四角台塔柱   24 48 26 8 18 D4d, [2+,8], (2*4) 16
38 同相双五角台塔柱英语Elongated pentagonal orthobicupola   30 60 32 10 20 2 D5h, [5,2], (*225) 20
39 异相双五角台塔柱英语Elongated pentagonal gyrobicupola   30 60 32 10 20 2 D5d, [2+,10], (2*5) 20
40 同相五角台塔丸塔柱英语Elongated pentagonal orthocupolarotunda   35 70 37 15 15 7 C5v, [5], (*55) 10
41 异相五角台塔丸塔柱英语Elongated pentagonal gyrocupolarotunda   35 70 37 15 15 7 C5v, [5], (*55) 10
42 同相五角双丸塔柱英语Elongated pentagonal orthobirotunda   40 80 42 20 10 12 D5h, [5,2], (*225) 20
43 异相五角双丸塔柱英语Elongated pentagonal gyrobirotunda   40 80 42 20 10 12 D5d, [2+,10], (2*5) 20
44 双三角台塔反角柱英语Gyroelongated triangular bicupola   18 42 26 20 6 D3, [3,2]+,(223) 6
45 双四角台塔反角柱英语Gyroelongated square bicupola   24 56 34 24 10 D4, [4,2]+, (224) 8
46 双五角台塔反角柱英语Gyroelongated pentagonal bicupola   30 70 42 30 10 2 D5, [5,2]+, (225) 10
47 五角台塔丸塔反角柱英语Gyroelongated pentagonal cupolarotunda   35 80 47 35 5 7 C5, [5]+, (55) 5
48 双五角丸塔反角柱英语Gyroelongated pentagonal birotunda   40 90 52 40 12 D5, [5,2]+, (225) 10
49 侧锥三角柱   7 13 8 6 2 C2v, [2], (*22) 4
50 二侧锥三角柱   8 17 11 10 1 C2v, [2], (*22) 4
51 三侧锥三角柱   9 21 14 14 D3h, [3,2], (*223) 12
52 侧锥五角柱   11 19 10 4 4 2 C2v, [2], (*22) 4
53 间二侧锥五角柱   12 23 13 8 3 2 C2v, [2], (*22) 4
54 侧锥六角柱   13 22 11 4 5 2 C2v, [2], (*22) 4
55 对二侧锥六角柱   14 26 14 8 4 2 D2h, [2,2], (*222) 8
56 间二侧锥六角柱   14 26 14 8 4 2 C2v, [2], (*22) 4
57 三侧锥六角柱   15 30 17 12 3 2 D3h, [3,2], (*223) 12
58 侧锥正十二面体英语Augmented dodecahedron   21 35 16 5 11 C5v, [5], (*55) 10
59 对二侧锥正十二面体英语Parabiaugmented dodecahedron   22 40 20 10 10 D5d, [2+,10], (2*5) 20
60 间二侧锥正十二面体英语Metabiaugmented dodecahedron   22 40 20 10 10 C2v, [2], (*22) 4
61 三侧锥正十二面体英语Triaugmented dodecahedron   23 45 24 15 9 C3v, [3], (*33) 6
62 正二十面体欠邻二侧锥英语Metabidiminished icosahedron   10 20 12 10 2 C2v, [2], (*22) 4
63 正二十面体欠三侧锥英语Tridiminished icosahedron   9 15 8 5 3 C3v, [3], (*33) 6
64 侧锥正二十面体欠三侧锥英语Augmented tridiminished icosahedron   10 18 10 7 3 C3v, [3], (*33) 6
65 侧台塔截角四面体   15 27 14 8 3 3 C3v, [3], (*33) 6
66 侧台塔截角立方体   28 48 22 12 5 5 C4v, [4], (*44) 8
67 对二侧台塔截角立方体   32 60 30 16 10 4 D4h, [4,2], (*224) 16
68 侧台塔截角十二面体英语Augmented truncated dodecahedron   65 105 42 25 5 1 11 C5v, [5], (*55) 10
69 对二侧台塔截角十二面体英语Parabiaugmented truncated dodecahedron   70 120 52 30 10 2 10 D5d, [2+,10], (2*5) 20
70 间二侧台塔截角十二面体英语Metabiaugmented truncated dodecahedron   70 120 52 30 10 2 10 C2v, [2], (*22) 4
71 三侧台塔截角十二面体英语Triaugmented truncated dodecahedron   75 135 62 35 15 3 9 C3v, [3], (*33) 6
72 单旋侧台塔小斜方截半二十面体英语Gyrate rhombicosidodecahedron   60 120 62 20 30 12 C5v, [5], (*55) 10
73 对二旋侧台塔小斜方截半二十面体英语Parabigyrate rhombicosidodecahedron   60 120 62 20 30 12 D5d, [2+,10], (2*5) 20
74 邻二旋侧台塔小斜方截半二十面体英语Metabigyrate rhombicosidodecahedron   60 120 62 20 30 12 C2v, [2], (*22) 4
75 三旋侧台塔小斜方截半二十面体英语Trigyrate rhombicosidodecahedron   60 120 62 20 30 12 C3v, [3], (*33) 6
76 小斜方截半二十面体欠一侧台塔英语Diminished rhombicosidodecahedron   55 105 52 15 25 11 1 C5v, [5], (*55) 10
77 对单旋侧台塔小斜方截半二十面体欠一侧台塔英语Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron   55 105 52 15 25 11 1 C5v, [5], (*55) 10
78 邻单旋侧台塔小斜方截半二十面体欠一侧台塔英语Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron   55 105 52 15 25 11 1 Cs, [ ], (*11) 2
79 二旋侧台塔小斜方截半二十面体欠一侧台塔英语Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron   55 105 52 15 25 11 1 Cs, [ ], (*11) 2
80 小斜方截半二十面体欠对二侧台塔   50 90 42 10 20 10 2 D5d, [2+,10], (2*5) 20
81 小斜方截半二十面体欠邻二侧台塔英语Metabidiminished rhombicosidodecahedron   50 90 42 10 20 10 2 C2v, [2], (*22) 4
82 单旋侧台塔小斜方截半二十面体欠二侧台塔   50 90 42 10 20 10 2 Cs, [ ], (*11) 2
83 小斜方截半二十面体欠三侧台塔   45 75 32 5 15 9 3 C3v, [3], (*33) 6
84 扭棱锲形体   8 18 12 12 D2d, [2+,4], (2*2) 8
85 扭棱四角反角柱   16 40 26 24 2 D4d, [2+,8], (2*4) 16
86 球状屋顶   10 22 14 12 2 C2v, [2], (*22) 4
87 侧锥球状屋顶   11 26 17 16 1 Cs, [ ], (*11) 2
88 加长型球状屋顶   12 28 18 16 2 C2v, [2], (*22) 4
89 广底加长型球状屋顶   14 33 21 18 3 C2v, [2], (*22) 4
90 五角锥球状屋顶   16 38 24 20 4 D2d, [2+,4], (2*2) 8
91 双新月双丸塔   14 26 14 8 2 4 D2h, [2,2], (*222) 8
92 三角广底球状丸塔   18 36 20 13 3 3 1 C3v, [3], (*33) 6

说明:

  • Jn – 约翰逊多面体编号
  • V – 顶点的数量
  • E – 的数量
  • F – (所有的面)的数量
  • Fn – 仅n边形的数量
  • F3~F10 – F3:面为三角形的面的数量、F4:面为正方形的面的数量……以此类推

其中,正四角锥J1)有最少的顶点(5个)、最少的边(8条)和最少的面(5个)。

三侧台塔截角十二面体英语Triaugmented truncated dodecahedronJ71具有最多的顶点(75个)和最多的边(135条)。 它的面数也是最多的(62个),其他还有单旋侧台塔小斜方截半二十面体英语Gyrate rhombicosidodecahedronJ72对二旋侧台塔小斜方截半二十面体英语Parabigyrate rhombicosidodecahedronJ73邻二旋侧台塔小斜方截半二十面体英语Metabigyrate rhombicosidodecahedronJ74三旋侧台塔小斜方截半二十面体英语Trigyrate rhombicosidodecahedronJ75

表面积

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由于约翰逊多面体的所有面都是由正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形或正十边形所组成,代表着其面的边数仅会有3、4、5、6、8或10条,且为正多边形,因此这些正多边形面都会具有相同的边长a,因此约翰逊多面体的表面积A可由下式计算得到:

 

其中 Fn是上表中的多边形面数,且正n边形的面积An也可由下式计算得到:

 

在约翰逊多面体的例子中,组成其的正多边形仅有正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形或正十边形,而我们有正三角形的面积A3、正方形的面积A4、正五边形的面积A5、正六边形的面积A6、正八边形A8的面积和正十边形A10的面积公式:

 
 
 
 
 
 

因此可以得出下表的约翰逊多面体表面积。

Jn 多面体名称 A/a2 (近似值) A/a2 (精确值)
1 正四角锥 2.732050808  
2 正五角锥 3.885540910  
3 正三角台塔 7.330127019  
4 正四角台塔 11.560477932  
5 正五角台塔 16.579749753  
6 正五角丸塔 22.347200265  
7 正三角锥柱 4.732050808  
8 正四角锥柱 6.732050808  
9 正五角锥柱 8.885540910  
10 正四角锥反角柱 6.196152423  
11 正五角锥反角柱 8.215667929  
12 双三角锥 2.598076211  
13 双五角锥 4.330127019  
14 双三角锥柱 5.598076211  
15 双四角锥柱 7.464101615  
16 双五角锥柱 9.330127019  
17 双四角锥反角柱 6.928203230  
18 三角台塔柱 13.330127019  
19 四角台塔柱 19.560477932  
20 五角台塔柱 26.579749753  
21 正五角丸塔柱 32.347200265  
22 正三角台塔反角柱 12.526279442  
23 正四角台塔反角柱 18.488681163  
24 正五角台塔反角柱 25.240003791  
25 正五角丸塔反角柱 31.007454303  
26 异相双三角柱 5.732050808  
27 同相双三角台塔 9.464101615  
28 同相双四角台塔 13.464101615  
29 异相双四角台塔 13.464101615  
30 同相双五角台塔 17.771081820  
31 异相双五角台塔 17.771081820  
32 同相五角台塔丸塔 23.538532333  
33 异相五角台塔丸塔 23.538532333  
34 同相双五角丸塔英语Pentagonal orthobirotunda 29.305982845  
35 同相双三角台塔柱英语Elongated triangular orthobicupola 15.464101615  
36 异相双三角台塔柱英语Elongated triangular gyrobicupola 15.464101615  
37 异相双四角台塔柱 21.464101615  
38 同相双五角台塔柱英语Elongated pentagonal orthobicupola 27.771081820  
39 异相双五角台塔柱英语Elongated pentagonal gyrobicupola 27.771081820  
40 同相五角台塔丸塔柱英语Elongated pentagonal orthocupolarotunda 33.538532333  
41 异相五角台塔丸塔柱英语Elongated pentagonal gyrocupolarotunda 33.538532333  
42 同相五角双丸塔柱英语Elongated pentagonal orthobirotunda 39.305982845  
43 异相五角双丸塔柱英语Elongated pentagonal gyrobirotunda 39.305982845  
44 双三角台塔反角柱英语Gyroelongated triangular bicupola 14.660254038  
45 双四角台塔反角柱英语Gyroelongated square bicupola 20.392304845  
46 双五角台塔反角柱英语Gyroelongated pentagonal bicupola 26.431335858  
47 五角台塔丸塔反角柱英语Gyroelongated pentagonal cupolarotunda 32.198786370  
48 双五角丸塔反角柱英语Gyroelongated pentagonal birotunda 37.966236883  
49 侧锥三角柱 4.598076211  
50 二侧锥三角柱 5.330127019  
51 三侧锥三角柱 6.062177826  
52 侧锥五角柱 9.173005609  
53 间二侧锥五角柱 9.905056416  
54 侧锥六角柱 11.928203230  
55 对二侧锥六角柱 12.660254038  
56 间二侧锥六角柱 12.660254038  
57 三侧锥六角柱 13.392304845  
58 侧锥正十二面体英语Augmented dodecahedron 21.090314916  
59 对二侧锥正十二面体英语Parabiaugmented dodecahedron 21.534901025  
60 间二侧锥正十二面体英语Metabiaugmented dodecahedron 21.534901025  
61 三侧锥正十二面体英语Triaugmented dodecahedron 21.979487134  
62 正二十面体欠邻二侧锥英语Metabidiminished icosahedron 7.771081820  
63 正二十面体欠三侧锥英语Tridiminished icosahedron 7.326495711  
64 侧锥正二十面体欠三侧锥英语Augmented tridiminished icosahedron 8.192521115  
65 侧台塔截角四面体 14.258330249  
66 侧台塔截角立方体 34.338288046  
67 对二侧台塔截角立方体 36.241911729  
68 侧台塔截角十二面体英语Augmented truncated dodecahedron 102.182092220  
69 对二侧台塔截角十二面体英语Parabiaugmented truncated dodecahedron 103.373424287  
70 间二侧台塔截角十二面体英语Metabiaugmented truncated dodecahedron 103.373424287  
71 三侧台塔截角十二面体英语Triaugmented truncated dodecahedron 104.564756354  
72 单旋侧台塔小斜方截半二十面体英语Gyrate rhombicosidodecahedron 59.305982845  
73 对二旋侧台塔小斜方截半二十面体英语Parabigyrate rhombicosidodecahedron 59.305982845  
74 邻二旋侧台塔小斜方截半二十面体英语Metabigyrate rhombicosidodecahedron 59.305982845  
75 三旋侧台塔小斜方截半二十面体英语Trigyrate rhombicosidodecahedron 59.305982845  
76 小斜方截半二十面体欠一侧台塔英语Diminished rhombicosidodecahedron 58.114650778  
77 对单旋侧台塔小斜方截半二十面体欠一侧台塔英语Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron 58.114650778  
78 邻单旋侧台塔小斜方截半二十面体欠一侧台塔英语Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron 58.114650778  
79 二旋侧台塔小斜方截半二十面体欠一侧台塔英语Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron 58.114650778  
80 小斜方截半二十面体欠对二侧台塔 56.923318711  
81 小斜方截半二十面体欠邻二侧台塔英语Metabidiminished rhombicosidodecahedron 56.923318711  
82 单旋侧台塔小斜方截半二十面体欠二侧台塔 56.923318711  
83 小斜方截半二十面体欠三侧台塔 55.731986644  
84 扭棱锲形体 5.196152423  
85 扭棱四角反角柱 12.392304845  
86 球状屋顶 7.196152423  
87 侧锥球状屋顶 7.928203230  
88 加长型球状屋顶 8.928203230  
89 广底加长型球状屋顶 10.794228634  
90 五角锥球状屋顶 12.660254038  
91 双新月双丸塔 12.346011217  
92 三角广底球状丸塔 16.388673538  

在固定边长的条件下,双三角锥J12表面积最小,而三侧台塔截角十二面体英语Triaugmented truncated dodecahedronJ71的表面积最大,两者相差40倍以上。

体积

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下表列出了约翰逊多面体的体积。在这个表格中,V代表体积(不是第一个表中的顶点数),而a代表边长。

表格的资料来源是沃尔夫勒姆研究公司Mathematica软件中提供的PolyhedronData[..., "Volume"]计算多面体体积的指令。

约翰逊多面体的体积也可以根据其顶点座标来计算出来。如果边长是固定的,那么所有92个约翰逊多面体的顶点座标就都是已知的。如此一来,就可以用此信息来计算体积。概念上最简单的作法是:对要算体积的约翰逊多面体之表面做三角化,例如在每个非三角形面的中心添加一个额外的点,然后将之与该面的其他顶点连接构成多个三角形(并不是所有凸多面体都可以不添加额外顶点就完成三角剖分英语Triangulation (geometry)[5])。完成表面的三角化后选择一些内部点作为“原点”,这样就可以把表面的三角形与内部所选的点构造成不规则四面体。这些不规则四面体在多面体内部有一个顶点、在多面体表面有3个顶点,而约翰逊多面体的体积就是这些不规则四面体的体积总和。不规则四面体的体积可以透过公式计算。

Jn 多面体名称 V/a3(近似值) V/a3(精确值)
1 正四角锥 0.235702260  
2 正五角锥 0.301502832  
3 正三角台塔 1.178511302  
4 正四角台塔 1.942809042  
5 正五角台塔 2.324045318  
6 正五角丸塔 6.917762968  
7 正三角锥柱 0.550863832  
8 正四角锥柱 1.235702260  
9 正五角锥柱 2.021980233  
10 正四角锥反角柱 1.192702242  
11 正五角锥反角柱 1.880192158  
12 双三角锥 0.235702260  
13 双五角锥 0.603005665  
14 双三角锥柱 0.668714962  
15 双四角锥柱 1.471404521  
16 双五角锥柱 2.323483065  
17 双四角锥反角柱 1.428404503  
18 三角台塔柱 3.776587513  
19 四角台塔柱 6.771236166  
20 五角台塔柱 10.018254161  
21 正五角丸塔柱 14.611971811  
22 正三角台塔反角柱 3.516053091  
23 正四角台塔反角柱 6.210765792 8次方程的根
24 正五角台塔反角柱 9.073333194 8次方程的根
25 正五角丸塔反角柱 13.667050844 8次方程的根
26 异相双三角柱 0.866025404  
27 同相双三角台塔 2.357022604  
28 同相双四角台塔 3.885618083  
29 异相双四角台塔 3.885618083  
30 同相双五角台塔 4.648090637  
31 异相双五角台塔 4.648090637  
32 同相五角台塔丸塔 9.241808286  
33 异相五角台塔丸塔 9.241808286  
34 同相双五角丸塔英语Pentagonal orthobirotunda 13.835525936  
35 同相双三角台塔柱英语Elongated triangular orthobicupola 4.955098815  
36 异相双三角台塔柱英语Elongated triangular gyrobicupola 4.955098815  
37 异相双四角台塔柱 8.714045208  
38 同相双五角台塔柱英语Elongated pentagonal orthobicupola 12.342299480  
39 异相双五角台塔柱英语Elongated pentagonal gyrobicupola 12.342299480  
40 同相五角台塔丸塔柱英语Elongated pentagonal orthocupolarotunda 16.936017129  
41 异相五角台塔丸塔柱英语Elongated pentagonal gyrocupolarotunda 16.936017129  
42 同相五角双丸塔柱英语Elongated pentagonal orthobirotunda 21.529734779  
43 异相五角双丸塔柱英语Elongated pentagonal gyrobirotunda 21.529734779  
44 双三角台塔反角柱英语Gyroelongated triangular bicupola 4.694564393  
45 双四角台塔反角柱英语Gyroelongated square bicupola 8.153574834 8次方程的根
46 双五角台塔反角柱英语Gyroelongated pentagonal bicupola 11.397378512 8次方程的根
47 五角台塔丸塔反角柱英语Gyroelongated pentagonal cupolarotunda 15.991096162 8次方程的根
48 双五角丸塔反角柱英语Gyroelongated pentagonal birotunda 20.584813812 8次方程的根
49 侧锥三角柱 0.668714962  
50 二侧锥三角柱 0.904417223  
51 三侧锥三角柱 1.140119483  
52 侧锥五角柱 1.956179661  
53 间二侧锥五角柱 2.191881921  
54 侧锥六角柱 2.833778472  
55 对二侧锥六角柱 3.069480732  
56 间二侧锥六角柱 3.069480732  
57 三侧锥六角柱 3.305182993  
58 侧锥正十二面体英语Augmented dodecahedron 7.964621793  
59 对二侧锥正十二面体英语Parabiaugmented dodecahedron 8.266124625  
60 间二侧锥正十二面体英语Metabiaugmented dodecahedron 8.266124625  
61 三侧锥正十二面体英语Triaugmented dodecahedron 8.567627458  
62 正二十面体欠邻二侧锥英语Metabidiminished icosahedron 1.578689326  
63 正二十面体欠三侧锥英语Tridiminished icosahedron 1.277186493  
64 侧锥正二十面体欠三侧锥英语Augmented tridiminished icosahedron 1.395037624  
65 侧台塔截角四面体 3.889087297  
66 侧台塔截角立方体 15.542472333  
67 对二侧台塔截角立方体 17.485281374  
68 侧台塔截角十二面体英语Augmented truncated dodecahedron 87.363709878  
69 对二侧台塔截角十二面体英语Parabiaugmented truncated dodecahedron 89.687755196  
70 间二侧台塔截角十二面体英语Metabiaugmented truncated dodecahedron 89.687755196  
71 三侧台塔截角十二面体英语Triaugmented truncated dodecahedron 92.011800514  
72 单旋侧台塔小斜方截半二十面体英语Gyrate rhombicosidodecahedron 41.615323782  
73 对二旋侧台塔小斜方截半二十面体英语Parabigyrate rhombicosidodecahedron 41.615323782  
74 邻二旋侧台塔小斜方截半二十面体英语Metabigyrate rhombicosidodecahedron 41.615323782  
75 三旋侧台塔小斜方截半二十面体英语Trigyrate rhombicosidodecahedron 41.615323782  
76 小斜方截半二十面体欠一侧台塔英语Diminished rhombicosidodecahedron 39.291278464  
77 对单旋侧台塔小斜方截半二十面体欠一侧台塔英语Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron 39.291278464  
78 邻单旋侧台塔小斜方截半二十面体欠一侧台塔英语Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron 39.291278464  
79 二旋侧台塔小斜方截半二十面体欠一侧台塔英语Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron 39.291278464  
80 小斜方截半二十面体欠对二侧台塔 36.967233146  
81 小斜方截半二十面体欠邻二侧台塔英语Metabidiminished rhombicosidodecahedron 36.967233146  
82 单旋侧台塔小斜方截半二十面体欠二侧台塔 36.967233146  
83 小斜方截半二十面体欠三侧台塔 34.643187827  
84 扭棱锲形体 0.859493646 6次方程的根
85 扭棱四角反角柱 3.601222010 12次方程的根
86 球状屋顶 1.515351640  
87 侧锥球状屋顶 1.751053900 16次方程的根
88 加长型球状屋顶 1.948108229 32次方程的根
89 广底加长型球状屋顶 2.912910415 20次方程的根
90 五角锥球状屋顶 3.777645342 24次方程的根
91 双新月双丸塔 3.093717650  
92 三角广底球状丸塔 5.108745974  

在固定边长的条件下,正四角锥J1双三角锥J12的体积最小;而三侧台塔截角十二面体英语Triaugmented truncated dodecahedronJ71的体积最大,比前者大超过390倍。

在92种约翰逊多面体中,有13种约翰逊多面体的体积V/a3无法表达为解析数。这些数值是以下多项式的最大实根。

Jn 多项式
23

6561 x8 − 52488 x7 + 113724 x6 − 9720 x5
− 1616922 x4 + 396360 x3 + 1537020 x2 − 178632 x − 3391

24

1679616 x8 − 11197440 x7 + 27060480 x6 + 35769600 x5
− 4456749600 x4 − 10714248000 x3 + 3828402000 x2 + 13859430000 x + 5340175625

25

1679616 x8 − 50388480 x7 + 603262080 x6 − 3520972800 x5
+ 5215460400 x4 + 4128624000 x3 − 8894943000 x2 + 3881385000 x − 424924375

45

6561 x8 − 104976 x7 + 594864 x6 − 1384128 x5
− 552096 x4 + 1569024 x3 + 246528 x2 − 119808 x + 4352

46

6561 x8 − 87480 x7 + 313470 x6 + 753300 x5
− 22424850 x4 − 84591000 x3 − 85909500 x2 + 8715000 x + 35547500

47

1679616 x8 − 61585920 x7 + 851472000 x6 − 5108832000 x5
+ 4745790000 x4 + 21346200000 x3 − 29019375000 x2 − 4576875000 x − 405859375

48

6561 x8 − 393660 x7 + 9316620 x6 − 108207900 x5
+ 601832025 x4 − 1417189500 x3 + 965841750 x2 + 597667500 x − 668786875

84

5832 x6 − 1377 x4 − 2160 x2 − 4

85

531441 x12 − 85726026 x8 − 48347280 x6
+ 11588832 x4 + 4759488 x2 − 892448

87

45137758519296 x16 − 110336743047168 x14 − 191069246324736 x12 + 209269081571328 x10
+ 364547659290624 x8 − 58793017190400 x6 + 3306865979520 x4 − 1275399855936 x2 + 1439671249

88

521578814501447328359509917696 x32 − 985204427391622731345740955648 x30
− 16645447351681991898880656015360 x28 + 79710816694053483249372512649216 x26
− 152195045391070538203422101864448 x24 + 156280253448056209478031589244928 x22
− 96188116617075838858708654227456 x20 + 30636368373570166303441645731840 x18
+ 5828527077458909552923002273792 x16 − 8060049780765551057159394951168 x14
+ 1018074792115156107372011716608 x12 + 35220131544370794950945931264 x10
+ 327511698517355918956755959808 x8 − 116978732884218191486738706432 x6
+ 10231563774949176791703149568 x4 − 366323949299263261553952192 x2
+ 3071435678740442112675625

89

47330370277129322496 x20 − 722445512980071186432 x18
+ 3596480447590271287296 x16 − 8432333285523990773760 x14
+ 8973584611317745975296 x12 − 3065290664181478981632 x10
+ 366229890219212144640 x8 − 8337259437908852736 x6
− 22211277300912896 x4 + 132615435213216 x2
+ 2693461945329

90

1213025622610333925376 x24 + 54451372392730545094656 x22
− 796837093078664749252608 x20 − 4133410366404688544268288 x18
+ 20902529024429842816303104 x16 − 133907540390420673677230080 x14
+ 246234688242991598853881856 x12 − 63327534106871321714442240 x10
+ 14389309497459555704164608 x8 + 48042947402464500749392128 x6
− 5891096640600351061013664 x4 − 3212114716816853362953264 x2 + 479556973248657693884401

内切球半径、中分球半径和外接球半径

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下表列出了存在内切球、中分球和外接球之约翰逊多面体的各种球半径(内切球半径Ri中分球半径Rm或外接球半径Rc,不存在则不列出)与边长之比。

约翰逊多面体不一定有内切球、中分球和外接球。比方说,除非该约翰逊多面体的所有顶点都位于某个球面上,否则这个约翰逊多面体不会存在外接球。约翰逊多面体的对称性比正多面体低,因此很多约翰逊多面体不存在这些球体。只有正四角锥J1正五角锥J2这两个立体三种球都存在。

表格内容的资料来源是来自沃尔夫勒姆研究公司Mathematica软件提供的PolyhedronData[..., "Inradius"]PolyhedronData[..., "Midradius"]PolyhedronData[..., "Circumradius"]指令。 输出的数值已被化简过了。

Jn Ri/a (近似值) Ri/a (精确值) Rm/a (近似值) Rm/a (精确值) Rc/a (近似值) Rc/a (精确值)
1 0.258819045   0.500000000   0.707106781  
2 0.232788309   0.809016994   0.951056516  
3 - - 0.866025404   1.000000000  
4 - - 1.306562965   1.398966326  
5 - - 2.176250899   2.232950509  
6 - - 1.538841769   1.618033989  
7 - - - - - -
8 - - - - - -
9 - - - - - -
10 - - - - - -
11 - - 0.809016994   0.951056516  
12 0.272165527   - - - -
13 0.417774579   - - - -
14 - - - - - -
15 - - - - - -
16 - - - - - -
17 - - - - - -
18 - - - - - -
19 - - 1.306562965   1.398966326  
20 - - - - - -
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22 - - - - - -
23 - - - - - -
24 - - - - - -
25 - - - - - -
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27 - - 0.866025404   1.000000000  
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29 - - - - - -
30 - - - - - -
31 - - - - - -
32 - - - - - -
33 - - - - - -
34 - - 1.538841769   1.618033989  
35 - - - - - -
36 - - - - - -
37 - - 1.306562965   1.398966326  
38 - - - - - -
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59 - - - - - -
60 - - - - - -
61 - - - - - -
62 - - 0.809016994   0.951056516  
63 - - 0.809016994   0.951056516  
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72 - - 2.176250899   2.232950509  
73 - - 2.176250899   2.232950509  
74 - - 2.176250899   2.232950509  
75 - - 2.176250899   2.232950509  
76 - - 2.176250899   2.232950509  
77 - - 2.176250899   2.232950509  
78 - - 2.176250899   2.232950509  
79 - - 2.176250899   2.232950509  
80 - - 2.176250899   2.232950509  
81 - - 2.176250899   2.232950509  
82 - - 2.176250899   2.232950509  
83 - - 2.176250899   2.232950509  
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参见

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参考文献

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  1. ^ Johnson, Norman W. Convex Solids with Regular Faces. Canadian Journal of Mathematics. 1966, 18: 169–200. ISSN 0008-414X. Zbl 0132.14603. doi:10.4153/cjm-1966-021-8 . 
  2. ^ Zalgaller, Victor A. Convex Polyhedra with Regular Faces. Zap. Nauchn. Semin. Leningr. Otd. Mat. Inst. Steklova. 1967, 2: 1–221. ISSN 0373-2703. Zbl 0165.56302 (俄语). 
  3. ^ Robert R Tupelo-Schneck. Convex regular-faced polyhedra with conditional edges. [2023-01-31]. (原始内容存档于2021-08-18). 
  4. ^ Timofeenko, Aleksei Victorovich. Junction of noncomposite polygons. Algebra i Analiz (St. Petersburg Department of Steklov Institute of Mathematics, Russian~…). 2009, 21 (3): 165–209. 
  5. ^ D. Eppstein英语David Eppstein. Three Untetrahedralizable Objects. www.ics.uci.edu. [2022-05-25]. (原始内容存档于2021-01-26). 

外部链接

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