双陆棋
双陆棋（Backgammon），又称百家乐棋，是一类供两人对弈的版图游戏，棋子的移动以掷骰子的点数决定，首位把所有棋子移离棋盘的玩者可获得胜利。游戏在世界多个地方演变出 飞行棋 多个版本，但保留一些共通的基本元素。
 双陆棋，由一个棋盘、三十枚棋子、四个骰子、一个倍数方块、以及两个装骰子的骰盅组成 | |
| 玩家数目 | 2 |
|---|---|
| 适用年龄 | 5岁以上 |
| 准备时间 | 10-30秒 |
| 复杂程度 | 中等 |
| 策略成分 | 中 |
| 游戏时间 | 5-35分钟 |
| 运气成分 | 骰子 |
| 所需技巧 | 计算、战术、策略、概率 |
在游戏中，每位玩者尽力把棋子移动及移离棋盘。虽然游戏有很大的运气成分，游戏的策略仍然十分重要。每次掷骰子时，玩者都要从多种选择中选出最佳的走法。计算机科学家们对双陆棋做了很多研究，目前双陆棋软件已经可以击败世界级的人类选手。
历史
编辑
西方
编辑西方的双陆棋起源于大约公元前3000年古埃及的塞尼特，[1]此外古罗马人也曾玩过一种类似双陆棋的游戏。[2]11世纪时，双陆棋传到法国，很快成为赌徒们最喜爱的游戏，以致于路易九世在1254年颁布了一项法令，禁止官员们下双陆棋。[3][4]12世纪时，双陆棋传到德国，13世纪时传到了冰岛。17世纪时还传到了瑞典，当时在瑞典的一艘沉船里发现了一个木制的双陆棋棋盘和一些棋子。[5]19世纪时，随着西方列强大量建立殖民地，双陆棋传遍了全世界。至今双陆棋仍风行于西方社会，这个游戏适合两人对弈，各自执一黑一白之十五个棋子，游戏有一个固定的开始摆设方式，双方各有一个杯子装两个骰子，为求公平只能由手持杯子掷骰子。双陆棋一般使用的棋具外观优美，由于技巧与运气因素各占一半，因此适合酌彩。
《艾布·达吾德圣训集》41:4920记载穆罕默德说玩双陆棋是违抗真主及其使者。
在英语和绝大多数欧洲语言中，双陆棋一词为“backgammon”，“back”是“后退”的意思，而“gammon”在中古英语中则有“游戏”之意，该词最早在1650年的牛津英语词典中出现。[6]
东亚
编辑中国
编辑中国古代的双陆是一种类似赌博的棋戏，有握槊、长行、波罗塞戏、双六等名称[7]，是来自印度传入的波罗塞戏（梵语：प्रासक）基础改造。双陆棋子为马形，黑白各十五或十二枚，两人相博，掷骰子按点行棋。双陆在唐代、五代、辽代、金代、元代曾风靡一时，连武则天、唐玄宗、后唐明宗、也喜欢玩双陆[8]。
《唐国史补》记载武则天梦见与大罗天女打双陆。局中只要有子，旋即被打将，不得其位，频频输给天女。狄仁杰则告诉她说是“双陆不胜，无子也。”劝说是上天用棋子来警示武则天[9]。宋元话本小说《梁公九谏》中〈第六谏〉[10]、《狄仁杰传》、《天中记》、《渊鉴类函》也有类似的故事。但网络上却误谬为武则天梦见下象棋[11]。
唐朝敦煌的《孔子项托相问书》，出现孔子邀请项橐玩双陆的剧情[12]。
周昉有画《杨妃架雪衣女乱双陆图》，描画唐玄宗与人玩双陆要输时，杨贵妃故意放白鹦鹉扰乱棋局。但网络也误谬成下围棋[13]。
规则
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双陆棋的目的是将己方所有棋子越过对方，然后再移离棋盘。游戏开始时，棋子较为分散，在游戏过程中可能被对方攻击或阻挡。由于下一盘棋所需的时间很短，比赛中通常采用计分制，首先获得一定分数的一方为胜利者。
设备
编辑- 棋盘（见图）
- 两套不同颜色的十五枚棋子（每位玩者一套）
- 四颗骰子（每位玩者两个）或者两个骰子（每人一颗，骰两次）杯子
- 倍数方块
摆法
编辑棋盘的每一条边上都有十二个三角形（如上图所示），从右下角开始依顺时针方向用数字1到24编号（对方则正好相反，从右上角开始依逆时针方向编号，己方的第1格就是对方的第24格，己方的第2格就是对方的第23格，依此类推）。每位玩者将两枚棋子放在第24格，三枚棋子放在第8格，五枚棋子放在第13格和第6格。[16]
第1格到第6格叫做内盘或主盘，第7格到第12格叫做外盘。第7格又叫做临界点，第13格又叫做中点。[16][17]
换言之，假设己方玩者使用黑棋，红方玩者使用红棋，坐标顺序如下：
- 黑棋使用之坐标顺序，由自己右下角开始依顺时针方向数字1至24编号；
- 红棋使用之坐标顺序，由自己左下角开始依逆时针方向数字24至1编号。
走法
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游戏开始时，双方各掷一个骰子，点数较大的一方先走。双方轮流移动棋子，每次移动前先掷两个骰。[16][17]
掷骰子后，玩者必须按照掷出的点数移动棋子，例如：若掷到6和3，就必须将一枚棋子向前移动6格，再将另一枚棋子向前移动3格；也可以将同一枚棋子移动6格再移动3格，或先移动3格再移动6格也可，但不能直接移动9格。如果掷到两骰相同的点数叫作“双翻doubles”，就是所得点数翻一倍，例如：若掷出两个5，便可将四枚棋子向前移动5格。惟当掷两个骰后只有一步可正常走动，则必须优先按照掷得较高点数的一个骰子移动一枚棋子。[16][17]简单来说，双方玩者要把棋子由开始时靠拢对方走往靠拢自己。
换言之，假设己方玩者使用黑棋，红方玩者使用红棋，棋子走向如下：
- 黑棋走向，由24往1；
- 红棋走向，由1往24。
攻击弱棋
编辑棋子只能移动到未被占据或被己方棋子占据的格，也可以移动到仅被一枚对方棋子占据的格，此时对方的这枚棋子便称为“弱棋”。弱棋遭“攻击”后，便要放在位于棋盘中央分界上的“板点”，计算上可视为虚拟之“黑棋第25格”或“红棋第0格”；当弱棋方于板点有棋，必须优先于下回移动弱棋由板点返到坐标线重新出发，直至清空板点为止暂不得移动坐标线各格现存之棋子──下一回掷骰时，将遭攻击而打入板点的弱棋从己方起点出发，例如：若掷到2，黑棋／红棋就可分别移动到第23／2格；如果掷到3，黑棋／红棋就可分别移动到第22／3格，依此类推。[16][17]
因为棋子不能移动到已被对方棋子两枚或两枚以上所占据的格，所以不可能会有任何格是同时被己方和对方的棋子占据。[16][17]
换言之，假设己方玩者使用黑棋，红方玩者使用红棋，被攻击之棋子回到坐标线之起始情况如下：
- 黑棋被攻击后回到坐标线之起始点，由24至19任一格开始（视乎掷骰得1至6点不等）；
- 红棋被攻击后回到坐标线之起始点，由1至6任一格开始（视乎掷骰得1至6点不等）。
移离棋盘
编辑如果所有棋子都回到了己方内盘（黑棋第1到第6格／红棋第19至第24格），就可以开始将棋子“移离”棋盘。如果掷到1，就可将位于第1格的棋子移离棋盘；如果掷到2，就可将位于第2格的棋子移离棋盘，依此类推。不能将比所掷数字更低点的棋子移离棋盘，除非后面已经没有任何棋子。例如，如果掷到5和4，第4格有两枚棋子，而第5格和第6格都没有棋子，才可以从第4格将两枚棋子移走；如果第5格没有棋子，但第6格仍有棋子，则不能移动两枚第4格的棋子。[16][17]
如果在移离棋盘时有棋子被对方攻击，就必须等该棋子回到了己方内盘后才可以继续移离棋盘。
换言之，假设己方玩者使用黑棋，红方玩者使用红棋，棋子可移离棋盘之条件如下：
- 黑棋移离棋盘前之所在位置，须介乎1至6共6格中之任何格（视乎掷骰得1至6点不等）。
- 掷某数者只能把处于第某数格或更高数格之棋子移走，除非更高数格之棋子已无棋。
- 红棋移离棋盘前之所在位置，须介乎24至19共6格之任何格（视乎掷骰得1至6点不等）。
- 掷某数者只能把处于第某数格或更低数格之棋子移走，除非更低数格之棋子已无棋。
胜负与得分
编辑首先将所有棋子移离的一方获得胜利，可得一分。如果玩者还未开始将棋子移离棋盘，而对方已将所有棋子移离，对方就获得两分，称为“全胜”或“家乐”。如果玩者还未开始将棋子移离棋盘，且仍有棋子在板点上或在对方内盘上，而对方已将所有棋子移离，对方就获得三分，称为“完胜”或“百家乐”。[16][17]
总点数
编辑在对局中，某一方所有棋子占据坐标线与板点各位置的点数叫做“总点数”。开局时双方的总点数为167，对局过程中总点数逐渐减少，但是当棋子被攻击而进入板点时，总点数便随之增加，总点数较小的那一方则处于领先状态。比赛时不允许用计算器计算总点数，因此双陆棋手们必须具备敏捷的心算能力。[18]
倍数方块
编辑
倍数方块（又称倍数骰子）最早在1926年为纽约的双陆棋棋手们使用，[19]以后逐渐为全世界所采用。其目的是为了增加游戏的速度和难度，以及使游戏更富有趣味性。倍数方块是刻上数字2、4、8、16、32和64的立方体。掷骰子之前，玩者可以要求将所得的分数加倍。对方必须立刻接受要求，或认输。如果接受要求，就将倍数方块转到数字2朝上，所得的分数将加倍。也就是说，获得胜利将得到两分，获得全胜将得到四分，而如果失败了，对方就获得两分。以后还可以加到更高的倍数。加倍的次数不限，可以加到128倍，256倍，但实际上很少加到4倍以上。[16][17]倍数方块要求玩者们不仅要选择最佳的着法，还需要估计取胜的概率。[19]
一般情况下，如果认为自己获胜的概率大于50%，应主动提出加倍要求；当对方提出加倍要求时，如果认为自己获胜的概率大于25%，就应该接受（这个概率不仅与双方的总点数以及棋子的位置有关，还与棋手个人的水平、风格以及看问题的角度有关）。但如果认为自己有机会获得全胜或完胜，就不要主动提出加倍要求，否则一旦对方认输，就只能得到一分。如果一时难以估计取胜的概率，不要主动提出加倍要求；但当对方提出加倍要求时，可以根据双方的总点数来判断是否应接受；如果己方的总点数比对方大10个点以上，就不应该接受加倍，否则应该接受加倍。
关于倍数方块还有两条很重要的规则：雅可比（Jacoby）规则和克罗福（Crawford）规则。雅可比规则规定，如果对局中未曾使用倍数方块，则获得全胜或完胜都只能得到一分。这条规则鼓励了棋手们使用倍数方块，而不是一直玩到底企盼着获得全胜或完胜。雅可比规则在赌博时广泛使用，但不在比赛中使用。[20]
克罗福规则规定，如果某一方只差一分就获得了比赛胜利，双方都不准使用倍数方块。使用这条规则的目的是防止某一方只差一分就获得比赛胜利时，对方为增加获胜的概率而提出加倍要求。克罗福规则经常在比赛中使用。[20]
对局记录
编辑双陆棋的对局记录法由美国棋手Paul Magriel在20世纪70年代发明。[16]
掷骰子掷到4和2，记录为：4-2
从第8点移动一枚棋子到第4点，再从第6点移动一枚棋子到第4点，记录为：8/4 6/4[16][18]
攻击对方的弱棋，在着法后加星号（*）。例如，从第13点移动一枚棋子到第7点，并攻击对方的弱棋，记录为：13/7*
从第13点移动一枚棋子到第7点，并攻击对方的弱棋，再移动到第5点，记录为：13/7*/5[16][18]
移动超过一枚棋子，在着法后注明移动棋子的数目。例如，掷到两个2，从第6点移动三枚棋子到第4点，再从第13点移动一枚棋子到第11点，记录为：2-2 6/4(3) 13/11。[16][18]
开局
编辑双陆棋的开局要比其它棋盘游戏如中国象棋和国际象棋复杂，这是因为每次掷骰子都有21种可能的骰点组合，每一种组合又有多种可行的着法。以下只讨论第一步的最佳着法。
| 骰点 | 最佳着法 | 其它可行的着法 | ||
|---|---|---|---|---|
| 2-1 | — | 13/11, 6/5 | 13/11, 24/23 | 8/5 |
| 3-1 | 8/5, 6/5 | — | — | — |
| 4-1 | 13/9, 24/23 | 13/8 | — | — |
| 5-1 | 13/8, 24/23 | 13/8, 6/5 | — | — |
| 6-1 | 13/7, 8/7 | 13/6 | — | — |
| 3-2 | 13/11, 24/21 | 13/10, 13/11 | — | — |
| 4-2 | 8/4, 6/4 | — | — | — |
| 5-2 | 13/8, 24/22 | 13/8, 13/11 | 13/6 | — |
| 6-2 | 13/11, 24/18 | — | — | — |
| 4-3 | 13/6 | 13/10, 13/9 | 13/10, 24/20 | 13/9, 24/21 |
| 5-3 | 8/3, 6/3 | — | — | — |
| 6-3 | 24/18, 13/10 | 24/15 | — | — |
| 5-4 | 13/8, 24/20 | 13/8, 13/9 | — | — |
| 6-4 | 8/2, 6/2 | 24/14 | 24/18, 13/9 | — |
| 6-5 | 24/13 | — | — | — |
这里有几条规律，如果能够占据某个点，应尽可能占据，例如掷到6和1可以占据第7点。这样一方面可以起到阻挡对方的作用，另一方面第7点就可以作为根据地，以后可以放上更多棋子。
如果不能够占据某个点，一般最佳开步为移动第24点及第13点的棋子，例如掷到3和4时，应走13/10，24/20 。移动到第10点的棋子，虽然是一枚弱棋，但对方只有掷到相加为9的骰点（即6和3，或5和4）时才有机会攻击，概率只有九分之一；而且这枚棋子还增加了能够占据己方内盘某个点的概率，例如原来只有掷到4和2才能占据第4点，以后掷到6和2也可以了（10/4，6/4），为进一步阻挡对方棋子做好了准备。至于移动到第20点的棋子，虽然也是一枚弱棋，且很容易被对方攻击（对方掷到3或1就可攻击），但倘若对方真的攻击了，对方自己就要在第20点留下一枚弱棋，下一步掷到5或4时，就可以反攻；而且这枚棋子还能够防止对方从第12点移动棋子（例如，如果对方走12/16，下一步掷到4就可以走20/16攻击它），使对方难以占据外盘和内盘的点。另外还须注意，移动位于第13点的棋子时，移动的步数越小越好（除非能够移动到第8点），这样将尽可能减少被对方攻击的概率。
以上最佳开步乃是计算机分析的结果。一些过去曾认为最佳的开步，现在已被更好的着法取代。例如，过去曾认为掷到2和5时，最佳着法为13/11 13/8，但计算机分析结果表明，24/22 13/8的着法更好。
变体
编辑双陆棋有不少变体，有的变体摆法有所改变，有的则是走法不同，还有的变体对某些骰子点数有特殊的规定。
一种常见的变体是任何一个点上最多允许有五枚棋子。虽然这不是官方的规则之一，但是在某些地区十分流行。[21]
Acey-deucey是一种双陆棋变体，开始时棋盘上没有棋子，必须在游戏时放入。如果掷到1和2，可以任意走动两枚棋子，如果掷到两个相同的点数，移动棋子后可再掷一次。
超级双陆〔Hypergammon〕是一种双陆棋变体，每位玩者只有三枚棋子，位于第24、23和22点上，该游戏已彻底解决，就是说，对于所有的三千二百万种局面，都已找到了取胜概率和最佳着法。[22][23]由于每位玩者只有三枚棋子，因此超级双陆的运气成分非常大，而策略成分则较小。
纳克双陆〔Nackgammon〕是一种双陆棋变体，由纳克·巴拉德（Nack Ballard）发明，摆法与双陆棋略有不同，第6点和第13点比双陆棋少放一枚棋子，第23点放两枚棋子。与双陆棋相比，纳克双陆开局时总点数较大（为195），因此所需时间较长，难度亦较大。[23][24]
日本双陆〔すごろく，Sugoroku〕是一种双陆棋变体，6世纪时由中国传入日本，现流行于日本。其摆法与双陆棋相同，但规则略有不同。主要区别为日本双陆中首先将所有棋子移入己方内盘即算胜利，无需再移离棋盘（因此也就无所谓全胜和完胜），因此所需时间较短。另外，日本双陆不使用倍数方块，也不允许占据连续六个点（所谓“占据某个点”是指该点至少有两枚己方的棋子）。与双陆棋相比，日本双陆规则比较简单。
策略与战术
编辑
最直接的策略就是避免被对方攻击或阻挡。要尽可能避免留下弱棋，如果一定要留下弱棋，要尽可能使受到攻击的概率为最小。一般情况下，当弱棋与对方棋子相距六个点时，最容易遭到对方攻击；无论是近一点还是远一点，受到攻击的概率都会减少。以下的表格给出了弱棋与对方棋子之间的距离，以及受到攻击的概率。
| 弱棋与对方棋子之间的距离 | 受到攻击的概率 |
|---|---|
| 1 | 30.6 % |
| 2 | 33.3 % |
| 3 | 38.9 % |
| 4 | 41.7 % |
| 5 | 41.7 % |
| 6 | 47.2 % |
| 7 | 16.7 % |
| 8 | 16.7 % |
| 9 | 13.9 % |
| 10 | 8.3 % |
| 11 | 5.6 % |
| 12 | 8.3 % |
| 15 | 2.8 % |
| 16 | 2.8 % |
| 18 | 2.8 % |
| 20 | 2.8 % |
| 24 | 2.8 % |
如果己方总点数大大领先于对方，应迅速将棋子越过对方，并移离棋盘。这种策略叫做“赛跑策略”。[18]如果己方总点数与对方相差不大，应采用“占有性策略”，就是用两枚棋子占据对方内盘某个点，这样以后就有机会攻击对方弱棋，或者掷到两个大骰点时就有机会逃脱。[18]
将连续六个点占据，使对方的棋子无法越过，这种策略叫做“阻挡策略”。[18]
将己方内盘上六个点全部占据，使对方被攻击的的棋子无法重新进入游戏，这样就可迅速取得优势，并获得胜利。这种策略叫做“闪电战策略”，是阻挡策略的一个特例。[16]
如果己方总点数落后于对方，可以保留一些棋子在对方内盘上，并在己方内盘上建立屏障，等对方棋子回到内盘时，就有机会攻击它们。这种策略叫做“撤退策略”。撤退策略并不是一个十分有效的策略，使用撤退策略的棋局中只有20%能够获得胜利。撤退策略只适用于己方总点数已大大落后于对方的情形，如果一开始就使用撤退策略，那么通常都会失败。[16][18]
将所有弱棋保持在与对方棋子相同的距离上。例如，将所有弱棋放在对方必须掷到2才能攻击到的点上。这样将减少被对方攻击的概率。[16][18]还有一种很重要的策略，有时无法直接攻击对方弱棋或占据某个点，这时就要考虑到下一步，使得下一步能够有最大的机会攻击对方弱棋或占据某个点。这种策略叫做“多样化策略”。[18]
国际比赛
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软件
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20世纪70年代，一名德国棋手Hans Berliner编写了双陆棋程序BKG 9.8。开始时，该程序跟初学者下棋也经常输；但后来Berliner使用了模糊逻辑的原理，使程序不断改进，最终在1979年7月以7:1击败了当时的世界冠军──意大利棋手Luigi Villa。Berliner指出，这多半是运气的原因，掷得的骰点对计算机比较有利。[26]
20世纪80年代晚期，程序员们使用一种叫人工神经网络的新方法，使双陆棋软件的水平大大提高。其中一种叫TD-Gammon的程序，由Gerald Tesauro编写，是第一个接近专家级水平的双陆棋程序。[27]美国棋手Bill Robertie和Kit Woolsey表示，TD-Gammon的水平已经高于世界上最好的棋手了。[27]
棋手
编辑美洲棋手
编辑- John Perkins Cushing （美国棋手）
- Billy Eisenberg （美国棋手，曾获1975年世界双陆棋锦标赛冠军）
- Robert Floyd （美国棋手）
- Dan Harrington （美国棋手）
- Oswald Jacoby （美国棋手，曾获1972年世界双陆棋锦标赛冠军）
- Joe Russell （美国棋手，曾获1989年世界双陆棋锦标赛冠军）
- Jason Lester （美国棋手）
- Paul Magriel （美国棋手，曾获1978年世界双陆棋锦标赛冠军）
- Bill Robertie （美国棋手，曾获1983年和1987年世界双陆棋锦标赛冠军）
- Alan Rosenberg （美国棋手）
- Erik Seidel （美国棋手）
- Kit Woolsey （美国棋手）
- Brian Zembic （加拿大棋手）
欧洲棋手
编辑- Terence Reese （英国棋手）
- Charalambos Xanthos （英国棋手）
- Mads Andersen （丹麦棋手，曾获2002年世界双陆棋锦标赛冠军）
- Gus Hansen （丹麦棋手）
- Philip Vischjager （荷兰棋手，曾获2006年世界双陆棋锦标赛冠军）
- Luigi Villa （意大利棋手，曾获1979年世界双陆棋锦标赛冠军）
中东棋手
编辑- Ezer Weizman （以色列棋手）
- Tunç Hamarat （土耳其棋手）
中国棋手
编辑目前尚未有任何著名的中国双陆棋棋手。 西洋骰子棋，在中国唐朝甚为流行，其名为双陆棋或长行棋，较有名者为唐朝狄仁杰。
参见
编辑
参考文献
编辑- ^ Hayes, William C. "Egyptian Tomb Reliefs of the Old Kingdom". The Metropolitan Museum of Art Bulletin. 1946年3月.,. New Series 4 (7): 第170至178页.
- ^ Austin, Roland G. Roman Board Games. I. Greece & Rome. 1934年10月, 4 (10): 第24至34页.
- ^ Murray, Harold James Ruthven. 第六章: Race-Games. A History of Board-Games Other than Chess. Hacker Art Books. 1952年. ISBN 978-0-87817-211-5.
- ^ Lillich, Meredith Parsons. The Tric-Trac Window of Le Mans. The Art Bulletin. 1983年3月, 65 (1): 第23至33页.
- ^ Vasamuseet — The Swedish-Tables Association. The Vasa Museum. [2006年8月12日]. （原始内容存档于2006年5月18日）.
- ^ "backgammon". Oxford English Dictionary（牛津英语词典），第二版. 1989年 [2006年8月5日]. （原始内容存档于2006年6月25日）.
- ^ 双陆棋桌与双陆棋 互联网档案馆的存档，存档日期2011-11-04.
- ^ 西北牛. 官賭調查. 中国: 时代潮流出版社. 1989-07. ISBN 9789889854959 （中文（简体））.
- ^ 天后夢雙陸而不勝. [2010-06-25]. （原始内容存档于2011-07-09）.
- ^ 梁公九谏[永久失效链接]
- ^ 中国象棋简史 互联网档案馆的存档，存档日期2011-07-09.
- ^ 郑阿财. 《敦煌文献与文学》. 中国: 新文丰出版社. 1993-12-29. ISBN 9789571709437 （中文）.
- ^ 第二章 唐代以前围棋. [2012-09-11]. （原始内容存档于2010-09-18）.
- ^ 朱彧《萍洲可谈》：“广州蕃坊，见蕃人赌象棋，并无车马之制，只以象牙、犀角、沈檀香数块，于棋局上两两相移，亦自有节度胜败。予以戏事，未尝问也。”
- ^ 马建春. 《回族研究》〈大食双陆棋弈的传入及其影响〉. 中国: 宁夏社科院《回族研究》编辑部. 2001-04 （中文（简体））.
- ^ 16.00 16.01 16.02 16.03 16.04 16.05 16.06 16.07 16.08 16.09 16.10 16.11 16.12 16.13 16.14 16.15 16.16 Robertie, Bill. Backgammon for Winners 第三版. Cardoza. 2002年. ISBN 978-1-58042-043-3.
- ^ 17.0 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 Hoyle's Rules of Games Third Revised and Updated Edition. Signet. 2001年: 第321至330页. ISBN 978-0-451-20484-4.
- ^ 18.00 18.01 18.02 18.03 18.04 18.05 18.06 18.07 18.08 18.09 18.10 Magriel, Paul. Backgammon. Quadrangle/The New York Times Book Co. 1976年: 第16至18页. ISBN 978-0-8129-0615-8.
- ^ 19.0 19.1 Robertie, Bill. 501 Essential Backgammon Problems 第二版. Cardoza. 2002年: 第22页. ISBN 978-1-58042-019-8.
- ^ 20.0 20.1 Robertie, Bill. Backgammon for Serious Players 第二版. Cardoza. 2006年: 第19至22页. ISBN 978-0-940685-68-0.
- ^ bkgm.com （页面存档备份，存于互联网档案馆）上有相关讨论
- ^ Tesauro, G. Programming backgammon using self-teaching neural nets (PDF). Artificial Intelligence. 2002年, 134 (1): 第181至199页 [2007年8月8日]. （原始内容 (PDF)存档于2007年9月27日）.
- ^ 23.0 23.1 Strato, Michael. Backgammon Variants. Gammonlife. [2007年8月8日]. （原始内容存档于2007年9月13日）.
- ^ Woolsey, Kit. Nackgammon. Gammonline. 2001年9月 [2007年8月8日]. （原始内容存档于2007-09-28）.
- ^ Michael Crane. Backgammon News — Wold Championships 2000. Mind Sports Worldwide. 2000年7月25日 [2006年9月14日]. （原始内容存档于2006年9月7日）.
- ^ Berliner, Hans; et al. Backgammon program beats world champ. ACM SIGART Bulletin. 1980年1月, (69): 第6至9页.
- ^ 27.0 27.1 Tesauro, Gerald. Temporal difference learning and TD-Gammon. Communications of the ACM. 1995年3月, 38 (3): 第58至68页 [2007-12-31]. （原始内容存档于2013-01-11）.