雙陸棋
雙陸棋（Backgammon），又稱百家樂棋，是一類供兩人對弈的版圖遊戲，棋子的移動以擲骰子的點數決定，首位把所有棋子移離棋盤的玩者可獲得勝利。遊戲在世界多個地方演變出 飛行棋 多個版本，但保留一些共通的基本元素。
 雙陸棋，由一個棋盤、三十枚棋子、四個骰子、一個倍數方塊、以及兩個裝骰子的骰盅組成 | |
| 玩家數目 | 2 |
|---|---|
| 適用年齡 | 5歲以上 |
| 準備時間 | 10-30秒 |
| 複雜程度 | 中等 |
| 策略成分 | 中 |
| 遊戲時間 | 5-35分鐘 |
| 運氣成分 | 骰子 |
| 所需技巧 | 計算、戰術、策略、概率 |
在遊戲中，每位玩者盡力把棋子移動及移離棋盤。雖然遊戲有很大的運氣成分，遊戲的策略仍然十分重要。每次擲骰子時，玩者都要從多種選擇中選出最佳的走法。計算機科學家們對雙陸棋做了很多研究，目前雙陸棋軟件已經可以擊敗世界級的人類選手。
歷史
編輯
西方
編輯西方的雙陸棋起源於大約公元前3000年古埃及的塞尼特，[1]此外古羅馬人也曾玩過一種類似雙陸棋的遊戲。[2]11世紀時，雙陸棋傳到法國，很快成為賭徒們最喜愛的遊戲，以致於路易九世在1254年頒布了一項法令，禁止官員們下雙陸棋。[3][4]12世紀時，雙陸棋傳到德國，13世紀時傳到了冰島。17世紀時還傳到了瑞典，當時在瑞典的一艘沉船裡發現了一個木製的雙陸棋棋盤和一些棋子。[5]19世紀時，隨着西方列強大量建立殖民地，雙陸棋傳遍了全世界。至今雙陸棋仍風行於西方社會，這個遊戲適合兩人對弈，各自執一黑一白之十五個棋子，遊戲有一個固定的開始擺設方式，雙方各有一個杯子裝兩箇骰子，為求公平只能由手持杯子擲骰子。雙陸棋一般使用的棋具外觀優美，由於技巧與運氣因素各佔一半，因此適合酌彩。
《艾布·達吾德聖訓集》41:4920記載穆罕默德說玩雙陸棋是違抗真主及其使者。
在英語和絕大多數歐洲語言中，雙陸棋一詞為「backgammon」，「back」是「後退」的意思，而「gammon」在中古英語中則有「遊戲」之意，該詞最早在1650年的牛津英語詞典中出現。[6]
東亞
編輯中國
編輯中國古代的雙陸是一種類似賭博的棋戲，有握槊、長行、波羅塞戲、雙六等名稱[7]，是來自印度傳入的波羅塞戲（梵語：प्रासक）基礎改造。雙陸棋子為馬形，黑白各十五或十二枚，兩人相博，擲骰子按點行棋。雙陸在唐代、五代、遼代、金代、元代曾風靡一時，連武則天、唐玄宗、後唐明宗、也喜歡玩雙陸[8]。
《唐國史補》記載武則天夢見與大羅天女打雙陸。局中只要有子，旋即被打將，不得其位，頻頻輸給天女。狄仁傑則告訴她說是「雙陸不勝，無子也。」勸說是上天用棋子來警示武則天[9]。宋元話本小說《梁公九諫》中〈第六諫〉[10]、《狄仁傑傳》、《天中記》、《淵鑑類函》也有類似的故事。但網路上卻誤謬為武則天夢見下象棋[11]。
唐朝敦煌的《孔子項託相問書》，出現孔子邀請項橐玩雙陸的劇情[12]。
周昉有畫《楊妃架雪衣女亂雙陸圖》，描畫唐玄宗與人玩雙陸要輸時，楊貴妃故意放白鸚鵡擾亂棋局。但網路也誤謬成下圍棋[13]。
規則
編輯
雙陸棋的目的是將己方所有棋子越過對方，然後再移離棋盤。遊戲開始時，棋子較為分散，在遊戲過程中可能被對方攻擊或阻擋。由於下一盤棋所需的時間很短，比賽中通常採用計分制，首先獲得一定分數的一方為勝利者。
設備
編輯- 棋盤（見圖）
- 兩套不同顏色的十五枚棋子（每位玩者一套）
- 四顆骰子（每位玩者兩個）或者兩個骰子（每人一顆，骰兩次）杯子
- 倍數方塊
擺法
編輯棋盤的每一條邊上都有十二個三角形（如上圖所示），從右下角開始依順時針方向用數字1到24編號（對方則正好相反，從右上角開始依逆時針方向編號，己方的第1格就是對方的第24格，己方的第2格就是對方的第23格，依此類推）。每位玩者將兩枚棋子放在第24格，三枚棋子放在第8格，五枚棋子放在第13格和第6格。[16]
第1格到第6格叫做內盤或主盤，第7格到第12格叫做外盤。第7格又叫做臨界點，第13格又叫做中點。[16][17]
換言之，假設己方玩者使用黑棋，紅方玩者使用紅棋，坐標順序如下：
- 黑棋使用之坐標順序，由自己右下角開始依順時針方向數字1至24編號；
- 紅棋使用之坐標順序，由自己左下角開始依逆時針方向數字24至1編號。
走法
編輯
遊戲開始時，雙方各擲一個骰子，點數較大的一方先走。雙方輪流移動棋子，每次移動前先擲兩個骰。[16][17]
擲骰子後，玩者必須按照擲出的點數移動棋子，例如：若擲到6和3，就必須將一枚棋子向前移動6格，再將另一枚棋子向前移動3格；也可以將同一枚棋子移動6格再移動3格，或先移動3格再移動6格也可，但不能直接移動9格。如果擲到兩骰相同的點數叫作「雙翻doubles」，就是所得點數翻一倍，例如：若擲出兩個5，便可將四枚棋子向前移動5格。惟當擲兩個骰後只有一步可正常走動，則必須優先按照擲得較高點數的一個骰子移動一枚棋子。[16][17]簡單來說，雙方玩者要把棋子由開始時靠攏對方走往靠攏自己。
換言之，假設己方玩者使用黑棋，紅方玩者使用紅棋，棋子走向如下：
- 黑棋走向，由24往1；
- 紅棋走向，由1往24。
攻擊弱棋
編輯棋子只能移動到未被占據或被己方棋子占據的格，也可以移動到僅被一枚對方棋子占據的格，此時對方的這枚棋子便稱為「弱棋」。弱棋遭「攻擊」後，便要放在位於棋盤中央分界上的「板點」，計算上可視為虛擬之「黑棋第25格」或「紅棋第0格」；當弱棋方於板點有棋，必須優先於下回移動弱棋由板點返到坐標線重新出發，直至清空板點為止暫不得移動坐標線各格現存之棋子──下一回擲骰時，將遭攻擊而打入板點的弱棋從己方起點出發，例如：若擲到2，黑棋／紅棋就可分別移動到第23／2格；如果擲到3，黑棋／紅棋就可分別移動到第22／3格，依此類推。[16][17]
因為棋子不能移動到已被對方棋子兩枚或兩枚以上所占據的格，所以不可能會有任何格是同時被己方和對方的棋子占據。[16][17]
換言之，假設己方玩者使用黑棋，紅方玩者使用紅棋，被攻擊之棋子回到坐標線之起始情況如下：
- 黑棋被攻擊後回到坐標線之起始點，由24至19任一格開始（視乎擲骰得1至6點不等）；
- 紅棋被攻擊後回到坐標線之起始點，由1至6任一格開始（視乎擲骰得1至6點不等）。
移離棋盤
編輯如果所有棋子都回到了己方內盤（黑棋第1到第6格／紅棋第19至第24格），就可以開始將棋子「移離」棋盤。如果擲到1，就可將位於第1格的棋子移離棋盤；如果擲到2，就可將位於第2格的棋子移離棋盤，依此類推。不能將比所擲數字更低點的棋子移離棋盤，除非後面已經沒有任何棋子。例如，如果擲到5和4，第4格有兩枚棋子，而第5格和第6格都沒有棋子，才可以從第4格將兩枚棋子移走；如果第5格沒有棋子，但第6格仍有棋子，則不能移動兩枚第4格的棋子。[16][17]
如果在移離棋盤時有棋子被對方攻擊，就必須等該棋子回到了己方內盤後才可以繼續移離棋盤。
換言之，假設己方玩者使用黑棋，紅方玩者使用紅棋，棋子可移離棋盤之條件如下：
- 黑棋移離棋盤前之所在位置，須介乎1至6共6格中之任何格（視乎擲骰得1至6點不等）。
- 擲某數者只能把處於第某數格或更高數格之棋子移走，除非更高數格之棋子已無棋。
- 紅棋移離棋盤前之所在位置，須介乎24至19共6格之任何格（視乎擲骰得1至6點不等）。
- 擲某數者只能把處於第某數格或更低數格之棋子移走，除非更低數格之棋子已無棋。
勝負與得分
編輯首先將所有棋子移離的一方獲得勝利，可得一分。如果玩者還未開始將棋子移離棋盤，而對方已將所有棋子移離，對方就獲得兩分，稱為「全勝」或「家樂」。如果玩者還未開始將棋子移離棋盤，且仍有棋子在板點上或在對方內盤上，而對方已將所有棋子移離，對方就獲得三分，稱為「完勝」或「百家樂」。[16][17]
總點數
編輯在對局中，某一方所有棋子佔據坐標線與板點各位置的點數叫做「總點數」。開局時雙方的總點數為167，對局過程中總點數逐漸減少，但是當棋子被攻擊而進入板點時，總點數便隨之增加，總點數較小的那一方則處於領先狀態。比賽時不允許用計算器計算總點數，因此雙陸棋手們必須具備敏捷的心算能力。[18]
倍數方塊
編輯
倍數方塊（又稱倍數骰子）最早在1926年為紐約的雙陸棋棋手們使用，[19]以後逐漸為全世界所採用。其目的是為了增加遊戲的速度和難度，以及使遊戲更富有趣味性。倍數方塊是刻上數字2、4、8、16、32和64的立方體。擲骰子之前，玩者可以要求將所得的分數加倍。對方必須立刻接受要求，或認輸。如果接受要求，就將倍數方塊轉到數字2朝上，所得的分數將加倍。也就是說，獲得勝利將得到兩分，獲得全勝將得到四分，而如果失敗了，對方就獲得兩分。以後還可以加到更高的倍數。加倍的次數不限，可以加到128倍，256倍，但實際上很少加到4倍以上。[16][17]倍數方塊要求玩者們不僅要選擇最佳的着法，還需要估計取勝的概率。[19]
一般情況下，如果認為自己獲勝的概率大於50%，應主動提出加倍要求；當對方提出加倍要求時，如果認為自己獲勝的概率大於25%，就應該接受（這個概率不僅與雙方的總點數以及棋子的位置有關，還與棋手個人的水平、風格以及看問題的角度有關）。但如果認為自己有機會獲得全勝或完勝，就不要主動提出加倍要求，否則一旦對方認輸，就只能得到一分。如果一時難以估計取勝的概率，不要主動提出加倍要求；但當對方提出加倍要求時，可以根據雙方的總點數來判斷是否應接受；如果己方的總點數比對方大10個點以上，就不應該接受加倍，否則應該接受加倍。
關於倍數方塊還有兩條很重要的規則：雅可比（Jacoby）規則和克羅福（Crawford）規則。雅可比規則規定，如果對局中未曾使用倍數方塊，則獲得全勝或完勝都只能得到一分。這條規則鼓勵了棋手們使用倍數方塊，而不是一直玩到底企盼着獲得全勝或完勝。雅可比規則在賭博時廣泛使用，但不在比賽中使用。[20]
克羅福規則規定，如果某一方只差一分就獲得了比賽勝利，雙方都不准使用倍數方塊。使用這條規則的目的是防止某一方只差一分就獲得比賽勝利時，對方為增加獲勝的概率而提出加倍要求。克羅福規則經常在比賽中使用。[20]
對局記錄
編輯雙陸棋的對局記錄法由美國棋手Paul Magriel在20世紀70年代發明。[16]
擲骰子擲到4和2，記錄為：4-2
從第8點移動一枚棋子到第4點，再從第6點移動一枚棋子到第4點，記錄為：8/4 6/4[16][18]
攻擊對方的弱棋，在着法後加星號（*）。例如，從第13點移動一枚棋子到第7點，並攻擊對方的弱棋，記錄為：13/7*
從第13點移動一枚棋子到第7點，並攻擊對方的弱棋，再移動到第5點，記錄為：13/7*/5[16][18]
移動超過一枚棋子，在着法後註明移動棋子的數目。例如，擲到兩個2，從第6點移動三枚棋子到第4點，再從第13點移動一枚棋子到第11點，記錄為：2-2 6/4(3) 13/11。[16][18]
開局
編輯雙陸棋的開局要比其它棋盤遊戲如中國象棋和國際象棋複雜，這是因為每次擲骰子都有21種可能的骰點組合，每一種組合又有多種可行的着法。以下只討論第一步的最佳着法。
| 骰點 | 最佳着法 | 其它可行的着法 | ||
|---|---|---|---|---|
| 2-1 | — | 13/11, 6/5 | 13/11, 24/23 | 8/5 |
| 3-1 | 8/5, 6/5 | — | — | — |
| 4-1 | 13/9, 24/23 | 13/8 | — | — |
| 5-1 | 13/8, 24/23 | 13/8, 6/5 | — | — |
| 6-1 | 13/7, 8/7 | 13/6 | — | — |
| 3-2 | 13/11, 24/21 | 13/10, 13/11 | — | — |
| 4-2 | 8/4, 6/4 | — | — | — |
| 5-2 | 13/8, 24/22 | 13/8, 13/11 | 13/6 | — |
| 6-2 | 13/11, 24/18 | — | — | — |
| 4-3 | 13/6 | 13/10, 13/9 | 13/10, 24/20 | 13/9, 24/21 |
| 5-3 | 8/3, 6/3 | — | — | — |
| 6-3 | 24/18, 13/10 | 24/15 | — | — |
| 5-4 | 13/8, 24/20 | 13/8, 13/9 | — | — |
| 6-4 | 8/2, 6/2 | 24/14 | 24/18, 13/9 | — |
| 6-5 | 24/13 | — | — | — |
這裡有幾條規律，如果能夠占據某個點，應儘可能占據，例如擲到6和1可以占據第7點。這樣一方面可以起到阻擋對方的作用，另一方面第7點就可以作為根據地，以後可以放上更多棋子。
如果不能夠占據某個點，一般最佳開步為移動第24點及第13點的棋子，例如擲到3和4時，應走13/10，24/20 。移動到第10點的棋子，雖然是一枚弱棋，但對方只有擲到相加為9的骰點（即6和3，或5和4）時才有機會攻擊，概率只有九分之一；而且這枚棋子還增加了能夠占據己方內盤某個點的概率，例如原來只有擲到4和2才能占據第4點，以後擲到6和2也可以了（10/4，6/4），為進一步阻擋對方棋子做好了準備。至於移動到第20點的棋子，雖然也是一枚弱棋，且很容易被對方攻擊（對方擲到3或1就可攻擊），但倘若對方真的攻擊了，對方自己就要在第20點留下一枚弱棋，下一步擲到5或4時，就可以反攻；而且這枚棋子還能夠防止對方從第12點移動棋子（例如，如果對方走12/16，下一步擲到4就可以走20/16攻擊它），使對方難以占據外盤和內盤的點。另外還須注意，移動位於第13點的棋子時，移動的步數越小越好（除非能夠移動到第8點），這樣將儘可能減少被對方攻擊的概率。
以上最佳開步乃是計算機分析的結果。一些過去曾認為最佳的開步，現在已被更好的着法取代。例如，過去曾認為擲到2和5時，最佳着法為13/11 13/8，但計算機分析結果表明，24/22 13/8的着法更好。
變體
編輯雙陸棋有不少變體，有的變體擺法有所改變，有的則是走法不同，還有的變體對某些骰子點數有特殊的規定。
一種常見的變體是任何一個點上最多允許有五枚棋子。雖然這不是官方的規則之一，但是在某些地區十分流行。[21]
Acey-deucey是一種雙陸棋變體，開始時棋盤上沒有棋子，必須在遊戲時放入。如果擲到1和2，可以任意走動兩枚棋子，如果擲到兩個相同的點數，移動棋子後可再擲一次。
超級雙陸〔Hypergammon〕是一種雙陸棋變體，每位玩者只有三枚棋子，位於第24、23和22點上，該遊戲已徹底解決，就是說，對於所有的三千二百萬種局面，都已找到了取勝概率和最佳着法。[22][23]由於每位玩者只有三枚棋子，因此超級雙陸的運氣成分非常大，而策略成分則較小。
納克雙陸〔Nackgammon〕是一種雙陸棋變體，由納克·巴拉德（Nack Ballard）發明，擺法與雙陸棋略有不同，第6點和第13點比雙陸棋少放一枚棋子，第23點放兩枚棋子。與雙陸棋相比，納克雙陸開局時總點數較大（為195），因此所需時間較長，難度亦較大。[23][24]
日本雙陸〔すごろく，Sugoroku〕是一種雙陸棋變體，6世紀時由中國傳入日本，現流行於日本。其擺法與雙陸棋相同，但規則略有不同。主要區別為日本雙陸中首先將所有棋子移入己方內盤即算勝利，無需再移離棋盤（因此也就無所謂全勝和完勝），因此所需時間較短。另外，日本雙陸不使用倍數方塊，也不允許占據連續六個點（所謂「占據某個點」是指該點至少有兩枚己方的棋子）。與雙陸棋相比，日本雙陸規則比較簡單。
策略與戰術
編輯
最直接的策略就是避免被對方攻擊或阻擋。要儘可能避免留下弱棋，如果一定要留下弱棋，要儘可能使受到攻擊的概率為最小。一般情況下，當弱棋與對方棋子相距六個點時，最容易遭到對方攻擊；無論是近一點還是遠一點，受到攻擊的概率都會減少。以下的表格給出了弱棋與對方棋子之間的距離，以及受到攻擊的概率。
| 弱棋與對方棋子之間的距離 | 受到攻擊的概率 |
|---|---|
| 1 | 30.6 % |
| 2 | 33.3 % |
| 3 | 38.9 % |
| 4 | 41.7 % |
| 5 | 41.7 % |
| 6 | 47.2 % |
| 7 | 16.7 % |
| 8 | 16.7 % |
| 9 | 13.9 % |
| 10 | 8.3 % |
| 11 | 5.6 % |
| 12 | 8.3 % |
| 15 | 2.8 % |
| 16 | 2.8 % |
| 18 | 2.8 % |
| 20 | 2.8 % |
| 24 | 2.8 % |
如果己方總點數大大領先於對方，應迅速將棋子越過對方，並移離棋盤。這種策略叫做「賽跑策略」。[18]如果己方總點數與對方相差不大，應採用「占有性策略」，就是用兩枚棋子占據對方內盤某個點，這樣以後就有機會攻擊對方弱棋，或者擲到兩個大骰點時就有機會逃脫。[18]
將連續六個點占據，使對方的棋子無法越過，這種策略叫做「阻擋策略」。[18]
將己方內盤上六個點全部占據，使對方被攻擊的的棋子無法重新進入遊戲，這樣就可迅速取得優勢，並獲得勝利。這種策略叫做「閃電戰策略」，是阻擋策略的一個特例。[16]
如果己方總點數落後於對方，可以保留一些棋子在對方內盤上，並在己方內盤上建立屏障，等對方棋子回到內盤時，就有機會攻擊它們。這種策略叫做「撤退策略」。撤退策略並不是一個十分有效的策略，使用撤退策略的棋局中只有20%能夠獲得勝利。撤退策略只適用於己方總點數已大大落後於對方的情形，如果一開始就使用撤退策略，那麼通常都會失敗。[16][18]
將所有弱棋保持在與對方棋子相同的距離上。例如，將所有弱棋放在對方必須擲到2才能攻擊到的點上。這樣將減少被對方攻擊的概率。[16][18]還有一種很重要的策略，有時無法直接攻擊對方弱棋或占據某個點，這時就要考慮到下一步，使得下一步能夠有最大的機會攻擊對方弱棋或占據某個點。這種策略叫做「多樣化策略」。[18]
國際比賽
編輯
軟件
編輯
20世紀70年代，一名德國棋手Hans Berliner編寫了雙陸棋程序BKG 9.8。開始時，該程序跟初學者下棋也經常輸；但後來Berliner使用了模糊邏輯的原理，使程序不斷改進，最終在1979年7月以7:1擊敗了當時的世界冠軍──意大利棋手Luigi Villa。Berliner指出，這多半是運氣的原因，擲得的骰點對計算機比較有利。[26]
20世紀80年代晚期，程序員們使用一種叫人工神經網絡的新方法，使雙陸棋軟件的水平大大提高。其中一種叫TD-Gammon的程序，由Gerald Tesauro編寫，是第一個接近專家級水平的雙陸棋程序。[27]美國棋手Bill Robertie和Kit Woolsey表示，TD-Gammon的水平已經高於世界上最好的棋手了。[27]
棋手
編輯美洲棋手
編輯- John Perkins Cushing （美國棋手）
- Billy Eisenberg （美國棋手，曾獲1975年世界雙陸棋錦標賽冠軍）
- Robert Floyd （美國棋手）
- Dan Harrington （美國棋手）
- Oswald Jacoby （美國棋手，曾獲1972年世界雙陸棋錦標賽冠軍）
- Joe Russell （美國棋手，曾獲1989年世界雙陸棋錦標賽冠軍）
- Jason Lester （美國棋手）
- Paul Magriel （美國棋手，曾獲1978年世界雙陸棋錦標賽冠軍）
- Bill Robertie （美國棋手，曾獲1983年和1987年世界雙陸棋錦標賽冠軍）
- Alan Rosenberg （美國棋手）
- Erik Seidel （美國棋手）
- Kit Woolsey （美國棋手）
- Brian Zembic （加拿大棋手）
歐洲棋手
編輯- Terence Reese （英國棋手）
- Charalambos Xanthos （英國棋手）
- Mads Andersen （丹麥棋手，曾獲2002年世界雙陸棋錦標賽冠軍）
- Gus Hansen （丹麥棋手）
- Philip Vischjager （荷蘭棋手，曾獲2006年世界雙陸棋錦標賽冠軍）
- Luigi Villa （意大利棋手，曾獲1979年世界雙陸棋錦標賽冠軍）
中東棋手
編輯- Ezer Weizman （以色列棋手）
- Tunç Hamarat （土耳其棋手）
中國棋手
編輯目前尚未有任何著名的中國雙陸棋棋手。 西洋骰子棋，在中國唐朝甚為流行，其名為雙陸棋或長行棋，較有名者為唐朝狄仁傑。
參見
編輯
參考文獻
編輯- ^ Hayes, William C. "Egyptian Tomb Reliefs of the Old Kingdom". The Metropolitan Museum of Art Bulletin. 1946年3月.,. New Series 4 (7): 第170至178頁.
- ^ Austin, Roland G. Roman Board Games. I. Greece & Rome. 1934年10月, 4 (10): 第24至34頁.
- ^ Murray, Harold James Ruthven. 第六章: Race-Games. A History of Board-Games Other than Chess. Hacker Art Books. 1952年. ISBN 978-0-87817-211-5.
- ^ Lillich, Meredith Parsons. The Tric-Trac Window of Le Mans. The Art Bulletin. 1983年3月, 65 (1): 第23至33頁.
- ^ Vasamuseet — The Swedish-Tables Association. The Vasa Museum. [2006年8月12日]. （原始內容存檔於2006年5月18日）.
- ^ "backgammon". Oxford English Dictionary（牛津英語詞典），第二版. 1989年 [2006年8月5日]. （原始內容存檔於2006年6月25日）.
- ^ 雙陸棋桌與雙陸棋 網際網路檔案館的存檔，存檔日期2011-11-04.
- ^ 西北牛. 官賭調查. 中國: 時代潮流出版社. 1989-07. ISBN 9789889854959 （中文（簡體））.
- ^ 天后夢雙陸而不勝. [2010-06-25]. （原始內容存檔於2011-07-09）.
- ^ 梁公九諫[永久失效連結]
- ^ 中國象棋簡史 網際網路檔案館的存檔，存檔日期2011-07-09.
- ^ 鄭阿財. 《敦煌文献与文学》. 中國: 新文豐出版社. 1993-12-29. ISBN 9789571709437 （中文）.
- ^ 第二章 唐代以前围棋. [2012-09-11]. （原始內容存檔於2010-09-18）.
- ^ 朱彧《萍洲可談》：「廣州蕃坊，見蕃人賭象棋，並無車馬之制，只以象牙、犀角、沈檀香數塊，於棋局上兩兩相移，亦自有節度勝敗。予以戲事，未嘗問也。」
- ^ 馬建春. 《回族研究》〈大食双陆棋弈的传入及其影响〉. 中國: 寧夏社科院《回族研究》編輯部. 2001-04 （中文（簡體））.
- ^ 16.00 16.01 16.02 16.03 16.04 16.05 16.06 16.07 16.08 16.09 16.10 16.11 16.12 16.13 16.14 16.15 16.16 Robertie, Bill. Backgammon for Winners 第三版. Cardoza. 2002年. ISBN 978-1-58042-043-3.
- ^ 17.0 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 Hoyle's Rules of Games Third Revised and Updated Edition. Signet. 2001年: 第321至330頁. ISBN 978-0-451-20484-4.
- ^ 18.00 18.01 18.02 18.03 18.04 18.05 18.06 18.07 18.08 18.09 18.10 Magriel, Paul. Backgammon. Quadrangle/The New York Times Book Co. 1976年: 第16至18頁. ISBN 978-0-8129-0615-8.
- ^ 19.0 19.1 Robertie, Bill. 501 Essential Backgammon Problems 第二版. Cardoza. 2002年: 第22頁. ISBN 978-1-58042-019-8.
- ^ 20.0 20.1 Robertie, Bill. Backgammon for Serious Players 第二版. Cardoza. 2006年: 第19至22頁. ISBN 978-0-940685-68-0.
- ^ bkgm.com （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）上有相關討論
- ^ Tesauro, G. Programming backgammon using self-teaching neural nets (PDF). Artificial Intelligence. 2002年, 134 (1): 第181至199頁 [2007年8月8日]. （原始內容 (PDF)存檔於2007年9月27日）.
- ^ 23.0 23.1 Strato, Michael. Backgammon Variants. Gammonlife. [2007年8月8日]. （原始內容存檔於2007年9月13日）.
- ^ Woolsey, Kit. Nackgammon. Gammonline. 2001年9月 [2007年8月8日]. （原始內容存檔於2007-09-28）.
- ^ Michael Crane. Backgammon News — Wold Championships 2000. Mind Sports Worldwide. 2000年7月25日 [2006年9月14日]. （原始內容存檔於2006年9月7日）.
- ^ Berliner, Hans; et al. Backgammon program beats world champ. ACM SIGART Bulletin. 1980年1月, (69): 第6至9頁.
- ^ 27.0 27.1 Tesauro, Gerald. Temporal difference learning and TD-Gammon. Communications of the ACM. 1995年3月, 38 (3): 第58至68頁 [2007-12-31]. （原始內容存檔於2013-01-11）.