实变函数论

实分析，也称为实数分析、实变函数论（英语：Real analysis、英语：Theory of functions of a real variable），是处理实数及实函数的数学分析。专门研究实数函数及数列的解析特性，包括实数数列的极限，实函数的微分及积分、连续性、光滑性以及其他相关性质。

实分析常以基础集合论，函数概念定义等等开始。

内容

实数的构造

有许多种将实数定义为有序域的方式。合成的作法会提供许多实数的公理，将实数变成完备有序域。在一般集合论的公理下，可以证明这些公理都是明确的，也就是说有一个公理的模型，任两个模型都是同构的。这些模型中需要有一个有明确的定义，而大部份的模型都可以用实数为有序域时的基本性质来得到。

实数的有序性

实数有许多重要的特性是和数学中格的定义有关，这些性质也是复数所没有的。其中最重要的是，实数形成有序域，实数的有序满足反对称性、传递性及完全性，属于全序关系，而且实数有最小上界性。实数中的偏序关系带来了实变分析中许多重要的定理，例如单调收敛定理、介值定理及中值定理。

在实变分析中这些定理只针对实数，不过许多的结果可以应用在其他的数学对象。特别是许多泛函分析及算子理论（英语：operator theory）中的概念是来自实数中概念的扩展，这类的扩展包括里斯空间（英语：Riesz space）及正算子（英语：positive operator）的理论。也有数学家考虑复数数列的实部及虚部，例如算子数列的逐点评估（英语：strong operator topology）。

序列

序列是一个定义域为可数全序集合的函数，多半会让定义域是自然数或是所有整数^[1]。例如，一个实数的序列为以下定义的映射 $a:\mathbb {N} \to \mathbb {R} ,\ n\mapsto a_{n}$ ，常会表示为 $(a_{n})=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=(a_{1},a_{2},a_{3},\cdots )$ 。若一序列会慢慢的接近一个极限（也就是存在 ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$ ），称此序列为收敛，否则则称此序列为发散。

极限

极限是指函数或序列在其输入接近一定值时，其输出数值所接近的特定定值^[2]。极限是微积分学及广义数学分析的基础，连续函数、导数及积分也是利用极限来定义。

连续函数

若函数的输入及输出值都是实数，可以表示成笛卡儿坐标系上的图形。粗略来说，若函数图形是一条连续未分割的曲线，其中没有“洞”或是“断点”，函数即为连续函数。

针对上述粗略的定义，在数学上有许多严谨的定义。这些定义彼此是等价的，因此会用最简单而方便的定义来确认一个函数是否是连续，在以下的定义中

f\colon I\rightarrow \mathbf {R} .

是一个定义在实数 ${\boldsymbol {R}}$ 以内子集的函数，子集 $I$ 称为函数 $f$ 的定义域。子集 $I$ 的一些可能选择包括 $I={\boldsymbol {R}}$ （所有实数）、以下的开区间

I=(a,b)=\{x\in \mathbf {R} \,|\,a<x<b\},

或闭区间

I=[a,b]=\{x\in \mathbf {R} \,|\,a\leq x\leq b\}.

因此 $a$ 及 $b$ 是实数。

一致连续是连续函数中，比连续函数更强的性质。若X和Y是实数子集，函数 $f:X\rightarrow Y$ 为一致连续的条件是针对所有大于0的实数 $\varepsilon$ ，存在一实数 $\delta >0$ ，使得针对所有的 $x,y\in X,\left\vert x-y\right\vert <\delta$ 即表示 $\implies \left\vert f(x)-f(y)\right\vert <\varepsilon$ 。

一致连续和每一点连续的差异在一致连续时， $\delta$ 值只和 $\varepsilon$ 值有关，和该值在定义域中的位置无关。一般情况下，连续不意味著均匀连续。

级数

给定一无穷序列 $(a_{n})$ ，即可定义相关的级数为 ${\textstyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots =\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}}$ ，有时会简称为 ${\textstyle \sum a_{n}}$ 。级数的部份和 ${\textstyle \sum a_{n}}$ 为 ${\textstyle s_{n}=\sum _{j=1}^{n}a_{j}}$ 。级数 ${\textstyle \sum a_{n}}$ 收敛的条件是部份和的数列 $(s_{n})$ 收敛，否则级数即称为发散。收敛级数的和 ${\textstyle s=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ 定义为 ${\textstyle s=\lim _{n\to \infty }s_{n}}$ .

等比数列的和就是一个收敛级数，也是芝诺悖论的基础：

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =1

.

以下的调和级数即为发散级数：

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots =\infty

.

（此处“ $=\infty$ ”不是严谨的表示方式，只是表示部份和会无限制地増长）

微分

函数 $f$ 在 $a$ 位置的导数为以下的函数极限

f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}

若导数在所有位置都存在，称函数为可微分，可以再继续计算函数的高阶导数。

也可以将函数依其微分分类来区分。分类 $C^{0}$ 包括所有连续函数，分类 $C^{1}$ 包括所有导数连续的可微函数，这类函数称为“连续可微”。分类 $C^{1}$ 是指其导数在分类 $C^{1}$ 中的函数。一般来说，分类 $C^{k}$ 可以用递归方式定义，定义方式是宣告分类 $C^{0}$ 是所有的连续函数，而分类 $C^{k}$ （ $k$ 为正整数）是所有可微，而且其导数为 $C^{k-1}$ 的函数。而分类 $C^{k}$ 包括在分类 $C^{k-1}$ 中，对所有的正整数 $k$ 都成立。分类 $C^{\infty }$ 是所有 $C^{k}$ 的交集，其中 $k$ 为所有的非负整数。 $C^{\omega }$ 包括所有的解析函数，是分类 $C^{\infty }$ 的严格子集。

积分

黎曼积分

黎曼积分定义函数的黎曼和，对应为一个区间内的标记分区（tagged partitions）。令 $[a,b]$ 为实数下的封闭区间，则在区间 $[a,b]$ 内的标记分区为有限数列

a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}=b.\,\!

将区间 $[a,b]$ 分隔为 $n$ 个下标为 $i$ 子区间 $[x_{i-1},x_{i}]$ ，每一个用不同的点 $t_{i}\in [x_{i-1},x_{i}]$ 来标记。函数f对应标记分区的黎曼和定义为

\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i};

则和的每一项都是长方形的面积，其高为函数在给定子区间内，标示点的数值，宽和子区间的宽相等。令 $\Delta _{i}=x_{i}-x_{i-1}$ 为子区间 $i$ 的宽，则标记分区的网格为长子区间中最宽区间的宽度 $\mathrm {max} _{i=1\ldots n}\Delta _{i}$ 。函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 内的黎曼积分等于 $S$ 若：

对所有

\varepsilon >0

，存在

\delta >0

使得，对于任何有标示，且网格小于

\delta

的区间

[a,b]

，以下的式子成立

\left|S-\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i}\right|<\varepsilon .

若选定的标示都是每个区间内函数的最大值（或最小值），黎曼积分就会成为上（或下）达布和，因此黎曼积分和达布积分有紧密的关系。

勒贝格积分

勒贝格积分是一种积分概念，可以将积分延伸到更大范围的函数，同时也拓展函数的定义域。

分布

分布或是广义函数是一种将函数扩展后产生的概念。透过分布可以针对一些在传统定义下其导数不存在的函数进行微分（例如单位阶跃函数）。而任何局部可积函数都一定会有广义函数下的导数。

和复变分析的关系

实变函数论是数学分析的一部份，探讨像数列及其极限、连续性、函数的导数及积分。实变分析专注在实数，多半会包括正负无穷大以形成扩展实轴。实变分析和研究复数对应性质的复分析紧密相关。在复分析中，很自然的会对全纯函数定义导数，全纯函数有许多有用的性质，包括多次可微、可以用幂级数表示，而且满足柯西积分公式。

实变分析中也很自然的去考虑可微、光滑函数或调和函数，这些也常常用到，不过仍少了一些复变中全纯函数中有力的性质。而且代数基本定理若以复数表示时会比较简单。

复变中解析函数理论的技巧也可以用在实变分析，例如应用留数定理来计算实变函数的定积分。

重要结果

实分析的重要结果包括波尔查诺－魏尔斯特拉斯定理、海涅－博雷尔定理、介值定理、中值定理、微积分基本定理及单调收敛定理。

实分析的许多概念可以扩展到广义的度量空间，包括巴拿赫空间及希尔伯特空间。

参考资料

^ Gaughan, Edward. 1.1 Sequences and Convergence. Introduction to Analysis. AMS (2009). ISBN 0-8218-4787-2.
^ Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals 6th. Brooks/Cole. 2008. ISBN 0-495-01166-5.

[Gaughan-1] Gaughan, Edward. 1.1 Sequences and Convergence. Introduction to Analysis. AMS (2009). ISBN 0-8218-4787-2.

[2] Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals 6th. Brooks/Cole. 2008. ISBN 0-495-01166-5.

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