分數

各式各樣的數

基本

$\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}$

正數 $\mathbb {R} ^{+}$
自然數 $\mathbb {N}$
正整數 $\mathbb {Z} ^{+}$
小數
 有限小數
 無限小數
 循環小數
 有理數 $\mathbb {Q}$
代數數 $\mathbb {A}$
實數 $\mathbb {R}$
複數 $\mathbb {C}$
高斯整數 $\mathbb {Z} [i]$

負數 $\mathbb {R} ^{-}$
整數 $\mathbb {Z}$
負整數 $\mathbb {Z} ^{-}$
分數
 單位分數
 二進分數
 規矩數
 無理數
 超越數
 虛數 $\mathbb {I}$
二次無理數
 艾森斯坦整數 $\mathbb {Z} [\omega ]$

延伸

二元數
 四元數 $\mathbb {H}$
八元數 $\mathbb {O}$
十六元數 $\mathbb {S}$
超實數 $^{*}\mathbb {R}$
大實數
 上超實數

雙曲複數
 雙複數
 複四元數
共四元數（英語：Dual quaternion）
超複數
 超數
 超現實數

其他

質數 $\mathbb {P}$
可計算數
 基數
 阿列夫數
 同餘
 整數數列
 公稱值

規矩數
 可定義數
 序數
 超限數
 $p$ 進數
 數學常數

圓周率 $\pi =3.14159265$ …
自然對數的底 $e=2.718281828$ …
虛數單位 $i={\sqrt {-{1}}}$
無限大 $\infty$

分數（英語：fraction）是用分式（分數式）表達成 ${\frac {a}{b}}$ 的數（ $a,b\in Z,b\neq 0$ ）。在上式之中， $b$ 稱為分母（denominator）而 $a$ 稱為分子（numerator）^[1]，可視為某件事物平均分成 $b$ 份中佔 $a$ 份，讀作「 $b$ 分之 $a$ 」。中間的線稱為分線或分數線。有時人們會用 $a/b$ 來表示分數。

用法

分數有各種不同的用法與意義：

兩個整數的比例： ${\frac {a}{b}}\equiv a:b\ (a,b\in \mathbb {Z} ,a,b\neq 0)$ ，這是兩個數量的比較關係。
有理數：可以表達為兩個整數的分數的數稱為有理數。就數系來說，整數分數與有理數是同義詞。
整數除法： ${\frac {a}{b}}\equiv a\div b\ (a,b\in \mathbb {Z} ,b\neq 0)$ ，結果會是一個整數、有限小數或循環小數。
等分： ${\frac {1}{3}}$ 表示將全部分成三等份，然後只取其中的一份。這稱為單位分數（unit fraction），參見古埃及分數。 ${\frac {1}{3}}$ 也就是 $3$ 這個整數的倒數。

這些概念在數學裡都是相通的，只是在不同的使用場合中有其實際意義。

分類

最簡分數（既約分數）（irreducible fraction）: 分子是整數，分母是正整數，且分子和分母互質的分數。例如： ${\frac {4}{~{}15~{}}}$
真分數（proper fraction）: 除商小於1、大於0的分數，即分子小於分母的分數。當分子一樣大的時候，分母越大則值就越小，當分母一樣的時候，分子越大，數值就越大。例如： ${\frac {3}{~{}7~{}}}$
假分數（top-heavy/improper fraction）: 假分數是指除商不小於1的分數，即分子等於或大於分母的分數，可寫成帶分數。例如： ${\frac {5}{~{}3~{}}}$ 和 ${\frac {8}{~{}8~{}}}$
帶分數（mixed numeral、mixed fraction、mixed number^[1]）: 一個整數（whole number）加一個真分數，例如 $a{\frac {b}{c}}$ ，讀作「a又c分之b」；又例如 $1{\frac {1}{~{}2~{}}}$ ，就是一又二分之一。可寫成假分數，與 ${\frac {~{}(a\times c)+b~{}}{c}}$ 等價。
十進位分數（decimal fraction）: 分母為 $10$ 的次方的分數稱為十進位分數，通常使用小數的形式來表達，例如， ${\frac {1}{100}}$ 一般記為 $0.01$ ，也可以百分率簡記為 $1\%$ ，或是以 $10$ 的冪記為 $10^{-2}$ 。
單位分數: 分子為1，分母是整數的分數。也可視為該整數的倒數。例如： ${\frac {1}{~{}99~{}}}$
古埃及分數（Egyptian fraction）: 將分數表達成單位分數之和。例如： ${\frac {19}{~{}20~{}}}={\frac {1}{~{}2~{}}}+{\frac {1}{~{}3~{}}}+{\frac {1}{~{}9~{}}}+{\frac {1}{~{}180~{}}}$
繁分數: 分子和/或分母包含了分數的分數，例如 ${\frac {~{}{\frac {a}{~{}b~{}}}~{}}{\frac {c}{~{}d~{}}}}$ 。可以用「外乘外、內乘內」的方法簡化，即前面的式子等於 ${\frac {ad}{~{}bc~{}}}$ 。
連分數: 外觀如 $x=a_{0}+{\frac {1}{~{}a_{1}+{\frac {1}{~{}a_{2}+{\frac {1}{~{}a_{3}+\dots }}}}}}$ 的分數，其中 $a_{i}$ 是整數。若只有有限個 $a_{i}$ 非零，則連分數是一個分數。

分數運算

分數如自然數般，跟從互聯律、結合律、分配律和反除以零的規則。

約分、擴分及通分

一個分數約分後或擴分後，其分數與原來之分數的值相等，稱為等值分數。

約分

「約分」是將一個分數的分子和分母同除以一個比1大的整數（它們的公因數）。約分後的分數和原來分數的值相等。 ${\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}$

前面的數字的分子和分母皆除以三

擴分

「擴分」是將一個分數的分子和分母同乘以比1大的數。擴分後的分數和原來分數的值相等。 ${\frac {1}{2}}={\frac {2}{4}}$

前面的數字的分子和分母皆乘以二

通分

「通分」是利用約分或擴分，將兩個分母不同的分數，分別化為同分母的分數。

加法及減法

筆算分數的加減法時，必須將分母用予倍的方法化成同一數字才能進行同級分數之和或差，這個過程稱為「擴分」、「通分」、「通分母擴分子」等等，為了方便地求得所須分母，計算時一般以加數和被加數的最小公倍數作為新的分母。然後將事先倍大了的分子加上，合成和後再作約簡。例如：

${\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}={\frac {1+1}{4}}={\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}$

${\frac {1}{5}}+{\frac {1}{3}}={\frac {3}{15}}+{\frac {5}{15}}={\frac {3+5}{15}}={\frac {8}{15}}$

乘法及除法

分數乘法最晚在中國秦代即有，里耶秦簡博物館館長彭成剛表示：里耶秦簡秦朝「九九表」每枚木牘上豎寫的數字連起來就是一個乘法運算，更為驚奇的是，中國當時還出現了分數乘法，例如二乘以二分之一等於一。分數的乘除無視分子母的特性，將分子和分母各自處理便可，但是由於整數除法亦容易引起小數，加上不適合出現於分數形式，而且除法也是乘法的逆函數，故此計算時一般將被除數化成其倒數，把除法改為乘法較為方便。例如：

\quad {\frac {1}{5}}\div {\frac {7}{11}}=({\frac {1}{5}}\times 11)\div ({\frac {7}{11}}\times 11)=({\frac {1}{5}}\times 11)\div 7=({\frac {1}{5}}\times 11\times {\frac {1}{7}})\div (7\times {\frac {1}{7}})

={\frac {1}{5}}\times {\frac {11}{7}}={\frac {1\times 11}{5\times 7}}={\frac {11}{35}}

參考文獻

^ ^1.0 ^1.1 Mixed Fractions. www.mathsisfun.com. [2019-07-10]. （原始內容存檔於2020-11-27）.

外部連結

Fraction, arithmetical. The Online Encyclopaedia of Mathematics. [2015-06-03]. （原始內容存檔於2014-10-21）.
埃里克·韋斯坦因. Fraction. MathWorld.
Fraction. Encyclopedia Britannica. [2015-06-03]. （原始內容存檔於2015-04-26）.
Fraction (mathematics). Citizendium. [2015-06-03]. （原始內容存檔於2020-11-07）.
Fraction. PlanetMath. [2015-06-03]. （原始內容存檔於2011-10-11）.
Online program for exact conversion between fractions and decimals
Online Fractions Calculator with detailed solution
Fraction Practice （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） endless numbers of Fraction problems with various levels of difficulties.

[:0-1] 1.0 ^1.1 Mixed Fractions. www.mathsisfun.com. [2019-07-10]. （原始內容存檔於2020-11-27）.

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用法

分類