同胚
在拓撲學中,同胚(英語:Homeomorphism)是兩個拓撲空間之間的雙連續函數。同胚是拓撲空間範疇中的同構;也就是說,它們是保持給定空間的所有拓撲性質的映射。如果兩個空間之間存在同胚,那麼這兩個空間就稱為同胚的,從拓撲學的觀點來看,兩個空間是相同的。
拓撲空間是一個幾何物體,同胚就是把物體連續延展和彎曲,使其成為一個新的物體。因此,正方形和圓是同胚的,但球面和環面就不是。有一個笑話是說,拓撲學家不能區分咖啡杯和甜甜圈,這是因為一個足夠柔軟的甜甜圈可以捏成咖啡杯的形狀(見圖)。
定義
編輯如果兩個拓撲空間{X,TX}和{Y,TY}之間的函數f : X → Y具有下列性質:
則稱{X,TX}和{Y,TY}同胚,它滿足以上三個性質的函數有時稱為雙連續。自同胚就是從一個拓撲空間到它本身的同胚。同胚形成了所有拓撲空間的類上的等價關係。所得到的等價類稱為同胚類。
例子
編輯- 設 為一個有單位的交換環,並設 為 的乘法子集。那麼Spec 與 同胚。
- 當 時, 不與 同胚。
- 一個連續和雙射但不是同胚的函數的例子,是把半開區間 纏繞到圓上的映射。在這個情況中,逆映射雖然存在,但不是連續的。
性質
編輯- 兩個同胚的空間具有相同的拓撲性質。例如,如果其中一個是緊空間,那麼另外一個也是緊空間;如果其中一個是連通空間,那麼另外一個也是連通空間,等等。然而,這不能推廣到通過度量所定義的性質;如果兩個度量空間是同胚的,那麼仍然有可能其中一個是完備的,而另外一個不是。
- 每一個 的自同胚都可以延伸到整個圓盤 的自同胚。