拓撲學中,閉開集(英語:Clopen set)是拓撲空間中既是開集又是閉集的集合。雖然既「開」又「閉」的定義有些反直覺,但數學上開集與閉集的定義並不互斥

如同拓撲學家詹姆士·雷蒙·芒克勒斯在他的書中所描述的,集合不同的是,「集合可以是打開的(open),也可以是闔上的(closed),或者既打開又闔上,又或是既不打開又不闔上!」[1]強調現實中門的開閉與集合的開閉定義無關。


例子

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  • 對任何拓撲空間 空集和整個空間 都是閉開集,有時稱它們為平凡閉開集。
  • 存在非平凡閉開集。例如,離散空間的任意子集都是閉開集。
  • 考慮由兩個區間  的併集構成的空間 。在 上的拓撲是從實直線 上的正常拓撲繼承來的子空間拓撲。在 中,集合  都是閉開集。這是非常典型的例子:只要空間是由有限數目個不相交連通單元以這種方式構成的,這些單元就是閉開集。
  • 不太常見的例子,考慮所有有理數的空間 帶有它們的正常拓撲,和平方大於2的所有正有理數的集合 。利用 不在 中的事實,可以非常容易的證明  的閉開子集。(還要注意 不是實直線 的閉開子集;它在 中既不是開集也不是閉集。)

性質

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  • 拓撲空間 連通當且僅當 中僅有的閉開集是空集和 本身。
  • 集合是閉開集,當且僅當它的邊界是空的。
  • 任何閉開集是(可以無限多)連通單元併集,它的逆命題不成立,因為連通單元一般不是開集。
  • 如果 的所有連通單元是開集(例如,如果 只有有限多個單元,或者 局部連通的),則集合是 中的閉開集,當且僅當它可以表示為連通單元的併集。
  • 拓撲空間 離散的,當且僅當所有它的子集都是閉開集。
  • 使用併集交集作為運算,給定拓撲空間 的閉開子集形成一個布爾代數。「所有」布爾代數都可以按這種方式從適合的拓撲空間獲得:參見Stone布爾代數表示定理

參見

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註解

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  1. ^ James R. Munkres. Topology (second edition). United States of America: Pearson. 2017-03-10: 93. ISBN 9780134689517 (英語). 

參考文獻

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  • James R. Munkres