內側菱形三十面體

幾何學中,內側菱形三十面體,又稱小星形三十面體[1][2]是一種菱形三十面體的星形多面體[3],由30個全等且互相相交的菱形組成。其對偶多面體為截半大十二面體

內側菱形三十面體
內側菱形三十面體
內側菱形三十面體
類別均勻多面體對偶
星形多面體
三十面體
星形菱形三十面體
對偶多面體截半大十二面體在維基數據編輯
識別
名稱內側菱形三十面體
參考索引DU36
性質
30
60
頂點24
歐拉特徵數F=30, E=60, V=24 (χ=-6)
組成與佈局
面的種類30個菱形
對稱性
對稱群Ih, [5,3], *532
特性
等面、非凸
圖像

截半大十二面體
對偶多面體

性質

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內側菱形三十面體由30個、60條和24個頂點組成,其30個面皆由菱形組成。內側菱形三十面體有兩種頂角,一種由菱形的銳角組成,頂點圖為五邊形;另一種由菱形的鈍角組成,頂點圖為五角星,其中,頂點圖為五角星的頂點藏在圖形內部[4]

頂點座標

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對偶邊長為1的內側菱形三十面體的頂點座標為[5]

 
 
 
 
 
 

二面角

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大六角二十四面體僅有一種二面角,為兩個菱形的棱之交角,其值為負二分之一的反餘弦值[6]

 

作為星形多面體

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內側菱形三十面體可以看作是一種菱形三十面體的星形多面體,即星形菱形三十面體[2][7]:41

星狀圖英語Stellation diagram 星形 星狀核 凸包
     
菱形三十面體
 
正二十面體

拓樸正多面體

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內側菱形三十面體在拓樸中相當於五階正方形鑲嵌的商空間,其可以將作為內側菱形三十面體中的菱形面進行拓樸變形成正方形而構造出五階正方形鑲嵌,因此在另外一個索引中也被看作是一種正多面體[8]

 

五階四邊形三十面體
類別抽象正多面體英語Abstract_polytope
對偶多面體四階五邊形二十四面體
數學表示法
施萊夫利符號{4,5}6
性質
30
60
頂點24
歐拉特徵數F=30, E=60, V=24 (χ=-6)
虧格4
組成與佈局
面的種類四邊形
對稱性
對稱群S5, 120元素

內側菱形三十面體在拓樸學上由30個四邊形組成,且每個頂點都是5個四邊形的公共頂點,因此在拓樸學上滿足抽象正多面體的定義。[8][9][10]然而這種抽象面體若是具象化為內側菱形三十面體則僅能具象化一辦的對稱性。這種抽象正多面體可以對應到虧格為4的五階四邊形正則地區圖(施萊夫利符號:{4,5}6[11],對應的皮特里多邊形為六邊形[11]

其他四種抽象正多面體為:

多面體  
內側菱形三十面體
 
截半大十二面體
 
內側三角六邊形二十面體
 
雙三斜十二面體
 
凹五角錐十二面體
種類 {4,5}6 {5,4}6 {6,5}4 {5,6}4 {6,6}6
頂點圖 {5}, {5/2}
  
(5.5/2)2
 
{5}, {5/2}
  
(5.5/3)3
 
 
30個菱形
 
12個五邊形
12個五角星
  
20個六邊形
 
12個五邊形
12個五角星
  
20個六邊形
 
鑲嵌  
{4, 5}
 
{5, 4}
 
{6, 5}
 
{5, 6}
 
{6, 6}
χ −6 −6 −16 −16 −20

參考文獻

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  1. Wenninger, Magnus. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9. 
  2. Wenninger, Magnus. Dual Models. Cambridge University Press. 1983. ISBN 0-521-54325-8. 
  3. Coxeter, Harold Scott MacDonald; Du Val, P.; Flather, H. T.; Petrie, J. F. The fifty-nine icosahedra 3rd. Tarquin. 1999. ISBN 978-1-899618-32-3. MR676126.  (1st Edn University of Toronto (1938))
  1. ^ Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, 1973. ISBN 978-0486614809 p. 102-103
  2. ^ 2.0 2.1 Weisstein, Eric W. (編). Medial Rhombic Triacontahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語). 原始頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)內容於2016-09-01).
  3. ^ Medial Rhombic Triacontahedron. software3d.com. [2016-09-01]. (原始內容存檔於2016-03-04). 
  4. ^ Wenninger, M. J. Dual Models. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 41 and 46, 1983. ISBN 978-0521245241
  5. ^ Data of Medial Rhombic Triacontahedron. dmccooey.com. [2016-09-01]. (原始內容存檔於2016-09-01). 
  6. ^ Versi-Regular Polyhedra: Medial Rhombic Triacontahedron. dmccooey.com. [2016-09-01]. (原始內容存檔於2016-03-24). 
  7. ^ Wenninger, Magnus, Dual Models, Cambridge University Press, 1983, ISBN 0-521-54325-8, MR 0730208 
  8. ^ 8.0 8.1 David A. Richter. The Regular Polyhedra (of index two). 西密歇根大學. [2013-05-05]. (原始內容存檔於2016-03-04). 
  9. ^ Regular Polyhedra of Index Two, I頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) Anthony M. Cutler, Egon Schulte, 2010
  10. ^ Regular Polyhedra of Index Two, II頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)  Beitrage zur Algebra und Geometrie 52(2):357–387 · November 2010, Table 3, p.27
  11. ^ 11.0 11.1 S4:{4,5}. Regular Map database - map details, weddslist.com. [2021-10-16]. 

外部連結

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