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正三角形鑲嵌

在幾何學中，正三角形鑲嵌、又稱為正三角方格[3]是一種正多邊形在平面上的密鋪，又稱正鑲嵌圖。

正三角形鑲嵌
正三角形鑲嵌
類別正鑲嵌
對偶多面體正六邊形鑲嵌在維基數據編輯
識別
鮑爾斯縮寫
（verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）		trat在維基數據編輯
數學表示法
考克斯特符號
（英語：Coxeter-Dynkin diagram）		node 6 node 3 node_1 
node 6 node_h 3 node_h 
node_1 split1 branch  = node_h 6 node 3 node 
node_h split1 branch_hh 
施萊夫利符號{3,6}
{3[3]}
威佐夫符號
（英語：Wythoff symbol）		6 | 3 2
3 | 3 3
| 3 3 3
康威表示法dH
特殊面或截面
梵奧斯截面
（英語：Van_Oss_polygon）		無限邊形[2]
組成與佈局
頂點圖3.3.3.3.3.3（或36）
頂點佈局
（英語：Vertex_configuration）		36
對稱性
對稱群p6m, [6,3], (*632)
p3m1, [3[3]], (*333)
p3, [3[3]]+, (333)
旋轉對稱群
（英語：Rotation_groups）		p6, [6,3]+, (632)
p3, [3[3]]+, (333)
圖像

3.3.3.3.3.3（或36）
（頂點圖）

正六邊形鑲嵌
（對偶多面體）

命名

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康威稱正三角形鑲嵌為deltille。deltille一詞來自於外形為三角形的希臘字母 Delta （Δ），有時也稱作六角化正六邊形鑲嵌。

性質

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由於正三角形鑲嵌是由正三角形組成，又因正三角形內角為60度，因此每個頂點周圍都有6個三角形，且剛好佔滿360度。

正三角形鑲嵌在施萊夫利符號中，用{3,6}表示。

正三角形鑲嵌是三個的平面正鑲嵌圖之一。另外兩個是正方形鑲嵌和正六邊形鑲嵌。

一般將畫在紙上的正三角方格稱作正三角格紙[3]，正三角格紙是用來畫三維立體圖或三維透視圖用的。使用正三角格紙作圖會比較容易做出三維立體圖或三維透視圖，而且圖形看起來比較接近三維[3]。

上色的正三角形鑲嵌

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正三角形鑲嵌有九種不同的上色方式，他們依頂點周為顏色數來命名： 111111, 111112, 111212, 111213, 111222, 112122, 121212, 121213, 121314。

上色
索引 		111111 121212 121314 121213
圖示
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
3
1
4
1
2
1
2
1
3
1
2
上色        
對稱群 *632
(p6m)
[6,3] 		*333
(p3m1)
[3[3]] = [1+,6,3] 		333
(p3)
[3[3]]+ 		3*3
(p31m)
[6,3+]
Wythoff符號（英語：Wythoff symbol） 6 | 3 2 3 | 3 3 | 3 3 3
考克斯特符號（英語：Coxeter-Dynkin Diagram）           =                

A2晶格和圓堆砌

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正三角形鑲嵌的頂點排布被稱作A2晶格[4]。正三角形鑲嵌是單體堆砌（英語：Simplectic honeycomb）家族的二維成員。

A2*晶格（又稱A23），可由所有3種A2晶格組合得來，就等價於A2晶格。

    +     +     =     的對偶 =    

以正三角形鑲嵌的頂點為圓心，我們可以得到二維的最密圓堆砌（英語：Circle Packing），每個圓都與6個相鄰圓接觸（接觸數（英語：kissing number）），堆砌密度為 或90.69%。由於3個A2晶格組合還是A2晶格，這種圓堆砌種的圓可被塗成三種顏色。

A2晶格的沃羅諾伊圖是正六邊形鑲嵌，它也是正三角形鑲嵌的對偶。因此，正六邊形鑲嵌也與最密圓堆砌有直接的對應關係。

A2晶格圓堆砌 A*
2晶格圓堆砌
   
正六邊形鑲嵌
   

相關半正鑲嵌

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正三角形鑲嵌家族的半正鑲嵌
對稱性: [6,3], (*632) [6,3]+, (632) [1+,6,3], (*333) [6,3+], (3*3)
                                                           
                   
{6,3} t0,1{6,3} t1{6,3} t1,2{6,3} t2{6,3} t0,2{6,3} t0,1,2{6,3} s{6,3} h{6,3} h1,2{6,3}
半正對偶
                                                           
                 
V6.6.6 V3.12.12 V3.6.3.6 V6.6.6 V3.3.3.3.3.3 V3.4.12.4 V.4.6.12 V3.3.3.3.6 V3.3.3.3.3.3

從六邊形鑲嵌可利用「交錯」操作將六邊形鑲嵌變成三角形鑲嵌。

交錯2n邊形鑲嵌系列：
球面鑲嵌 多面體 歐式鑲嵌 緊湊雙曲鑲嵌 仿緊空間 非緊空間
n 1 2 3 4 5 6 ∞
2n邊形鑲嵌 {2,3} {4,3} {6,3} {8,3} {10,3} {12,3} {∞,3} {iπ/λ,3}
交錯2n邊形鑲嵌  
h{2,3}
      		 
h{4,3}
      		 
h{6,3}
      		 
h{8,3}
      		 
h{10,3}
      		 
h{12,3}
      		...  
h{∞,3}
      		 
h{iπ/λ,3}
     

相關

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維基共享資源上的相關多媒體資源：正三角形鑲嵌

參考文獻

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  1. ^ Coxeter, H.S.M., Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-39490-2 
  2. ^ Coxeter, Complex Regular polytopes,[1] p.141
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 《圖解數學辭典》天下遠見出版 P.50 ISBN 986-417-614-5
  4. ^ 存档副本. [2014-01-26]. （原始內容存檔於2021-02-25）. 

閱讀

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