展示在不同的p -範數下的單位圓 。 泛函分析中，常常會在某類函數的集合上架設拓撲結構 乃至更複雜的結構，以便使用拓撲乃至分析學的知識來討論這些集合的屬性。最常見的附加結構是賦範向量空間 。將函數集合作為裝備了範數 向量空間 來看待，有助於理解函數類的關係和性質。範數是歐幾里德空間 中長度概念的推廣。在平面幾何或立體幾何中，長度以及距離是最基本的概念之一。物件的形狀、位置、大小等性質或關係都是建立在長度和距離的定義上。最直觀的長度概念是由平直物理空間中抽象而來，滿足畢氏定理 。例如說在平面上，原點到點
P
=
(
x
,
y
)
{\displaystyle P=(x,y)}
x
2
+
y
2
{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
P
=
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle P=(x,y,z)}
x
2
+
y
2
+
z
2
{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}
l
{\displaystyle l}
只有零向量的長度是零：
l
(
v
)
=
0
⟺
v
=
0
,
{\displaystyle l(v)=0\iff v=0,}
數乘線性：
∀
λ
∈
R
,
l
(
λ
v
)
=
|
λ
|
l
(
v
)
,
{\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb {R} ,\;\;l(\lambda v)=\left\vert \lambda \right\vert l(v),}
滿足三角不等式：
l
(
u
)
+
l
(
v
)
⩾
l
(
u
+
v
)
.
{\displaystyle l(u)+l(v)\geqslant l(u+v).}
比如說在更一般的n
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
v
=
(
x
1
,
x
2
,
⋯
x
n
)
{\displaystyle v=(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})}
l
(
v
)
=
(
x
1
2
+
x
2
2
+
⋯
+
x
n
2
)
1
2
{\displaystyle l(v)=(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})^{\frac {1}{2}}}
這個函數也滿足以上的基本性質。更一般地，在向量空間
V
{\displaystyle V}
N
:
V
→
R
+
{\displaystyle {\mathcal {N}}:\;V\rightarrow \mathbb {R} _{+}}
V
{\displaystyle V}
範數
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
p
N
p
(
x
)
=
‖
x
‖
p
=
(
|
x
1
|
p
+
|
x
2
|
p
+
⋯
+
|
x
n
|
p
)
1
p
{\displaystyle \ {\mathcal {N}}_{p}(x)=\|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}
這個範數稱為
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
p -p p 曼哈頓距離 。當p p -均勻範數 （也記作L ∞ -
N
∞
(
x
)
=
‖
x
‖
∞
=
max
(
|
x
1
|
,
|
x
2
|
⋯
,
|
x
n
|
)
.
{\displaystyle \ {\mathcal {N}}_{\infty }(x)=\|x\|_{\infty }=\max(|x_{1}|,|x_{2}|\cdots ,|x_{n}|).}
對不同的p 單位圓 （從原點出發，「長度」等於1的點的集合）形狀。
有限維空間中的p -
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
p -
ℓ
p
{\displaystyle \ell ^{p}}
ℓ
1
{\displaystyle \ell ^{1}}
絕對收斂 級數 列構成的空間；
ℓ
2
{\displaystyle \ell ^{2}}
級數 列構成的空間；
ℓ
∞
{\displaystyle \ell ^{\infty }}
有界 數列構成的空間。事實上，序列集合上可以自然地按照序列的加法和數乘定義出向量空間。而
ℓ
p
{\displaystyle \ell ^{p}}
p -
‖
(
x
n
)
n
∈
N
‖
p
=
(
|
x
1
|
p
+
|
x
2
|
p
+
⋯
+
|
x
n
|
p
+
|
x
n
+
1
|
p
+
⋯
)
1
p
=
(
∑
n
∈
N
|
x
n
|
p
)
1
p
.
{\displaystyle \|(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}+|x_{n+1}|^{p}+\dotsb \right)^{\frac {1}{p}}=\left(\sum _{n\in \mathbb {N} }|x_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}.}
然而，上式中右側的級數不總是收斂的（有可能其級數和是無窮大）。所以
ℓ
p
{\displaystyle \ell ^{p}}
可以證明，隨着p
ℓ
p
{\displaystyle \ell ^{p}}
p < q
ℓ
p
{\displaystyle \ell ^{p}}
ℓ
q
{\displaystyle \ell ^{q}}
a
=
(
1
n
)
n
∈
N
∗
=
(
1
,
1
2
,
1
3
,
⋯
,
1
n
,
⋯
)
{\displaystyle a=({\frac {1}{n}})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}=\left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\cdots ,{\frac {1}{n}},\cdots \right)}
不屬
ℓ
1
{\displaystyle \ell ^{1}}
1
+
1
2
+
1
3
+
⋯
+
1
n
+
⋯
{\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}+\cdots }
1
+
1
2
2
+
1
3
2
+
⋯
+
1
n
2
+
⋯
{\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}+\cdots }
的和是有限的，所以數列
a
{\displaystyle a}
ℓ
2
{\displaystyle \ell ^{2}}
當空間維度是無窮而且不可數的時候（沒有一個可數的基底），無法運用有限維或可數維度空間的辦法來定義範數，但對於可積函數空間，仍然能夠定義類似的概念。具體來說，給定測度空間 (S , Σ , μ )以及大於等於1的實數p S 域
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
K
=
C
{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
可測函數 。考慮所有絕對值的p S
L
p
(
S
,
μ
)
=
{
f
;
‖
f
‖
p
=
(
∫
S
|
f
|
p
d
μ
)
1
p
<
∞
}
{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )=\left\{f;\;\|f\|_{p}=\left({\int _{S}|f|^{p}\;\mathrm {d} \mu }\right)^{\frac {1}{p}}<\infty \right\}}
集合中的函數可以進行加法和數乘：
(
f
+
g
)
(
x
)
=
f
(
x
)
+
g
(
x
)
,
(
λ
f
)
(
x
)
=
λ
f
(
x
)
,
λ
∈
K
{\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda f(x),\;\;\lambda \in \mathbb {K} }
從閔可夫斯基不等式 可知，兩個p p
‖
λ
f
‖
p
=
|
λ
|
‖
f
‖
p
{\displaystyle \|\lambda f\|_{p}=|\lambda |\|f\|_{p}}
閔可夫斯基不等式 的積分形式說明三角不等式對
‖
⋅
‖
p
{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}
‖
⋅
‖
p
{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}
半範數 ，令
L
p
(
S
,
μ
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )}
‖
f
‖
p
=
0
{\displaystyle \|f\|_{p}=0}
f
{\displaystyle f}
L
p
(
S
,
μ
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )}
‖
f
‖
p
=
0
{\displaystyle \|f\|_{p}=0}
f
{\displaystyle f}
N
=
{
f
;
‖
f
‖
p
=
0
}
.
{\displaystyle N=\left\{f;\;\|f\|_{p}=0\right\}.}
集合
N
{\displaystyle N}
映射
f
↦
‖
f
‖
p
{\displaystyle f\mapsto \|f\|_{p}}
零空間 。對可測函數
f
{\displaystyle f}
‖
f
‖
p
=
0
⟺
μ
(
f
≠
0
)
=
0
⟺
f
{\displaystyle \|f\|_{p}=0\iff \mu (f\neq 0)=0\iff f}
μ 意義下）。所以
N
≡
k
e
r
(
‖
⋅
‖
p
)
=
{
f
:
f
μ
−
{\displaystyle N\equiv \mathrm {ker} (\|\cdot \|_{p})=\{f:f\;\;\mu -}
}
.
{\displaystyle \}.}
而
N
{\displaystyle N}
L
p
(
S
,
μ
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )}
L
p
(
S
,
μ
)
{\displaystyle L^{p}(S,\mu )}
L
p
(
S
,
μ
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )}
N
{\displaystyle N}
商空間 。
L
p
(
S
,
μ
)
{\displaystyle L^{p}(S,\mu )}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
N
{\displaystyle N}
L
p
(
S
,
μ
)
{\displaystyle L^{p}(S,\mu )}
S 測度 μ 的L p 空間。
‖
⋅
‖
p
{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}
L
p
(
S
,
μ
)
{\displaystyle L^{p}(S,\mu )}
p
需要注意的是，L p 空間中的元素嚴格來說並不是具體的函數，而是一族函數構成的等價類。而當需要將L p 空間元素當作函數來計算的時候，參與計算的實際是從這一族函數中抽取的一個代表函數。
與序列空間一樣，在函數空間上也可以定義均勻範數。定義的方法和範數一樣，首先定義：
‖
f
‖
∞
≡
inf
{
C
≥
0
:
|
f
(
x
)
|
μ
−
{\displaystyle \|f\|_{\infty }\equiv \inf\{C\geq 0:|f(x)|\;\;\mu -}
C
}
.
{\displaystyle C\}.}
L
∞
(
S
,
μ
)
=
{
f
;
‖
f
‖
∞
<
∞
}
{\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty }(S,\mu )=\left\{f;\;\|f\|_{\infty }<\infty \right\}}
‖
⋅
‖
∞
{\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}
N
≡
k
e
r
(
‖
⋅
‖
∞
)
=
{
f
:
f
μ
−
{\displaystyle N\equiv \mathrm {ker} (\|\cdot \|_{\infty })=\{f:f\mu -}
}
.
{\displaystyle \}.}
L
∞
(
S
,
μ
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty }(S,\mu )}
N
{\displaystyle N}
商空間 是一個賦範向量空間，記作
L
∞
(
S
,
μ
)
{\displaystyle L^{\infty }(S,\mu )}
均勻範數與p
‖
f
‖
∞
=
lim
p
→
∞
‖
f
‖
p
{\displaystyle \|f\|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\|f\|_{p}}
可以證明，L p 空間是完備的空間 ，也即是說是一個巴拿赫空間 （完備賦範向量空間）。L p 空間的完備性通常被稱為里茲－費舍爾定理 。具體的證明可以藉助測度上的勒貝格積分 的相關收斂定理來完成。
L p 空間都是巴拿赫空間，但只有當p = 2的時候，L 2 空間是希爾伯特空間 。也就是說，可以為L 2 空間中的元素定義內積 。具體形式是：
⟨
f
,
g
⟩
=
∫
S
f
(
x
)
g
(
x
)
¯
d
μ
(
x
)
.
{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{S}f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} \mu (x).}
其中的
g
(
x
)
¯
{\displaystyle {\overline {g(x)}}}
共軛 。這個內積是從2-範數自然誘導的內積。L 2 空間在傅立葉級數 和量子力學 以及其他領域有着重要的運用。
ℓ
p
{\displaystyle \ell ^{p}}
L p 空間的特例。只要取L p 空間中的
S
=
N
{\displaystyle S=\mathbb {N} }
n
{\displaystyle \mathbb {n} }
計數測度 ，則對應的
L
p
(
S
,
μ
)
{\displaystyle L^{p}(S,\mu )}
ℓ
p
{\displaystyle \ell ^{p}}
一個拓撲向量空間的對偶空間 是指由這個向量空間上的所有的連續線性泛函 構成的泛函空間 。對某個大於1的實數p q
1
p
+
1
q
=
1
{\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}
Lp (S , μ )Lp (S , μ )* Lq (S , μ )同構 。這個關係可以通過一個自然的同構映射展現：
κ
p
:
L
q
(
S
,
μ
)
⟶
L
p
(
S
,
μ
)
∗
{\displaystyle \kappa _{p}:\;\;L^{q}(S,\mu )\longrightarrow L^{p}(S,\mu )^{*}}
f
⟼
κ
p
(
f
)
:=
(
g
∈
L
p
(
S
,
μ
)
↦
∫
S
f
g
d
μ
)
.
{\displaystyle f\qquad \longmapsto \kappa _{p}(f):=\left(g\in L^{p}(S,\mu )\;\mapsto \;\int _{S}fg\;d\mu \right).}
赫爾德不等式 保證了其中的泛函
κ
p
(
f
)
{\displaystyle \kappa _{p}(f)}
κ
p
{\displaystyle \kappa _{p}}
κ
p
(
f
)
{\displaystyle \kappa _{p}(f)}
f
{\displaystyle f}
κ
p
{\displaystyle \kappa _{p}}
等距映射 。此外還可以證明，對偶空間Lp (S , μ )* G
κ
p
(
g
)
{\displaystyle \kappa _{p}(g)}
κ
p
{\displaystyle \kappa _{p}}
滿射 。結合以上性質可以推出，
κ
p
{\displaystyle \kappa _{p}}
Lp (S , μ )Lq (S , μ )
以上性質說明，當大於1的時候，Lp (S , μ )自反空間 ：Lp (S , μ )
κ
p
{\displaystyle \kappa _{p}}
j
p
:
L
p
(
S
,
μ
)
→
κ
q
L
q
(
S
,
μ
)
∗
⟶
(
κ
p
−
1
)
∗
L
p
(
S
,
μ
)
∗
∗
{\displaystyle j_{p}\colon L^{p}(S,\mu ){\overset {\kappa _{q}}{\to }}L^{q}(S,\mu )^{*}{\overset {\,\,\left(\kappa _{p}^{-1}\right)^{*}}{\longrightarrow }}L^{p}(S,\mu )^{**}}
κ
q
{\displaystyle \kappa _{q}}
(
κ
p
−
1
)
∗
{\displaystyle \left(\kappa _{p}^{-1}\right)^{*}}
複合映射 jp Lp (S , μ )
∀
f
∈
L
p
(
S
,
μ
)
,
G
∈
L
p
(
S
,
μ
)
∗
,
∃
g
∈
L
q
(
S
,
μ
)
{\displaystyle \forall f\in L^{p}(S,\mu ),\;\;G\in L^{p}(S,\mu )^{*},\;\;\exists g\in L^{q}(S,\mu )}
G
=
κ
p
(
g
)
.
{\displaystyle G=\kappa _{p}(g).}
從而
[
j
p
(
f
)
]
(
G
)
=
[
(
(
κ
p
−
1
)
∗
∘
κ
q
)
(
f
)
]
(
G
)
=
[
(
κ
p
−
1
)
∗
(
κ
q
(
f
)
)
]
(
G
)
=
[
κ
q
(
f
)
]
(
κ
p
−
1
(
G
)
)
=
[
κ
q
(
f
)
]
(
g
)
=
∫
S
f
g
d
μ
=
G
(
f
)
.
{\displaystyle \;\;\left[j_{p}(f)\right](G)=\left[\left(\left(\kappa _{p}^{-1}\right)^{*}\circ \kappa _{q}\right)(f)\right](G)=\left[\left(\kappa _{p}^{-1}\right)^{*}\left(\kappa _{q}(f)\right)\right](G)=\left[\kappa _{q}(f)\right]\left(\kappa _{p}^{-1}(G)\right)=\left[\kappa _{q}(f)\right](g)=\int _{S}fg\;d\mu =G(f).}
作為兩個等距同構的複合映射，jp Lp (S , μ )Lp (S , μ )**
如果測度μ σ-有限測度 ，那麼L1 (S , μ )* L∞ (S , μ )
κ
1
:
f
∈
L
∞
(
S
,
μ
)
⟼
(
g
∈
L
1
(
S
,
μ
)
↦
∫
S
f
g
d
μ
)
{\displaystyle \kappa _{1}:\;\;f\in L^{\infty }(S,\mu )\longmapsto \left(g\in L^{1}(S,\mu )\;\mapsto \;\int _{S}fg\;d\mu \right)}
是L∞ (S , μ )L1 (S , μ )*
L∞ (S , μ )L∞ (S , μ )* μ 絕對連續 的有界帶號有限可加測度的集合。如果承認選擇公理 ，那麼一般來說，L∞ (S , μ )* L1 (S , μ )μ L∞ (S , μ )* L1 (S , μ )
給定兩個實數：1 ≤ p < q ≤ ∞，當比較Lp (S , μ )Lq (S , μ )
L
1
(
R
)
{\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}
L
∞
(
R
)
{\displaystyle L^{\infty }(\mathbb {R} )}
假設全集S μ p < q ≤ ∞。那麼由赫爾德不等式 有如下限制：
‖
f
‖
p
≤
μ
(
S
)
(
1
/
p
)
−
(
1
/
q
)
‖
f
‖
q
{\displaystyle \|f\|_{p}\leq \mu (S)^{(1/p)-(1/q)}\|f\|_{q}}
這說明空間Lq (S , μ )Lp (S , μ )Lq (S , μ )Lp (S , μ )恆等映射
I
p
,
q
{\displaystyle I_{p,q}}
I
p
,
q
{\displaystyle I_{p,q}}
算子範數 就是由以上不等式取等號的情形確定的：
‖
I
p
,
q
‖
=
μ
(
S
)
(
1
/
p
)
−
(
1
/
q
)
.
{\displaystyle \|I_{p,q}\|=\mu (S)^{(1/p)-(1/q)}.}
研究某個複雜的無窮維賦範空間的時候，常常會使用一個由空間中比較「簡單」的元素構成的稠密 子集來逼近空間中的一個元素。假設1 ≤ p < ∞，則空間Lp (S , μ )測度空間 (S , Σ , μ ) 上的簡單可積函數 逼近。給定測度空間(S , Σ , μ )，其上的一個簡單可積函數指的是形同：
f
=
∑
j
=
1
n
a
j
1
A
j
{\displaystyle f=\sum _{j=1}^{n}a_{j}\mathbf {1} _{A_{j}}}
的函數。其中的aj Aj ∈ Σ 是測度有限的可測集合。由勒貝格積分 的構造方法可知，簡單可積函數的集合在Lp (S , μ )
如果S μ S 博雷爾測度 ，那麼可以通過烏雷松引理 證明，所有S 指示函數 都可以通過連續函數逼近。所以所有的簡單可積函數可以用連續函數逼近。因而可以證明，Lp (S , μ )Lp (S , μ )[ 1] :84 。對於更具體的空間，可以證明更加強的結果。比如說當S n 維歐幾里德空間，而μ S 博雷爾測度 的時候，可以證明，所有緊支撐 的光滑函數 的集合在Lp (S , μ )
^ Piotr Hajłasz, Pekka Koskela. Sobolev Met Poincaré. American Mathematical Society: Memoirs of the American Mathematical Society. 2000, (688).
=\left[\left(\left(\kappa _{p}^{-1}\right)^{*}\circ \kappa _{q}\right)(f)\right](G)=\left[\left(\kappa _{p}^{-1}\right)^{*}\left(\kappa _{q}(f)\right)\right](G)=\left[\kappa _{q}(f)\right]\left(\kappa _{p}^{-1}(G)\right)=\left[\kappa _{q}(f)\right](g)=\int _{S}fg\;d\mu =G(f).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57db24574d63a7cafa390bca3d4b3db43be41f19)
