最小相位
最小相位(minimum-phase)是控制理論及信號處理中有特殊性質的系統,對於線性時不變系統,若本身為因果系統且穩定,且其逆系統也是穩定的因果系統,此系統即為最小相位系統[1][2]。
相反的,非最小相位(non-minimum phase)系統可以用最小相位系統串接全通濾波器,使部份的零點移到右半面。若有零點在右半面,表示其逆系統不穩定。全通濾波器加入了「額外的相位」(有些可能是傳送遲延),這也是為何所得系統稱為非最小相位的原因。
例如一個離散系統,其有理傳遞函數若其所有的極點都在單位圓內,此系統為符合因果性的穩定系統。不過此系統的零點可以在單位圓內或是圓外的任意位置。若離散系統的零點也都在單位圓內,則這個系統也是最小相位的系統。以下會說明為何這様的系統會稱為最小相位系統。
逆系統
編輯一系統 可逆的條件是可以由其輸出找到唯一對應的輸入,也就是可以找到系統 使得若將 及 二個系統連接,可以得到單位系統 (可以參反矩陣)。
假設 為系統 的輸入,其輸出為
將 作為逆系統的輸入,可得:
因此可以用逆系統 ,找到輸出 對應的唯一輸入 。
離散時間的例子
編輯假設系統 是離散時間的線性非時變系統(LTI),可以用衝激響應 (n為整數)表示。而且,假設系統 的 衝激響應為 。二個線性非時變系統的級聯為卷積。上述的關係可以以下式表示:
最小相位系統
編輯若系統再加上因果性且穩定性的條件時,其逆系統就是唯一的,而且系統 和逆系統 都是最小相位系統。離散系統下因果性及穩定性的條件如下(針對非時變系統,其中的h為系統的沖激響應):
因果性
編輯及
穩定性
編輯及
在有界輸入有界輸出穩定性條目會看到對應連續系統的條件。
頻域分析
編輯離散時間系統的頻域分析
編輯將最小相位應用在離散時間系統中可以看出一些其中的特性,其時域方程式如下。
進行Z轉換後可以得到以下的關係。
由於上述關係,可得
為了簡單起見,只考慮有理傳遞函數 H (z)。因果性及穩定性表示所有的H (z)極點都需要嚴格的在單位圓內(參照有界輸入有界輸出穩定性)。假設
其中A (z)及D (z)是z的多項式。因果性及穩定性會使得D (z)的零點(根)需要嚴格的在單位圓內(不能在邊界上)。而
因此 的因果性及穩定性也會使得為A (z)的零點需要嚴格的在單位圓內,上述二個條件下,最小相位系統的零點及極點都需要在嚴格的在單位圓內。
連續時間系統的頻域分析
編輯連續時間系統的分析和離散系統類似,不過會使用拉普拉斯變換,其時域的方程式如下。
其中 為狄拉克δ函數。狄拉克δ函數是連續時間下的恆等算子,因為其和任意信號x (t)都會有篩選性質。
也可以得到下式
為簡化起見,此處也只考慮有理傳遞函數H(s)。因果性及穩定性表示H (s)的所有極點都要嚴格的在左半S平面(參考有界輸入有界輸出穩定性)。假設
其中A (s)及D (s)是s的多項式。 的因果性及穩定性表示D (s)的所有零點都在左半S平面內,而
的因果性及穩定性表示A (s)的所有零點都在左半S平面內,因此最小相位系統的最有極點及零點都需要嚴格的在左半S平面內。
增益響應及相位響應的關係
編輯不論是連續時間或是離散時間的最小相位系統,都有一個常會用到的性質:增益頻率響應的自然對數(增益的對數單位為奈培,和分貝成正比),和頻率響應的相角(單位為弧度)有關,兩者的關係是希爾伯特轉換。在連續時間系統下,令
是系統H(s)的複數頻率響應。在最小相位系統下,系統H(s)的相位響應和增益響應的關係為
以及
- .
若用較精簡的方式表示,令
其中 和 都是實數下的實函數,則
及
- .
希爾伯特轉換算子定義為
- .
在離散時間系統中也有等效的對應關係。
時域下的最小相位
編輯針對所有有相同增益響應的因果穩定系統,最小相位系統的能量最集中在衝激響應的開始處,也就是說最小相位系統最小化了以下的函數(可以視為是衝激響應能量的延遲)。
最小相位及最小群延遲
編輯在所有增益響應相同的因果穩定系統中,最小相位系統的群延遲最小。以下證明可以說明為何該系統有最小的群延遲。
假設考慮傳遞函數 中的一個零點 ,先讓零點 在單位圓內( ),看對群延遲的影響。
因為零點 在傳遞函數中貢獻了 的因子,因此其對相位的貢獻如下:
所貢獻的相延遲如下。
若將零點 移到單位圓外的對應點,也就是 ,上式的分母和 都不會變化,而分子的 大小增加,因此讓 在單位圓內可以讓群延遲中 的貢獻最小化。可以將上述結果延伸到超過一個零點的情形,因為 的相位是各項次相位相加的結果,因此,對於有 個零點的傳遞函數,
一個所有零點都在單位圓內的最小相位系統可以讓群延遲降到最小,因為每個零點對群延遲的貢獻都降到最小。
非最小相位系統
編輯若系統本身是因果穩定系統,其逆系統具有因果性,但不穩定,原系統即為非最小相位系統(non-minimum-phase)。非最小相位系統和最小相位系統有相同的增益響應,但非最小相位系統的相位貢獻會比最小相位系統要大。
最大相位系統
編輯最大相位系統(maximum-phase)是和最小相位系統有相反特性的系統,最大相位系統也是非最小相位系統(系統本身是因果穩定系統,其逆系統具有因果性,但不穩定),而且
- 離散時間系統下的零點都在單位圓外。
- 連續時間系統下的零點都在複數平面的右半邊。
也就是其逆系統所有的極點都不穩定。
此系統稱為最大相位系統的原因是在所有有相同增益響應的系統中,最大相位系統有最大的群延遲。在等增益響應的系統的系統中,最大相位系統有最大的能量延遲。
例如以下是二個連續時間LTI系統的傳遞函數
這二個系統的增益響應相同,但第二個系統相位移的貢獻較大,因此第二個系統是最大相位系統,而第一個系統為最小相位系統。
混合相位系統
編輯離散時間下的混合相位系統(mixed-phase)有些零點在單位圓內,有些零在單位圓外,其群延遲不是最小值,也不是最大值。連續時間下的混合相位系統則是有些零點在右半平面內,有些零點在右半平面。
例如連續時間系統
是因果穩定系統,但有零點在左半平面,也有零點在右半平面,因此是混合相位系統。
線性相位
編輯線性相位(linear-phase)系統的群延遲是定值。非平凡的線性相位系統或是接近線性相位系統都是混合相位系統。
相關條目
編輯- 全通濾波器:一種特殊的非最小相位系統
- 克拉莫-克若尼關係式:物理上的最小相位系統
參考資料
編輯- ^ Hassibi, Babak; Kailath, Thomas; Sayed, Ali H. Linear estimation. Englewood Cliffs, N.J: Prentice Hall. 2000: 193. ISBN 0-13-022464-2.
- ^ J. O. Smith III, Introduction to Digital Filters with Audio Applications (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) (September 2007 Edition).
延伸閱讀
編輯- Dimitris G. Manolakis, Vinay K. Ingle, Stephen M. Kogon : Statistical and Adaptive Signal Processing, pp. 54–56, McGraw-Hill, ISBN 0-07-040051-2
- Boaz Porat : A Course in Digital Signal Processing, pp. 261–263, John Wiley and Sons, ISBN 0-471-14961-6