非线性控制
非线性控制（Nonlinear control）是控制理论中处理非线性系统的理论。控制理论本身是工程和数学的跨领域学科，探讨动力系统在有输入下的行为，以及如何利用反馈、前馈、信号滤波来改变输入，以调整动力系统的输出。被控制的系统会称为受控体。有一个让受控体输出可以追随参考信号的方法，就是将受控体输出反馈到控制器，和参考信号比较，利用比较后的结果来改变受控体的输入，使输出可以追随参考信号。
控制理论可以分为二种：线性控制理论可适用于元件均满足叠加原理的系统（线性系统），其统御方程是线性的微分方程，线性系统中若其参数不会随时间而改变，则称为线性时不变（LTI）系统，这类系统可以用强大的频域数学技巧加以分析，例如拉普拉斯变换、傅里叶变换、Z转换、波德图、根轨迹图及奈奎斯特稳定判据。
非线性控制理论则是针对不符合叠加原理的系统（非线性系统），适用于较多的真实世界系统，因为所有真实世界的系统都是非线性的。其统御方程是非线性微分方程，要处理非线性控制的理论比较严谨，也比较不具一般性，只能适用在一些特定种类的系统。这些技术包括极限环理论、庞加莱映射、李亚普诺夫函数及描述函数。若只需要研究非线性系统在某稳定点附近行为，可以用近似的方式将非线性系统线性化，方法是将非线性解表示为无穷级数，再利用线性的技巧来处理[1]。非线性系统一般会用电子计算机中的数值方法来分析，例如用仿真语言来仿真其行为。有时虽然受控体是线性的，但使用非线性控制会让实现更简单、速度更快、更准确、或是控制需要的能量更少，不过在设计上可能也会比较困难。
非线性控制系统的例子是自动调温器控制的加热系统。大楼的温控系统对温度的变化有非线性的响应，可能是“开启”或是“关闭”，不像线性比例控制的设备，可以针对温度差作较精细的控制。因此，温度需低于“开启”的设定温度后，加热系统才会打开，之后因为加热系统的作用，温度会开始上升，温度高于“关闭”的设定温度后，加热系统会关闭，温度渐渐下降。加热系统就会依此循环运作。这个温度的循环称为极限环，就是非线性系统的特点之一。
非线性系统的特点
编辑以下是一些非线性系统的特点
非线性系统的分析及控制
编辑有许多针对非线性系统的分析及控制技巧：
也有一些针对非线性系统的控制器设计技巧，可以分为几类。一类是在可线性的范围内，将非线性系统近似为线性系统，再用线性系统的方法处理：
也有一些是用辅助的非线性回授，设法让系统接近线性，以设计控制器：
以及李亚普诺夫系列的方法：
非线性回授分析–Lure问题
编辑
早期有一个由Anatoliy Isakovich Lure提出的非线性回授系统分析问题。
Lur问题描述的控制系统有一个线性非时变的前向路径，其回授路径有无记忆，可能时变的非线性成分。
其线性部分可以表示为四个矩阵(A,B,C,D)，非线性成分是Φ(y)，其中 （扇形非线性）
![{\displaystyle {\frac {\Phi (y)}{y}}\in [a,b],\quad a<b\quad \forall y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7048320c87b1cf436bd2b2b628a236e176b62da7)
绝对稳定性问题
编辑考虑：
- (A,B) 有可控制性，(C,A) 有可观察性
- 存在二个实数a, b，a < b，定义了Φ的扇形区域
Lure问题（也称为绝对稳定性问题）是要推导只和传递矩阵H(s)和{a,b}有关的条件，可以使x = 0是系统的全域均匀渐近稳定平衡点。
有二个有关绝对稳定性问题的著名猜想，都已证实不成立：
以图形上来看，上述猜想可以表示为在Φ(y) x y或是dΦ/dy x Φ/y图上的几何制[2]。这两个猜想存在反例，在线性稳定扇形区域内存在非线性回授，使得稳定的平衡点和稳定的周期解同时存在（隐蔽振荡）。
有二个有关Lure问题的主要定理，提供绝对稳定的充份条件：
在非线性控制中的理论成果
编辑弗罗贝尼乌斯定理
编辑弗罗贝尼乌斯定理是微分几何中深刻的成果，其相关的概念和其他数学领域有关。若应用在非线性控制，其型式如下：假设以下型式的系统
其中 ， 是属于 分布的向量场，而 是控制函数， 的积分曲线会限制在 维流形，若 ，且 是对合分布。
相关条目
编辑参考资料
编辑- ^ trim point. [2019-04-03]. （原始内容存档于2012-02-08）.
- ^ Naderi, T.; Materassi, D.; Innocenti, G.; Genesio, R. Revisiting Kalman and Aizerman Conjectures via a Graphical Interpretation. IEEE Transactions on Automatic Control. 2019, 64 (2): 670–682. ISSN 0018-9286. doi:10.1109/TAC.2018.2849597.
延伸阅读
编辑- Lur'e, A. I.; Postnikov, V. N. К теории устойчивости регулируемых систем [On the Theory of Stability of Control Systems]. Prikladnaya Matematika I Mekhanika. 1944, 8 (3): 246–248 （俄语）.
- Vidyasagar, M. Nonlinear Systems Analysis 2nd. Englewood Cliffs: Prentice Hall. 1993. ISBN 978-0-13-623463-0.
- Isidori, A. Nonlinear Control Systems 3rd. Berlin: Springer. 1995. ISBN 978-3-540-19916-8.
- Khalil, H. K. Nonlinear Systems 3rd. Upper Saddle River: Prentice Hall. 2002. ISBN 978-0-13-067389-3.
- Brogliato, B.; Lozano, R.; Maschke, B.; Egeland, O. Dissipative Systems Analysis and Control 2nd. London: Springer. 2007.
- Leonov G.A.; Kuznetsov N.V. Algorithms for Searching for Hidden Oscillations in the Aizerman and Kalman Problems (PDF). Doklady Mathematics. 2011, 84 (1): 475–481 [2019-04-03]. doi:10.1134/S1064562411040120. （原始内容存档 (PDF)于2016-03-04）.
- Bragin V.O.; Vagaitsev V.I.; Kuznetsov N.V.; Leonov G.A. Algorithms for Finding Hidden Oscillations in Nonlinear Systems. The Aizerman and Kalman Conjectures and Chua's Circuits (PDF). Journal of Computer and Systems Sciences International. 2011, 50 (5): 511–543 [2019-04-03]. doi:10.1134/S106423071104006X. （原始内容存档 (PDF)于2016-03-04）.
- Leonov G.A., Kuznetsov N.V. Sergio, Bittanti , 编. Analytical-numerical methods for investigation of hidden oscillations in nonlinear control systems (PDF). IFAC Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnline). Proceedings of the 18th IFAC World Congress. 2011, 18 (1): 2494–2505 [2019-04-03]. ISBN 9783902661937. doi:10.3182/20110828-6-IT-1002.03315. （原始内容存档 (PDF)于2020-07-09）.