五角二十四面体

五角二十四面体图
五角二十四面体图
	<img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/54/Pentagonal_icositetrahedral_graph_square_plot.svg/240px-Pentagonal_icositetrahedral_graph_square_plot.svg.png" decoding="async" width="240" height="240" class="mw-file-element" data-file-width="255" data-file-height="255">
度分布	3 (32个); 4 (6个)
顶点	38
边	60
半径	6
直径	7
围长	5
自同构群	24
色数	3
对偶图	扭棱立方体图（法语：Graphe cuboctaédrique adouci）
属性	哈密顿、平面图
	查; 论; 编;

五角二十四面体
	; （按这里观看旋转模型）
类别	卡塔兰立体
对偶多面体	扭棱立方体
识别
鲍尔斯缩写; （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	pedid
数学表示法
考克斯特符号; （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
性质
面	24
边	60
顶点	38
欧拉特征数	F=24, E=60, V=38 （χ=2）
二面角	136° 18' 33'
组成与布局
面的种类	V3.3.3.3.4; 不等边五边形
对称性
对称群	O, ½BC3, [4,3]+, 432
旋转对称群; （英语：Rotation_groups）	O, [4,3]+, (432)
特性
	凸、面可递
图像
; 扭棱立方体; （对偶多面体）	; （展开图）
	查; 论; 编;

在几何学中，五角二十四面体是一种卡塔兰多面体^[1]，由24个全等的不等边五边形组成，其对偶多面体为扭棱立方体^[2]，共有24个面、60个边和38个顶点^[3]。

在矿物学中，这种形状又称为五角三八面体、螺旋二十四面体（gyroid）^[4]^[5]^[6]、五角偏方三八面体或偏菱五角二十四面体^[7]，部分的矿石可以结晶成这种形状^[8]，例如赤铜矿——化学成分为氧化亚铜（Cu₂O）的氧化物矿物可以结晶成五角二十四面体^[9]。

性质

五角二十四面体是一个手性多面体（英语：Chirality (mathematics)）^[10]，也就是说，该多面体镜射之后会跟原本的型形状不同，无法借由旋转半周再回到原本的形状^[11]^[12]^[13]。这两种形式互为镜像（或“对映体”），又称为手性镜像，且其面、顶点、边数皆相同，共有24个面、60个边、38个顶点^[3]。

五角二十四面体的旋转透视图	五角二十四面体的另一个手性镜像的旋转透视图

五角二十四面体的对偶多面体为扭棱立方体，换句话说即这个多面体的顶点可以对应到扭棱立方体每个面的几何中心、扭棱立方体的每个顶点可以对应到五角二十四面体的几何中心。^[14]

面的组成

构成五角二十四面体的五边形。

五角二十四面体由24个全等的具有镜像对称性之不等边五边形组成^[13]^[12]。这种不等边五边形有两种边长，有三个边为短边（下图中以b表示）、两个边为长边（下图中以a表示）。长边的边长为短边的一半再加上短边的三波那契常数（英语：tribonacci constant）倍^[15]，即：

短边

:

长边

=1:{\frac {1}{2}}+{\frac {t}{2}}

其中， $t$ 为三波那契常数（英语：tribonacci constant），即：

{\frac {1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}}{3}}={\frac {1+4\cosh \left({\frac {1}{3}}\cosh ^{-1}\left(2+{\frac {3}{8}}\right)\right)}{3}}\approx 1.839286755214161,

（OEIS数列A058265）

这个数为 $x^{3}-x^{2}-x-1=0$ 的实根^[16]。

这个不等边五边形两个长边相邻，其夹角为二减去三波那契常数的反余弦值（ $\arccos {\left(2-t\right)}$ 约为80.75度）；其余4个角皆为二分之一减去一半的三波那契常数之反余弦值（ $\arccos {\left({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {t}{2}}\right)}$ 约为114.81度）^[15]。

若对应的对偶多面体——扭棱立方体边长为单位长，则相应的五角二十四面体面的短边边长为^[13]^[12]：

b={\frac {\sqrt {6\left(4-{\sqrt[{3}]{2\left(13+3{\sqrt {33}}\right)}}-{\sqrt[{3}]{2\left(13-3{\sqrt {33}}\right)}}\right)}}{6}}\approx 0.593465355971987310502

相应的五角二十四面体面的长边边长为^[13]^[12]：

a={\frac {\sqrt {3\left(4+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}\right)}}{6}}\approx 0.8425091624448604672504

体积与表面积

若对应的对偶多面体——扭棱立方体边长为单位长，则相应的五角二十四面体的体积与表面积为^[10]：

{\begin{aligned}A&=3{\sqrt {\frac {22(5t-1)}{4t-3}}}&&\approx 19.299\,94\\V&={\sqrt {\frac {11(t-4)}{2(20t-37)}}}&&\approx 7.4474\end{aligned}}

而根据相应的边长关系^[13]^[12]，可以得到以边长表示的体积与表面积：

A={\frac {24a^{2}(2+3t)}{1+2t}}{\sqrt {\frac {1-t}{1+t}}}={\frac {12b^{2}(2+3t)}{(1-2t^{2})}}{\sqrt {1-t^{2}}}\approx 27.19a^{2}\approx 54.8b^{3}

V={\frac {4a^{3}(2+3t){\sqrt {1-2t}}}{(1+t)(1-4t^{2})}}={\frac {2b^{3}(1+t)(2+3t)}{(1-2t^{2}){\sqrt {1-2t}}}}\approx 12.45a^{3}\approx 35.63b^{3}

正交投影

五角二十四面体有三种具有特殊对称性的正交投影，分别是以度为三的顶点为中心、以度为四的顶点为中心以及以与侧边中点为中心的正交投影。前两者对称性对分别应于A₂和B₂的考克斯特平面^[17]^[18]。

正交投影
投影位置	度为三的顶点	度为四的顶点	侧边中点
投影对称性	[3]	[4]⁺	[2]
图像
对偶多面体

变体

五角二十四面体有另外一种同样所有面全等的变体。这种变体具有八面体群的对称性，且具有3种不同的边长。这种变体可以透过在扭棱立方体的6个正方形与8个三角形的面上加上角锥至与邻面共面来构造^[19]。

扭棱立方体的面上加上角锥至与邻面共面	五角二十四面体变体	该变体地展开图