四角反稜柱

正四角反稜柱
類別	反稜柱; 柱狀均勻多面體
對偶多面體	四方偏方面體
識別
名稱	正四角反稜柱
參考索引	U77(b)
鮑爾斯縮寫; （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	squap
數學表示法
考克斯特符號; （英語：Coxeter-Dynkin diagram）	;
施萊夫利符號	s{2,4}
威佐夫符號; （英語：Wythoff symbol）	\| 2 2 4
康威表示法	A4
性質
面	10
邊	16
頂點	8
歐拉特徵數	F=10, E=16, V=8 （χ=2）
組成與佈局
面的種類	8個三角形; 2個正方形
面的佈局; （英語：Face configuration）	8{3}+2{4}
頂點圖	3.3.3.4
對稱性
對稱群	D4d, [2+,8], (2*4), order 16
旋轉對稱群; （英語：Rotation_groups）	D4, [4,2]+, (442), order 8
特性
	凸
圖像
	; 3.3.3.4; （頂點圖）
; 四方偏方面體; （對偶多面體）	; （展開圖）
	閱; 論; 編;

在幾何學中，四角反稜柱是底面為四邊形的反稜柱，是反稜柱系列中的第二個成員。其有8個三角形側面，再由2個四邊形底面封閉。四角反稜柱有時也被稱為反立方體（anticube）。^[1]

若底面為正方形、側面為正三角形則稱為正四角反稜柱，是一種半正多面體或均勻多面體，但不是阿基米德立體。

性質

四角反稜柱共由10個面、16條邊和8個頂點所組成，在其10個面中，有2個正方形底面和8個三角形側面。其8個頂點皆為1個正方形和3個三角形的公共頂點，因此所有頂解階等價，是一種等角圖形，在頂點圖中可以用3.3.3.4來表示。由於四角反稜柱具有點可遞的特性，因此是一種均勻多面體。其對偶多面體是四方偏方面體。

體積與表面積

若一正四角反稜柱所有面都是正多邊形時，則這種立體是半正多面體也是均勻多面體，它只有一種邊長，若令其為a，則其高為：

h=2^{-{\frac {1}{4}}}a

體積 $V$ 與表面積 $A$ 為：^[2]

V={\frac {1}{3}}a^{3}{\sqrt {4+3{\sqrt {2}}}}

A=2a^{2}(1+{\sqrt {3}})

二面角

若一正四角反稜柱所有面都是正多邊形時，則這種立體的二面角能夠被唯一確定。正四角反稜柱共有兩種二面角，分別為正方形和三角形的二面角，以及三角形和三角形的二面角。^[3]

其中，正方形和三角形的二面角為：

\angle

正方形

,

三角形

\,=\arccos \left(-{\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {3}}}{3}}\right)=\arccos \left({\frac {1-{\sqrt {2}}}{\sqrt {3}}}\right)

^[4]

\approx 1.81228288\approx 103.836160479^{\circ }

而三角形和三角形的二面角為：

\angle

三角形

,

三角形

\,=\arccos \left(-{\frac {2{\sqrt {2}}-1}{3}}\right)=\arccos \left({\frac {1-2{\sqrt {2}}}{3}}\right)

^[4]

\approx 2.22619544\approx 127.551602906^{\circ }

在化學中

根據化學分子幾何的價層電子對互斥理論，分子的構型會儘可能令電子對或原子之間的距離最大化，當八對電子環繞一個中心原子時，四角反稜柱的構型較為常見。具有這種分子構型的一個例子是在八氟合氙(VI)酸亞硝醯中的八氟合氙(VI)離子（XeF2−
8）；然而該分子的構型非理想的四角反稜柱，其有一定程度的扭曲。^[5]八個頂點的分子構型還有一種可能就是立方體，但很少有離子的構型是立方體的，因為這種形狀會導致配體之間產生很大的排斥力，PaF3−
8離子是為數不多的例子之一^[6]。

另一種分子的原子排列方式與四角反稜柱頂點排列方式相同的分子是環八硫S₈。環八硫是硫元素最穩定的同素異形體^[7]，這個分子具有四角反稜柱的結構，其中八個原子的位置對應到四角反稜柱的八個頂點，四角反稜柱的八個三角形側面的三角形-三角形邊對應於硫原子之間的共價鍵，因此四角反稜柱可以用於描述環八硫的分子結構^[8]。

八氟合氙(VI)離子（XeF2−
8）
環八硫分子

在建築學中

世界貿易中心一號大樓的主體建築（位於2001年9月11日倒塌的舊世貿中心舊址原址重建的大樓）是一個非常高的錐形四角反稜柱形狀的建築物^[9]。然而其不是真正的四角反稜柱，而是四角反錐台，因為他有一個錐度：其頂面正方形面積是底面正方形面積的一半。

高度較高、具錐度的四角反稜柱
（四角反錐台）
世界貿易中心一號大樓

拓樸相同的多面體

四角反錐台

四角反錐台是指存在錐度的四角反稜柱，也就是底面積與頂面積大小不同的四角反稜柱。世界貿易中心一號大樓實際上是這種形狀。^[10]

四角反稜柱（頂面和底面全等）	四角反錐台（頂面和底面面積不相等）

扭曲四角柱

扭曲四角柱可以利用與四角反稜柱相同的頂點布局來構造（可以是順時針或逆時針）。其可以視為從四角反稜柱的四條稜上各移除一個四面體所構成的立體。然而，在此之後，如果不添加新頂點，就不能將其三角剖分（英語：Triangulation (geometry)）成若干四面體。扭曲四角柱具有均勻解的一半對稱性：D₄群，階數為4。^[11]^[12]

交叉四角反稜柱

交叉四角反稜柱是一種星形多面體，其拓樸結構等價於四角反稜柱，並且與四角反稜柱有著相同的頂點排佈，但其不能成為均勻多面體，因為其側面僅能以等腰三角形的形式存在。交叉四角反稜柱的頂點布局為3.3/2.3.4，表示其中有一個反向相接的三角形，以至於其頂點圖呈現交叉四邊形。其具有d_4d的二面體群對稱性，階數為8。

參見

參考文獻

^ Holleman-Wiberg. Inorganic Chemistry, Academic Press, Italy, p. 299. ISBN 0-12-352651-5.
^ Weisstein, Eric W. (編). Square Antiprism. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
^ David I. McCooey. Prisms & Antiprisms: Square Antiprism. [2023-01-10]. （原始內容存檔於2023-01-10）.
^ ^4.0 ^4.1 Richard Klitzing. square antiprism, squap. bendwavy.org. [2023-01-10]. （原始內容存檔於2023-01-10）.
^ Peterson, W.; Holloway, H.; Coyle, A.; Williams, M. Antiprismatic Coordination about Xenon: the Structure of Nitrosonium Octafluoroxenate(VI). Science. Sep 1971, 173 (4003): 1238–1239. Bibcode:1971Sci...173.1238P. ISSN 0036-8075. PMID 17775218. S2CID 22384146. doi:10.1126/science.173.4003.1238.
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^ Steudel, R., "Homocyclic Sulfur Molecules", Topics Curr. Chem. 1982, 102, 149.
^ Constantin, Adrian and Germain, Pierre. Stratospheric planetary flows from the perspective of the Euler equation on a rotating sphere. 2021-09 [2023-01-10]. （原始內容存檔於2023-01-10）.
^ If One World Trade Center is a prism and not an antiprism, would it be less in volume?. math4teaching.com. [2023-01-10]. （原始內容存檔於2023-01-10）.
^ Arny Weinstein. sculpture, contemporary art. [2023-01-10]. （原始內容存檔於2023-01-10）.
^ The facts on file: Geometry handbook, Catherine A. Gorini, 2003, ISBN 0-8160-4875-4, p.172
^ Pictures of Twisted Prisms. [2023-01-10]. （原始內容存檔於2016-12-12）.

外部連結

http://mathworld.wolfram.com/SquareAntiprism.html（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

[3] Holleman-Wiberg. Inorganic Chemistry, Academic Press, Italy, p. 299. ISBN 0-12-352651-5.

[4] Weisstein, Eric W. (編). Square Antiprism. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.

[dmccooey-5] David I. McCooey. Prisms & Antiprisms: Square Antiprism. [2023-01-10]. （原始內容存檔於2023-01-10）.

[Richard_Klitzing-6] 4.0 ^4.1 Richard Klitzing. square antiprism, squap. bendwavy.org. [2023-01-10]. （原始內容存檔於2023-01-10）.

[peterson-7] Peterson, W.; Holloway, H.; Coyle, A.; Williams, M. Antiprismatic Coordination about Xenon: the Structure of Nitrosonium Octafluoroxenate(VI). Science. Sep 1971, 173 (4003): 1238–1239. Bibcode:1971Sci...173.1238P. ISSN 0036-8075. PMID 17775218. S2CID 22384146. doi:10.1126/science.173.4003.1238.

[8] Greenwood, Norman Neill; Earnshaw, Alan. Chemistry of the elements. 2016. ISBN 978-0-7506-3365-9. OCLC 1040112384 （英語）.

[9] Steudel, R., "Homocyclic Sulfur Molecules", Topics Curr. Chem. 1982, 102, 149.

[Stratospheric_planetary_flows_from_the_perspective_of_the_Euler_equation_on_a_rotating_sphere-10] Constantin, Adrian and Germain, Pierre. Stratospheric planetary flows from the perspective of the Euler equation on a rotating sphere. 2021-09 [2023-01-10]. （原始內容存檔於2023-01-10）.

[11] If One World Trade Center is a prism and not an antiprism, would it be less in volume?. math4teaching.com. [2023-01-10]. （原始內容存檔於2023-01-10）.

[12] Arny Weinstein. sculpture, contemporary art. [2023-01-10]. （原始內容存檔於2023-01-10）.

[13] The facts on file: Geometry handbook, Catherine A. Gorini, 2003, ISBN 0-8160-4875-4, p.172

[14] Pictures of Twisted Prisms. [2023-01-10]. （原始內容存檔於2016-12-12）.

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對稱性 4n2 [n,4]⁺	球面鑲嵌		歐氏鑲嵌	緊湊型雙曲鑲嵌				仿緊型鑲嵌	非緊型鑲嵌
對稱性 4n2 [n,4]⁺	242 [2,4]⁺	342 [3,4]⁺	442 [4,4]⁺	542 [5,4]⁺	642 [6,4]⁺	742 [7,4]⁺	842 [8,4]⁺...	∞42 [∞,4]⁺	[iπ/λ,4]⁺
扭稜頂點布局	3.3.4.3.2	3.3.4.3.3	3.3.4.3.4	3.3.4.3.5	3.3.4.3.6	3.3.4.3.7	3.3.4.3.8	3.3.4.3.∞	3.3.4.3.∞
考克斯特符號（英語：Coxeter-Dynkin digram）施萊夫利符號	sr{2,4}	sr{3,4}	sr{4,4}	sr{5,4}	sr{6,4}	sr{7,4}	sr{8,4}	sr{∞,4}	rr{iπ/λ,4}
扭稜對偶頂點布局	V3.3.4.3.2	V3.3.4.3.3	V3.3.4.3.4	V3.3.4.3.5	V3.3.4.3.6	V3.3.4.3.7	V3.3.4.3.8	V3.3.4.3.∞	V3.3.4.3.∞
考克斯特符號（英語：Coxeter-Dynkin digram）

2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	n
s{2,4} sr{2,2}	s{2,6} sr{2,3}	s{2,8} sr{2,4}	s{2,10} sr{2,5}	s{2,12} sr{2,6}	s{2,14} sr{2,7}	s{2,16} sr{2,8}	s{2,18} sr{2,9}	s{2,20} sr{2,10}	s{2,22} sr{2,11}	s{2,24} sr{2,12}	s{2,2n} sr{2,n}


作為球面鑲嵌