二十面体

**二十面体**
部分的二十面体
; 正二十面体	; 正九角反棱柱
; 正三角台塔反角柱	; 同相双三角台塔柱
; 大二十面体	; 完全星形二十面体

在几何学中，二十面体（icosahedron）是指具有二十个面的多面体。在三维欧几里得空间中有两种二十面体是正多面体，分别为凸正二十面体和大二十面体。除此之外，亦有许多二十面体是等面或等角的，例如十方偏方面体（等面），也有的二十面体所有的面都是正多边形，例如正十八角柱、九角反棱柱、正三角台塔反角柱、同相（英语：Elongated triangular orthobicupola）和异相双三角台塔柱（英语：Elongated triangular gyrobicupola）等。也有些二十面体是半正多面体（同时具备等角且组成面为正多边形的立体称为半正多面体），例如正十八角柱和正九角反棱柱。

正二十面体

两种正二十面体
凸正二十面体	大二十面体

所有二十面体中，有两种为正多面体。一种为凸多面体，另一种为非凸多面体。这两种立体都具有30条边和20个三角形面，以每个顶点为5个三角形的公共顶点交在12个顶点上。两者皆具有二十面体群对称性。词汇“正二十面体”通常表达的是凸的正二十面体，而非凸的正二十面体称为大二十面体。^[1]^[2]

凸正二十面体

凸正二十面体通常简称为正二十面体，是五个帕雷托立体之一，其在施莱夫利符号中可以用{3, 5}来表示，其共有20个三角形面，且每个顶点都是5个正三角形的公共顶点^[2]，并且这些面在顶点周围以正五边形之边的排列方式进行排列，换言之即凸正二十面体的顶点图为正五边形。^[3]

凸正二十面体的对偶多面体是凸正十二面体^[2]，施莱夫利符号{5, 3}包含了12个正五边形面，每个顶点都是3个正五边形的公共顶点。^[4]

大二十面体

大二十面体是四个开普勒－庞索立体之一，其在施莱夫利符号中可以用{3, 5/2}来表示，与凸的正二十面体有相同的面数、边数和顶点数，差别在于顶点图的不同：大二十面体的顶点图是五角星而非五边形，导致其成为自相交的多面体。^[1]

大二十面体的对偶多面体为大星形十二面体^[1]，施莱夫利符号{5/2, 3}包含了12个正五角星面，每个顶点都是3个正五角星的公共顶点。^[5]

星形二十面体

多面体的星形化是指把多面体的面和边沿伸直到向外相交成星形的立体。这个过程是对称地完成的，以便生成保留了与原像相同的整体对称性。^[6]

在书籍《五十九种二十面体》，考克斯特等人列出了58种正二十面体的星形化体。^[7]其中，许多星形二十面体的组成面都是单一面（即没有同一个面包含分离区域的情况），因此这类立体也属于二十面体。例如大二十面体就属于这种立体。其他的星形二十面体有在同一个面中包含了分离区域的情况，因此可以将这些部分分离成结构更简单的多面体，故虽然这些立体称为二十面体，但它们不是严格的二十面体。

（凸）正二十面体	小三角六边形二十面体	五复合正八面体	大二十面体	凹五角锥十二面体
著名的星形二十面体
凸正	均匀对偶	正复合	星形正	其他


正二十面体在星形化的过程中产生了些许二十面体对称性的复合多面体

其他常见的二十面体

五角十二面体对称性的二十面体

正二十面体可以被形变或标记（在面上著上不同颜色或标上不同标记并将不同颜色或标记的面视为相异以表示不同的对称性）为较低的五角十二面体对称性^[8]，这个立体又称扭棱八面体（考克斯特扭棱）、扭棱四面体（康威扭棱）或伪二十面体。其也可以视为交错的截角八面体。如果所有三角形都是正三角形，那么也可以透过对8和12个三角形的三角形组著上不同颜色以将其视为相异来区分对称性。

耶森二十面体

与之类似的十二面体还有耶森二十面体。耶森二十面体同样拥有与正二十面体相同的面数、边数、顶点数，但其面的形状、二面角和连接方式略有不同。^[9]

耶森二十面体	正二十面体（左）与耶森二十面体（右）的差异

十八角柱

正十八角柱

十八角柱是一种底面为十八边形的柱体，是二十面体的一种，其由20个面、36个顶点和54个边组成。正十八角柱代表每个面都是正多边形的十八角柱，其每个顶点都是2个正方形和1个十八边形的公共顶点，顶点图以 $4{.}4{.}18$ 表示，在施莱夫利符号中可以利用{18}×{} 或 t{2, 18}来表示；在考克斯特—迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）中可以利用来表示；在威佐夫符号（英语：Wythoff symbol）中可以利用2 18 | 2来表示；在康威多面体表示法中可以利用P18来表示。若正十八角柱底面边长为 $s$ 、高为 $h$ ，则其体积 $V$ 和表面积 $S$ 为^[10]：

V={\frac {9hs^{2}\cot {\frac {\pi }{18}}}{2}}\approx 25.5208hs^{2}

S=9s\left(2h+s\cot {\frac {\pi }{18}}\right)\approx 9s\left(2h+5.67128s\right)

十九角锥

十九角锥是一种底面为十九边形的锥体，是二十面体的一种，其具有20个面、38条边和20个顶点，其对偶多面体是自己本身^[11]。正十九角锥是一种底面为正十九边形的十九角锥。若十九角锥的底面之边长为 $s$ 、高为 $h$ 则这个正十九角锥的体积 $V$ 和表面积 $S$ 为^[11]：

V={\frac {19hs^{2}\cot {\frac {\pi }{19}}}{12}}\approx 9.4884hs^{2}

S={\frac {19s\left({\sqrt {4h^{2}+s^{2}\cot ^{2}{\frac {\pi }{19}}}}+s\cot {\frac {\pi }{19}}\right)}{4}}\approx 3.75s\left({\sqrt {4h^{2}+35.9121s^{2}}}+5.99267s\right)

菱形二十面体

菱形二十面体是一个由20个全等的菱形所组成的环带多面体。其可以透过移除菱形三十面体的10个中间面来构成。虽然菱形二十面体的20个面皆全等，但其不满足面可递的特性，换句话说，即菱形二十面体存在一组两个面，这两个面透过将一个面经由若干旋转、平移和镜射整个立体将该面的位置变换到另外一个面的位置后，其面与附近的结构并不占有相同的空间区域。若菱形二十面体的边长为 $a$ ，则其体积 $V$ 和表面积 $S$ 为^[12]：

V=2{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}a^{3}

S=8{\sqrt {5}}a^{2}

六角丸塔

正六角丸塔

六角丸塔是指以六边形为底的丸塔，是一种二十面体，由1个六边形面、1个十二边形面、6个五边形面和12个三角形面组成，共有20个面、42条边和24个顶点，其中六边形与十二边形互相平行，三角形与五边形交错地围绕轴分布在周围。

以正六边形为底的六角丸塔称为正六角丸塔，其仅有顶面和底面为正多边形，分别为顶面的正六边形和底面的正十二边形，侧面可能可以存在正三角形或存在正五边形，但有正三角形面时，五边形最多仅能是等边不等角的非正五边形；有正五边形面时，三角形会出现等腰三角形，故不属于约翰逊多面体。唯一属于约翰逊多面体的丸塔仅有正五角丸塔^[13]。

正六角丸塔的对称群为C_6v（英语：Dihedral symmetry in three dimensions）群，阶数为12阶。

九角反角柱

正九角反角柱

九角反角柱是一种底面为九边形的反角柱，由20个面、36条边和18个顶点组成。正九角反角柱代表每个面都是正多边形的九角反角柱，其每个顶点都是3个正三角形和1个正九边形的公共顶点，顶点图以 $3{.}3{.}3{.}9$ 表示，在施莱夫利符号中可以用 $s\left\{{\begin{matrix}2\\9\end{matrix}}\right\}$ 来表示^[14]。边长为单位长的正九角反角柱体积 $V$ 为以下多项式的正实根，约为5.43974^[14]：

64x^{6}-1872x^{4}-648x^{2}+81

表面积 $S$ 为以下多项式的正实根，约为20.1579^[14]：

x^{6}-486x^{4}+32805x^{2}-177147

双十角锥

双十角锥是一种以十边形为基底的双锥体，是二十面体的一种，其可以视为两个十角锥底面对底面叠合成的立体，由20个面、30条边和12个顶点组成^[15]，对偶多面体为十角柱^[15]。

双十角锥在施莱夫利符号中可以用{ }+{10}来表示，在考克斯特符号中可以用来表示，在康威多面体表示法中可以用dP10来表示。

十方偏方面体

十方偏方面体是一种以十边形为底的偏方面体，由20个全等的筝形组成，为十角反角柱的对偶多面体^[16]，同时也是筝形多面体，是偏方面体系列的第八个成员。所有十方偏方面体都有20个面、40条边和22个顶点^[16]，其中，顶点有两种，分别为10个筝形的公共顶点和3个筝形的公共顶点。

十方偏方面体是一个等面图形，即面可递多面体，其所有面都相等。更具体来说，其不仅所有面都全等，且面与面必须能在其对称性上传递，也就是说，面必须位于同一个对称性轨道内。这种凸多面体是能做成公正的骰子的形状^[17]，然而二十面骰通常以正二十面体居多^[18]。

十方偏方面体在施莱夫利符号中可以用{ }⨁{10}来表示，在考克斯特符号中可以用或来表示，在康威多面体表示法中可以用dA10来表示。

星形均匀多面体

部分星形均匀多面体具有20个面，分别为小立方立方八面体^[19]、大立方截半立方体^[20]和立方截角立方八面体^[21]。

约翰逊多面体

以下是属于约翰逊多面体的二十面体：^[22]

J22	J35	J36	J59	J60	J92
正三角台塔反角柱	同相双三角台塔柱（英语：Elongated triangular orthobicupola）	异相双三角台塔柱（英语：Elongated triangular gyrobicupola）	对二侧锥十二面体（英语：Parabiaugmented dodecahedron）	间二侧锥十二面体（英语：Metabiaugmented dodecahedron）	三角广底球状丸塔

16个三角形 3个正方形 1个六边形	8个三角形 12个正方形	8个三角形 12个正方形	10个三角形 10个五边形	10个三角形 10个五边形	13个三角形 3个正方形 3个五边形 1个六边形

二十面体列表

名称	种类	符号	顶点	边	面	χ	面的种类	对称性
凸正二十面体	正多面体	{3,5}	12	30	20	2	20个正三角形	I_h, H₃, [5,3], (*532)
大二十面体	正多面体	{3,5/2}	12	30	20	2	20个正三角形	I_h, H₃, [5,3], (*532)
十八角柱	棱柱体	t{2,18} {18}x{}	54	36	20	2	2个十八边形 18个矩形	D_18h, [18,2], (*18 2 2)
十九角锥	棱锥体	( )∨{19}	20	38	20	2	1个十九边形 19个三角形	C_19v, [19], (*19 19)
九角反棱柱	反棱柱	s{2,18} sr{2,9}	18	36	20	2	2个九边形 18个三角形	D_6d, [2⁺,12], (2*6), 24阶
九角台塔	台塔	{9}\|\|t{9}	27	45	20	2	9个三角形 9个正方形 1个九边形 1个十八边形	C_9v, [1,9], (*99), 18阶
双十角锥	双锥体	{ }+{10}	12	30	20	2	20个三角形	D_10h, [10,2], (*10 2 2), 40阶
十方偏方面体	偏方面体	{ }⨁{10}^[23]	22	40	20	2	20个筝形	D_10d, [2⁺,10], (2*10)
六角丸塔	丸塔		24	42	20	2	1个六边形顶面 1个十二边形底面 6个五边形侧面 12个三角形侧面	C_6v（英语：Dihedral symmetry in three dimensions）, [4], (*66), 12阶
双五角锥反角柱	双锥反柱体		12	30	20	2	20个三角形	D_5d, [2⁺,10], (2*5), order 20