单值性
数学中,单值性(monodromy)研究的是数学分析、代数拓扑、代数几何与微分几何中的对象在“绕着奇点旋转”时的行为。这个领域同覆叠映射及其到分歧的退化密切相关。引发单值现象的方面是,我们想定义一个绕奇点旋转时不保持单值性的函数。可以定义单值群来测量单值性的失效,这是一群作用于数据的变换,编码了在单一维度上绕行时发生的情况。单值性的缺乏,有时称作多值性(polydromy)。[1]
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定义
编辑令X是连通且底局部连通的拓扑空间,基点为x,并令 为覆叠映射,其纤维为 。对以x为基的环圈 ,记从点 开始的覆叠映射下的提升为 。最后,用 表示端点 ,一半与 不同。有定理指出,这种构造给出了基本群 在F上的良定义的群作用, 的稳定子恰是 ,即当且仅当元素 由 中以 为基的环圈的像表示时,才会固定F中的一个点。这种作用叫做单值作用,对应的群同态 映射到F上的自同构群,就是代数单值性。这同态的像就是单值群。还有一个映射 ,其像是拓扑单值群。
例子
编辑这些观点首次明确阐述是用复分析的语言。在解析延拓的过程中,在穿孔复平面 的某开子集E中的解析函数 可连续映射回E,但值不同。例如,取
然后逆时针绕圆
进行解析延拓,将导致返回的不是 而是
这时,单值群是无限循环群,覆叠空间是穿孔复平面的万有覆叠,可以形象理解为螺旋曲面,并有 的约束。覆叠映射是一个垂直投影,从某种意义上说显然地折叠了螺旋,得到穿孔平面。
复数域微分方程
编辑一个重要应用是解微分方程,当中单解可通过解析延拓得到更多线性独立解。复平面中开连通集S上定义的线性微分方程拥有单值群,更精确地说是S基本群的线性表示,概括了S中所有环圈的解析延拓。在给定表示的情况下构造方程(具有正则奇点)的逆问题称作黎曼–希尔伯特问题。
对于正则(特别是富克斯)线性系统,常常选择与环圈相应的算子 作为单值群的生成子,当中每个环圈逆时针绕过系统的一个极点。若指标j在顺时针绕过极点时从1增加到p+1,则生成子之间的唯一关系是 。德利涅–辛普森问题是以下实现问题:对 中的哪些共轭类元组,存在来自这些类的满足上式的矩阵 的不可约元组?皮埃尔·德利涅与卡洛斯·辛普森第一个得到了问题的解。Vladimir Kostov提出并讨论了富克斯系统残差问题的加性版本。除了 外,其他学者也考虑过在矩阵群上的问题。[2]
拓扑与几何角度
编辑在覆叠映射的情形下,我们将其视为纤维化的特例,并利用同伦提升特性“追踪”基空间X上的路径(简单起见假定其是径连通的),因为它们可提升到覆叠C中。若沿着X中以x为基的环圈绕行,并将其提升到x上方的c处开始,则将在x上方的某个c*处结束。c ≠ c*完全是可能的,为编码这种情况,可将基本群 的作用视为所有c的集合上的置换群,此时就是单值群。
微分几何中,平行移动起类似作用。在光滑流形M上的主丛B中,联络允许从M上的m之上的纤维“水平”移动到相邻的纤维。当应用于以m为基的环圈时,其效果是定义了m处纤维平移的完整群;若B的结构群是G,则它就是G的一个子群,衡量了B与积丛 的偏差。
单值广群与叶状结构
编辑与基本广群类似,可以绕过基点的选择,定义单值广群。此处考虑纤维化 的基空间X中的路径的提升(的同伦类),结果具有基空间X上的广群结构。这样做的好处是,我们可以放弃X的连通性条件。
此外,这个构造还可推广到叶状结构:考虑 是M的(可能奇异的)叶状结构。则对于 的叶中的每条路径,都可考虑其在过端点的局部横截面上的诱导微分同胚。若回到端点周围的微分同胚的芽,则前述微分同胚在单连通坐标图中是唯一的,尤其是在不同横截面之间。这样,在单连通坐标图中,它也变得与路径(固定端点间)无关,因此在同伦下不变。
伽罗瓦理论定义
编辑记 为变量x在F域上的有理函数域,F也是多项式环 的分式域。元素 决定了一个有限域扩张 。
这个扩张一般不是伽罗瓦的,但有伽罗瓦闭包 。扩张 的相关伽罗瓦群称作f的单值群。
在 的情形下,黎曼曲面理论允许上述几何解释。扩张 已经伽罗瓦的情形下,相关单值群有时被称作甲板变换群(deck transformation)。
另见
编辑注释
编辑- ^ König, Wolfgang; Sprekels, Jürgen. Karl Weierstraß (1815–1897): Aspekte seines Lebens und Werkes – Aspects of his Life and Work. Springer-Verlag. 2015: 200–201 [2017-10-05]. ISBN 9783658106195 (德语).
- ^ V. P. Kostov, The Deligne–Simpson problem — a survey, J. Algebra, 2004, 281 (1): 83–108, MR 2091962, S2CID 119634752, arXiv:math/0206298 , doi:10.1016/j.jalgebra.2004.07.013 and the references therein.
参考文献
编辑- V. I. Danilov, Monodromy, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- "Group-groupoids and monodromy groupoids", O. Mucuk, B. Kılıçarslan, T. ¸Sahan, N. Alemdar, Topology and its Applications 158 (2011) 2034–2042 doi:10.1016/j.topol.2011.06.048
- R. Brown Topology and Groupoids (页面存档备份,存于互联网档案馆) (2006).
- P.J. Higgins, "Categories and groupoids", van Nostrand (1971) TAC Reprint (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- H. Żołądek, "The Monodromy Group", Birkhäuser Basel 2006; doi: 10.1007/3-7643-7536-1