三角形

三角形，又稱三邊形（英語： Triangle），是由三條線段順次首尾相連，或不共線的三點兩兩連接，所組成的一個閉合的平面幾何圖形，是最基本和最少邊的多邊形。

三角形（英語： Triangle）
三角形
邊	3
頂點	3
施萊夫利符號	{3}（正三角形時）
鮑爾斯縮寫	trig
面積	有各種求面積的公式； 見#面積一節
內角和	一百八十度

一般用大寫英語字母$A$、$B$和$C$為三角形的頂點標號；用小寫英語字母$a$、$b$和$c$表示邊；用$\alpha$、$\beta$和$\gamma$給角標號，又或者以$\angle ABC$這樣的頂點標號來表示。

分類

以角度分類

銳角三角形	鈍角三角形	直角三角形

銳角三角形

銳角三角形的所有內角均為銳角。

鈍角三角形

鈍角三角形是其中一角為鈍角的三角形，其餘兩角均小於90°。

直角三角形

主條目：直角三角形

有一個角是直角（90°）的三角形為直角三角形。成直角的兩條邊稱為「直角邊」（cathetus），直角所對的邊是「斜邊」（hypotenuse）；或最長的邊稱為「弦」，底部的一邊稱作「勾」（又作「句」），另一邊稱為「股」。斜邊乘上斜邊上的高÷2=勾股相乘÷2=此直角三角形面積（ch=ab）

三角函數

主條目：三角函數

直角三角形各邊與角度的關係，可以三角比表示。

以邊長分類

不等邊三角形	等邊三角形	等腰三角形

不等邊三角形

主條目：不等邊三角形

三條邊邊長皆不相等的三角形稱為不等邊三角形。

等邊三角形

主條目：等邊三角形

等邊三角形（又稱正三角形），為三邊相等的三角形。其三個內角相等，均為60°。它是銳角三角形的一種。設其邊長是 $a$ ，則其面積公式為 ${\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$ 。

等邊三角形是正四面體、正八面體和正二十面體這三個正多面體面的形狀。六個邊長相同的等邊三角形可以拼成一個正六邊形。

三角形的對邊

對邊是指一個角對面的那條邊。比如∠A的對邊就是BC，∠B的對邊就是AC，∠C的對邊就是AB。 對邊測量是全站儀的一種專項測量功能，它可以間接測量兩個不可通視點之間的水平距離。該方法設站靈活，操作簡單，但它的測量精度沒有標註，需要通過計算求得。

等腰三角形

主條目：等腰三角形

等腰直角三角形只有一種形狀，其中兩個角為45度。

等腰三角形是三條邊中有兩條邊相等（或是其中兩隻內角相等）的三角形。等腰三角形中的兩條相等的邊被稱為「腰」，而另一條邊被稱為「底邊」，兩條腰交叉組成的那個點被稱為「頂點」，它們組成的角被稱為「頂角」。

等邊三角形和等腰直角三角形是等腰三角形的特殊形式。

令其底邊是 $b$ ，腰是 $a$，則其面積公式為 ${\frac {1}{4}}{b{\sqrt {4a^{2}-b^{2}}}}$ 等腰三角形的對應高，角平分線和中線重合。

退化三角形

參見：退化多邊形 § 退化三角形

退化三角形是指面積為零的三角形。滿足下列條件之一的三角形即可稱為退化三角形：三個內角的度數為(180°,0°,0°)或(90°,90°,0°)；三邊其中一條邊的長度為0；一條邊的長度等於另外兩條之和。有人認為退化三角形並不能算是三角形，這是由於它介乎於三角不等式之間，在一些資料中已否定了其中一條邊等於其餘兩條邊之和的情況。

勒洛三角形

勒洛三角形（英語：Reuleaux triangle），也譯作萊洛三角形或弧三角形，又被稱為劃粉形或曲邊三角形，是除了圓形以外，最簡單易懂的勒洛多邊形，一個定寬曲線。將一個曲線圖放在兩條平行線中間，使之與這兩平行線相切，則可以做到：無論這個曲線圖如何運動，只要它還是在這兩條平行線內，就始終與這兩條平行線相切。這個定義由十九世紀的德國工程師弗朗茨·勒洛命名。

一般性質

三角不等式

• 三角邊長不等式

  三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差的絕對值小於第三邊。如果兩者相等，則是退化三角形。

• 三角內外角不等式

  三角形任意一個外角大於不相鄰的一個內角。

角度

• 三角形外角

  三角形兩內角之和，等於第三角的外角。

• 三角形內角和

  在歐幾里德平面內，三角形的內角和等於180°。

勾股定理

主條目：勾股定理

勾股定理，又稱畢氏定理或畢達哥拉斯定理。其斷言，若直角三角形的其中一邊 $c$ 為斜邊，即 $c$ 的對角 $\gamma =90^{\circ }$ ，則

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。

勾股定理的逆定理亦成立，即若三角形滿足

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，

則

$\gamma =90^{\circ }$

正弦定理

主條目：正弦定理

設 $R$ 為三角形外接圓半徑，則

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R$

餘弦定理

主條目：餘弦定理

對於任意三角形：

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha ,$

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos \beta ,$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma .$

勾股定理是本定理的特殊情況，即當角 $\alpha =90^{\circ }\,$ 時， $\cos \alpha =0$ ，於是 $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha$ 化簡為 $a^{2}=b^{2}+c^{2}$ 。

全等及相似

全等三角形

主條目：全等三角形

三角形具有穩定性，若二個三角形有以下的邊角關係確定後，它的形狀、大小就不會改變，二個三角形即為全等三角形。全等三角形的判斷準則有以下幾種：

• SSS（Side-Side-Side，邊、邊、邊）：各三角形的三條邊的長度都對應地相等。
• SAS（Side-Angle-Side，邊、角、邊）：各三角形的其中兩條邊的長度都對應地相等，且兩條邊夾著的角都對應地相等。
• ASA（Angle-Side-Angle，角、邊、角）：各三角形的其中兩個角都對應地相等，且兩個角夾著的邊都對應地相等。
• RHS（Right Angle-Hypotenuse-Side，直角、斜邊、邊）：在直角三角形中，斜邊及一條直角邊對應地相等。
• AAS（Angle-Angle-Side，角、角、邊）：各三角形的其中兩個角都對應地相等，且其中一組對應角的對邊也對應地相等。

SSA（Side-Side-Angle、邊、邊、角）不能保證兩個三角形全等，除非該角大於等於90°，此時可以保證全等。

相似三角形

• AA（Angle-Angle，角、角）：各三角形的其中兩個角的都對應地相等。（或稱AAA（Angle-Angle-Angle，角、角、角））
• 三邊成比例（3 sides proportional）：各三角形的三條邊的長度都成同一比例。
• 兩邊成比例且夾角相等（ratio of 2 sides, inc.∠）：各三角形的兩條邊之長度都成同一比例，且兩條邊之夾角都對應地相等。（或稱 2 sides proportional, inc. ∠ equal）

特殊線段

三角形中有著一些特殊線段，是三角形研究的重要對象。

• 中線（median）：三角形一邊中點與這邊所對頂點的連線段。
• 高線（altitude）：從三角形一個頂點向它的對邊所作的垂線段。
• 角平分線（angle bisector）：平分三角形一角、一個端點在這一角的對邊上的線段。
• 垂直平分線（perpendicular bisector）：通過三角形一邊中點與該邊所垂直的線段，又稱中垂線。

以上特殊線段，每個三角形均有三條，且三線共點。

中線長度

設在$\Delta ABC\,$中，若三邊$a$、$b$、$c\,$的中線分別為$m_{a}$、$m_{b}$、$m_{c}$，則：

$m_{a}={\sqrt {{\frac {1}{2}}b^{2}+{\frac {1}{2}}c^{2}-{\frac {1}{4}}a^{2}}}$

$m_{b}={\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}+{\frac {1}{2}}c^{2}-{\frac {1}{4}}b^{2}}}$

$m_{c}={\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}+{\frac {1}{2}}b^{2}-{\frac {1}{4}}c^{2}}}$

高線長度

設在$\Delta ABC\,$中，連接三個頂點$A$、$B$、$C$上的高分別記作$h_{a}$、$h_{b}$、$h_{c}$，則：

$h_{a}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}}$

$h_{b}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{b}}$

$h_{c}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{c}}$

其中 $s={\frac {a+b+c}{2}}$ 。

角平分線長度

設在$\Delta ABC\,$中，若三個角$A$、$B$、$C$的角平分線分別為$t_{a}$、$t_{b}$、$t_{c}$，則：

$t_{a}={\frac {1}{b+c}}{\sqrt {\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)bc}}$

$t_{b}={\frac {1}{a+c}}{\sqrt {\left(a+c+b\right)\left(a+c-b\right)ac}}$

$t_{c}={\frac {1}{a+b}}{\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)ab}}$

三角形的心

三角形的內心(Incenter) 、外心(Circumcenter)、垂心(Orthocenter) 及形心(Centroid)稱為三角形的四心，定義如下：

名稱	定義	圖示	備註
內心	三個內角的角平分線的交點		該點為三角形內切圓的圓心。
外心	三條邊的中垂線的交點		該點為三角形外接圓的圓心。
垂心	三條高線的交點
形心（重心）	三條中線的交點		被交點劃分的線段比例為1:2（靠近角的一段較長）。

關於三角形的四心，有這樣的一首詩：

“ 內心全靠角平分，

外心中點垂線伸，
垂心垂直畫三高，
形心角連線中心。

”

垂心（藍）、形心（黃）和外心（綠）能連成一線，且成比例1:2，稱為歐拉線，與九點圓的圓心（紅）四點共線，為垂心和形心線段的中點。

連同以下的旁心，合稱為三角形的五心：

名稱	定義	圖示	備註
旁心	外角的角平分線的交點		有三個，為三角形某一邊上的旁切圓的圓心。

外接圓和內切圓半徑

設外接圓半徑為$R$ ， 內切圓半徑為$r$ ，則：

$R={\frac {abc}{\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}}}={\frac {abc}{4\triangle }}$

$r={\frac {\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}}{2\left(a+b+c\right)}}={\frac {\triangle }{s}}$

其中$\triangle$為三角形面積；$s$為三角形半周長，$s={\frac {a+b+c}{2}}$

面積

基本公式

三角形的面積 $A$ 是底邊 $b$ 與高 $h$ 乘積的一半，即：

$A={\frac {1}{2}}bh$，

其中的高是指底邊與對角的垂直距離。

證明

三角形的面積可表示為一長方形面積的一半。

從右圖可知，將兩個全等三角形相拼，可得一平行四邊形。而將該平行四邊形分割填補，正好能得到一個面積等於 $bh$ 的長方形。因此原來的三角形面積為

$A={\frac {1}{2}}bh$。

證畢。

已知兩邊及其夾角

設 $a$ $b$ 為已知的兩邊， $\gamma$ 為該兩邊的夾角，則三角形面積是：

$A={\frac {1}{2}}ab\sin {\gamma }$。

證明

三角形的高h能以正弦的定義表示。

觀察右圖，根據正弦的定義：

$\sin \gamma ={\frac {h}{a}}$。

因此：

$h=a\sin \gamma$。

將此式代入基本公式，可得：

$A={\frac {1}{2}}b(a\sin \gamma )={\frac {1}{2}}ab\sin {\gamma }$。

證畢。

已知兩角及其夾邊

$\beta$ 、 $\gamma$ 為已知的兩角， $a$ 為該兩角的夾邊，則三角形面積是：

$A={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin(\beta +\gamma )}}$。

證明

三角形的面積能從兩角及其夾邊求得。

從正弦定理可知：

${\begin{aligned}{\frac {b}{\sin \beta }}&={\frac {a}{\sin \alpha }}\\b&={\frac {a\sin \beta }{\sin \alpha }}\\\end{aligned}}$

代入 $A={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma$ ，得：

$A={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin \alpha }}$。

注意到$\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$，因此：

${\begin{aligned}A&={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin[180^{\circ }-(\beta +\gamma )]}}\\&={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin(\beta +\gamma )}}\\\end{aligned}}$

證畢。

已知三邊長

海倫公式，其表示形式為：

$A={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}$，

其中 $s$ 等於三角形的半周長，即：

$s={\frac {a+b+c}{2}}$

秦九韶亦求過類似的公式，稱為三斜求積法：

$A={\sqrt {{\frac {1}{4}}{\left[c^{2}a^{2}-\left({\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}\right]}}}$

也有用冪和來表示的公式：

${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\\end{aligned}}$

證明

將海倫公式略為變形，知

$16A^{2}=[(a+b)+c][(a+b)-c]\times [c+(a-b)][c-(a-b)]$

多次使用平方差公式，得

${\begin{aligned}16A^{2}&=[(a+b)^{2}-c^{2}]\times [c^{2}-(a-b)^{2}]\\&=[2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2})]\times [2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2})]\\&=(2ab)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\\&=4a^{2}b^{2}-(a^{4}+b^{4}+c^{4}+2a^{2}b^{2}-2b^{2}c^{2}-2a^{2}c^{2})\\&=(2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\&=2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\\end{aligned}}$

等號兩邊開根號，再同除以4，得

${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\\end{aligned}}$

亦可用Cayley–Menger行列式表示的公式：

$16\cdot A^{2}=-{\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\\\end{vmatrix}}$

基於海倫公式在三角形擁有非常小的角度時並不數值穩定，有一個變化的計法。設 $a\geq b\geq c$ ，三角形面積為：

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {[a+(b+c)][c-(a-b)][c+(a-b)][a+(b-c)]}}$。

證明

設 $a$ 、 $b$、$c$為三角形三條邊， $\alpha$ 、 $\beta$ 、 $\gamma$ 為相應邊的對角。從餘弦定理可知：

$\cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}$

以畢氏三角恆等式可得：

$\sin \gamma ={\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}$。

將此式代入$A={\frac {1}{2}}ab\sin {\gamma }$，得：

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}$。

因式分解及簡化後可得：

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)}}$

代入$s={\frac {a+b+c}{2}}$，即可證畢。

已知坐標系中三頂點坐標

由 $(x_{1},y_{1})$ 、 $(x_{2},y_{2})$ 及 $(x_{3},y_{3})$ 三個頂點構成的三角形，其面積可用行列式的絕對值表示：

$A=\left|{\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}\right|$

證明

無論三角形的頂點位置如何，該三角形總可以用一個直角梯形（或矩形）和兩個直角三角形面積的和差來表示，而在直角坐標系中，已知直角梯形（或矩形）和直角三角形的頂點的坐標，該三角形的面積容易求出，即用上述的行列式表示。

若三個頂點設在三維坐標繫上，即由 $(x_{1},y_{1},z_{1})$ 、 $(x_{2},y_{2},z_{2})$ 及 $(x_{3},y_{3},z_{3})$ 三個頂點構成三角形，其面積等於各自在主平面上投影面積的畢氏和，即：

$A={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}y_{1}&z_{1}&1\\y_{2}&z_{2}&1\\y_{3}&z_{3}&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}z_{1}&x_{1}&1\\z_{2}&x_{2}&1\\z_{3}&x_{3}&1\end{vmatrix}}^{2}}}$

已知周界及內切圓或外接圓半徑

設三角形三邊邊長分別為 $a$ 、 $b$ 及 $c$ ，三角形半周長（ ${\frac {a+b+c}{2}}$ ）為 $s$ ，內切圓半徑為 $r$，則：

$A=sr$

若設外接圓半徑為 $R$ ，則：

$A={\frac {abc}{4R}}$

證明

內切圓半徑公式

三角形被三條角平分線分成三分。

根據右圖，設 ${\overline {AB}}=c$ ， ${\overline {AC}}=b$ ， ${\overline {BC}}=a$ ，則三角形面積可表示為：

${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}ar+{\frac {1}{2}}br+{\frac {1}{2}}cr\\&={\frac {r(a+b+c)}{2}}\\&=rs\end{aligned}}$

外接圓半徑公式

根據正弦定理：

${\begin{aligned}{\frac {c}{\sin \gamma }}&=2R\\\sin \gamma &={\frac {c}{2R}}\\\end{aligned}}$

因此：

${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma \\&={\frac {1}{2}}ab\left({\frac {c}{2R}}\right)\\&={\frac {abc}{4R}}\end{aligned}}$

已知兩邊向量

設從一角出發，引出兩邊的向量為 $\mathbf {a}$ 及 $\mathbf {b}$ ，三角形的面積為：

$A={\frac {1}{2}}|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |$

證明

根據向量積定義，$|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \gamma$， 其中 $\gamma$ 是兩支向量的夾角。

因此：

${\frac {1}{2}}|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |={\frac {1}{2}}|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \gamma =A$

證畢。

半角定理

在三角形$ABC\,$中，三個角的半角的正切和三邊有如下關係：

${\begin{aligned}\tan {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\dfrac {(a+c-b)(a+b-c)}{(a+b+c)(b+c-a)}}}\\\tan {\frac {B}{2}}&={\sqrt {\dfrac {(a+b-c)(b+c-a)}{(a+b+c)(a+c-b)}}}\\\tan {\frac {C}{2}}&={\sqrt {\dfrac {(b+c-a)(a+c-b)}{(a+b+c)(a+b-c)}}}\\\end{aligned}}$

證明

以正弦及餘弦之比表示正切：

$\tan {\frac {A}{2}}={\frac {\sin {\frac {A}{2}}}{\cos {\frac {A}{2}}}}$

因為

$\sin {\frac {A}{2}}>0$

$\tan {\frac {A}{2}}>0$

所以

$\sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos {A}}{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)}}$

$={\sqrt {\frac {a^{2}-{\left(b-c\right)}^{2}}{4bc}}}$

$={\sqrt {\frac {\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)}{4bc}}}$

而

$\cos {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos {A}}{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)}}$

$={\sqrt {\frac {{\left(b+c\right)}^{2}-a^{2}}{4bc}}}$

$={\sqrt {\frac {\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)}{4bc}}}$

所以

${\begin{aligned}\tan {\frac {A}{2}}&={\frac {\sin {\frac {A}{2}}}{\cos {\frac {A}{2}}}}\\&={\frac {\sqrt {\cfrac {(a+b-c)(a+c-b)}{4bc}}}{\sqrt {\cfrac {(b+c+a)(b+c-a)}{4bc}}}}\\&={\sqrt {\frac {(a+b-c)(a+c-b)}{(b+c+a)(b+c-a)}}}\end{aligned}}$

同理可得

$\tan {\frac {B}{2}}={\sqrt {\dfrac {(a+b-c)(b+c-a)}{(a+b+c)(a+c-b)}}}$

$\tan {\frac {C}{2}}={\sqrt {\dfrac {(b+c-a)(a+c-b)}{(a+b+c)(a+b-c)}}}$

其他有關三角形的定理

• 外角定理
• 拿破崙三角形
• 費馬點
• 歐拉線
• 梅涅勞斯定理
• 樞紐定理
• 維維亞尼定理
• 莫雷角三分線定理

參看

• 三角學
• 三-橢圓形