截角十二面体
在几何学中，截角十二面体是一种由正十边形和正三角形组成的三十二面体[1]，是一种阿基米德立体[2]。其每个顶点都是1个三角形和2个十边形的公共顶点，具有每个顶角相等的性质，因此截角十二面体是一种半正多面体[3]。
 (按这里观看旋转模型) | |||||
| 类别 | 半正多面体 | ||||
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| 对偶多面体 | 三角化二十面体 | ||||
| 识别 | |||||
| 名称 | 截角十二面体 | ||||
| 参考索引 | U26, C29, W10 | ||||
| 鲍尔斯缩写 | tid | ||||
| 数学表示法 | |||||
| 考克斯特符号 |     | ||||
| 施莱夫利符号 | t{5,3} | ||||
| 威佐夫符号 | 2 3 | 5 | ||||
| 康威表示法 | tD | ||||
| 性质 | |||||
| 面 | 32 | ||||
| 边 | 90 | ||||
| 顶点 | 60 | ||||
| 欧拉特征数 | F=32, E=90, V=60 （χ=2） | ||||
| 组成与布局 | |||||
| 面的种类 | 正三角形 正十边形 | ||||
| 面的布局 | 20个{3} 12个{10} | ||||
| 顶点图 | 3.10.10 | ||||
| 对称性 | |||||
| 对称群 | Ih群 | ||||
| 特性 | |||||
| - | |||||
| 图像 | |||||
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性质 编辑
截角十二面体共有32个面、90条边和60个顶点[4]，每个顶点都是1个三角形和2个十边形的公共顶点，其顶点图可以用3.10.10来表示，也可以简写为3.102[5]。
构造 编辑
截角十二面体可以经由正十二面体透过截角变换构造而成。截角变换使得正十二面体原本的正五边形面变成正十边形面，并在原本的顶点处形成正三角形。
体积与表面积 编辑
顶点坐标 编辑
边长为2φ − 2且几何中心位于原点的截角十二面体[6]其顶点坐标为[7]：
- 、
- 、
- (±φ, ±2, ±(φ + 1))。
其中φ = ，为黄金比例.
球面镶嵌和施莱格尔图 编辑
截角十二面体对应的结构也可以构建成球面镶嵌，并以球极平面投影的方式呈现。
| 正投影图 | 球极平面投影 | |
|---|---|---|
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 以十边形为中心 |
 以正三角形为中心 |
| 透视图 | 施莱格尔图 | |
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顶点布局 编辑
有一些多面体与截角十二面体具有相同的顶点布局，换句话说，及他们与截角十二面体共用顶点、或者可以具有相同的顶点坐标。这些多面体有[8][9][10]：
 截角十二面体（原像） |
 大二十合二十合十二体 |
 大双三角十二面截半二十面体 |
 大十二合二十面体 |
相关多面体及密铺 编辑
截角二十面体是正二十面体经过截半变换后的结果，其他也是由正二十面体透过康威变换得到的多面体有：
| 对称群: [5,3], (*532) | [5,3]+, (532) | ||||||
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| {5,3} | t0,1{5,3} | t1{5,3} | t0,1{3,5} | {3,5} | t0,2{5,3} | t0,1,2{5,3} | s{5,3} |
| 半正多面体对偶 | |||||||
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| V5.5.5 | V3.10.10 | V3.5.3.5 | V5.6.6 | V3.3.3.3.3 | V3.4.5.4 | V4.6.10 | V3.3.3.3.5 |
截角二十面体可以独立填满双曲仿紧三维空间，这种由几何结构称为截角十二面体堆砌[11]。
参见 编辑
参考文献 编辑
- Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)
- Cromwell, P. Polyhedra. United Kingdom: Cambridge. 1997: 79-86 Archimedean solids. ISBN 0-521-55432-2.
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Truncated Dodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
- ^ Cromwell, P. Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999). Ch.2 p.79-86 Archimedean solids
- ^ Kasahara, K. "The Final Semiregular Polyhedron". Origami Omnibus: Paper-Folding for Everyone.. Tokyo: Japan Publications. 1988: p. 229. ISBN 978-4817090010.
- ^ Geometry Technologies. "Truncated Dodecahedron.". scienceu. [2016-08-30]. （原始内容存档于2016-08-06）.
- ^ Cundy, H. and Rollett, A. "Truncated Dodecahedron. 3.102." §3.7.9 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., p. 109, 1989. ISBN 978-0906212202
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Icosahedral group. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
- ^ Archimedean Solids: Truncated Dodecahedron. dmccooey.com. （原始内容存档于2016-03-12）.
- ^ Weisstein, Eric W. (编). 大二十合二十合十二體. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
- ^ Weisstein, Eric W. (编). 大二重三角十二面截半二十面體. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
- ^ Weisstein, Eric W. (编). 大十二合二十面體. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
- ^ N.W. Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
外部链接 编辑
- 埃里克·韦斯坦因, 截角十二面体 （参阅阿基米德立体） 于MathWorld（英文）
- Klitzing, Richard. 3D convex uniform polyhedra o3x5x - tid. bendwavy.org.
- Editable printable net of a truncated dodecahedron with interactive 3D view （页面存档备份，存于互联网档案馆）
- The Uniform Polyhedra （页面存档备份，存于互联网档案馆）
- Virtual Reality Polyhedra （页面存档备份，存于互联网档案馆） The Encyclopedia of Polyhedra