截角十二面体

几何学中,截角十二面体是一种由正十边形正三角形组成的三十二面体[1],是一种阿基米德立体[2]。其每个顶点都是1个三角形和2个十边形的公共顶点,具有每个顶角相等的性质,因此截角十二面体是一种半正多面体[3]

截角十二面体
截角十二面体
(按这里观看旋转模型)
类别半正多面体
对偶多面体三角化二十面体在维基数据编辑
识别
名称截角十二面体
参考索引U26, C29, W10
鲍尔斯缩写
verse-and-dimensions的wikiaBowers acronym
tid在维基数据编辑
数学表示法
考克斯特符号
英语Coxeter-Dynkin diagram
施莱夫利符号t{5,3}在维基数据编辑
威佐夫符号
英语Wythoff symbol
2 3 | 5
康威表示法tD在维基数据编辑
性质
32
90
顶点60
欧拉特征数F=32, E=90, V=60 (χ=2)
组成与布局
面的种类正三角形
正十边形
面的布局
英语Face configuration
20个{3}
12个{10}
顶点图3.10.10
对称性
对称群Ih
特性
-
图像
立体图
3.10.10
顶点图

三角化二十面体
对偶多面体

展开图

性质

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截角十二面体共有32个面、90条边和60个顶点[4],每个顶点都是1个三角形和2个十边形的公共顶点,其顶点图可以用3.10.10来表示,也可以简写为3.102[5]

构造

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截角十二面体可以经由正十二面体透过截角变换构造而成。截角变换使得正十二面体原本的正五边形面变成正十边形面,并在原本的顶点处形成正三角形

体积与表面积

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边长为a的截角十二面体体积V和表面积A分别为:

 
 

顶点坐标

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边长为2φ − 2且几何中心位于原点的截角十二面体[6]其顶点坐标[7]

 
 
(±φ, ±2, ±(φ + 1))

其中φ =  ,为黄金比例.

球面镶嵌和施莱格尔图

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截角十二面体对应的结构也可以构建成球面镶嵌,并以球极平面投影的方式呈现。

正投影图英语Orthographic projection 球极平面投影
   
以十边形为中心
 
以正三角形为中心
透视图 施莱格尔图
     

顶点布局

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有一些多面体与截角十二面体具有相同的顶点布局英语Vertex_arrangement,换句话说,及他们与截角十二面体共用顶点、或者可以具有相同的顶点坐标。这些多面体有[8][9][10]

 
截角十二面体(原像
 
大二十合二十合十二体英语Great icosicosidodecahedron
 
大双三角十二面截半二十面体
 
大十二合二十面体英语Great dodecicosahedron

相关多面体及密铺

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截角二十面体是正二十面体经过截半变换后的结果,其他也是由正二十面体透过康威变换得到的多面体有:

正二十面体家族半正多面体
对称群: [5,3]英语Icosahedral symmetry, (*532) [5,3]+, (532)
                                               
               
{5,3} t0,1{5,3} t1{5,3} t0,1{3,5} {3,5} t0,2{5,3} t0,1,2{5,3} s{5,3}
半正多面体对偶
                                               
               
V5.5.5 V3.10.10 V3.5.3.5 V5.6.6 V3.3.3.3.3 V3.4.5.4 V4.6.10 V3.3.3.3.5


截角二十面体可以独立填满双曲仿紧三维空间,这种由几何结构称为截角十二面体堆砌[11]

 

参见

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参考文献

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  1. Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X.  (Section 3-9)
  2. Cromwell, P. Polyhedra. United Kingdom: Cambridge. 1997: 79-86 Archimedean solids. ISBN 0-521-55432-2. 
  1. ^ Weisstein, Eric W. (编). Truncated Dodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  2. ^ Cromwell, P. Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999). Ch.2 p.79-86 Archimedean solids
  3. ^ Kasahara, K. "The Final Semiregular Polyhedron". Origami Omnibus: Paper-Folding for Everyone.. Tokyo: Japan Publications. 1988: p. 229. ISBN 978-4817090010. 
  4. ^ Geometry Technologies. "Truncated Dodecahedron.". scienceu. [2016-08-30]. (原始内容存档于2016-08-06). 
  5. ^ Cundy, H. and Rollett, A. "Truncated Dodecahedron. 3.102." §3.7.9 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., p. 109, 1989. ISBN 978-0906212202
  6. ^ Weisstein, Eric W. (编). Icosahedral group. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  7. ^ Archimedean Solids: Truncated Dodecahedron. dmccooey.com. (原始内容存档于2016-03-12). 
  8. ^ Weisstein, Eric W. (编). 大二十合二十合十二體. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  9. ^ Weisstein, Eric W. (编). 大二重三角十二面截半二十面體. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  10. ^ Weisstein, Eric W. (编). 大十二合二十面體. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  11. ^ N.W. Johnson英语Norman Johnson (mathematician): The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966

外部链接

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