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三角面多面体

在几何学中，三角面多面体（英语：deltahedron，复数形为deltahedra）是指每个面都是三角形的多面体[1]:73。其英文名称（deltahedron）是取自大写的希腊字母δ：Δ，这个字母的形状为三角形，来表示这类多面体面皆为三角形的特性。若多面体不但每个面都是三角形，而且每个三角形皆为正三角形，则称之为正三角面多面体。正三角面多面体有无限多种[2][3]，根据握手引理（英语：Handshaking lemma），正三角面多面体皆具有偶数个面[4][5]。在无限多种正三角面多面体中仅有8种是凸多面体[6][7]，它们分别具有4、6、8、10、12、14、16和20个面。[8]

三角面多面体
部分的三角面多面体
四连正四面体
四连正四面体 		正二十面体
正二十面体
扭棱锲形体
扭棱锲形体 		大二十面体
大二十面体
面数最多的严格凸正三角面多面体是正二十面体

命名

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三角面多面体一名称来自于这类多面体的特性——所有面都是三角形组成的。而其英文名称“deltahedron”则取外形近似三角形的希腊字母Δ之英语名称“delta”[9]作为字首，并加上多面体字尾“-hedron”的组合词来表示这种多面体所有面都是三角形[10]。在英文的语境中，“deltahedron”一词所表达的三角面多面体还须满足每个面都是正三角形的条件，[10][2]而中文语境的“三角面多面体”一词所代表的多面体的面则未必需要是正三角形[11]。

八个凸正三角面多面体

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凸正三角面多面体共有8种，其中3种是正多面体（柏拉图立体），和5种非正多面体。[12]

正三角面多面体
图像 名称 面 边 顶点 顶点布局（英语：Vertex_configuration） 对称群
  正四面体 4 6 4 4 × 33 Td, [3,3]
  正八面体 8 12 6 6 × 34 Oh, [4,3]
  正二十面体 20 30 12 12 × 35 Ih, [5,3]
詹森多面体
图像 名称 面 边 顶点 顶点布局（英语：Vertex_configuration） 对称群
  双三角锥 6 9 5 2 × 33
3 × 34		 D3h, [3,2]
  双五角锥 10 15 7 5 × 34
2 × 35		 D5h, [5,2]
  扭棱锲形体 12 18 8 4 × 34
4 × 35		 D2d, [2,2]
  三侧锥三角柱 14 21 9 3 × 34
6 × 35		 D3h, [3,2]
  双四角锥反角柱 16 24 10 2 × 34
8 × 35		 D4d, [4,2]

凸正三角面多面体顶点的分支度仅能够是3、4或5。[13]在6个面的三角面多面体中，存在分支度为3和分支度为4的顶点。在10个面、12个面、14个面和16个面的三角面多面体中，有的顶点分支度为4，有的分支度为5。共有5个非正多面体的三角面多面体，其属于詹森多面体，即由正多边形组成的凸多面体。

18个面的凸正三角面多面体不存在[14]，然而，边收缩二十面体是一个18面体，且每个面都是三角形，但要保持严格凸的状态，这18个三角形不能为正三角形。[15]若用正三角形构成边收缩二十面体，则其会包括两组共面的三角形，每组共面的部分有三个三角形，而导致整个立体不是严格凸的多面体。[15][16]

种类

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柱体的侧面为正方形，因此柱体一般无法满足三角面多面体的定义，然而底面是三角形的柱体在侧面叠上三角锥则能确保所有面都是三角形，这种立体为三侧锥三角柱，是一种詹森多面体。锥体本身的侧面是三角形，但底面可能不是三角形，因此要满足三角面多面体的定义只有三角锥——连同底面也是三角形的锥体才是三角面多面体（等同于正四面体）。双锥体为将两个锥体底面对底面叠合形成的多面体，因此仅会留下锥体的侧面。[17][18]锥体的侧面皆为三角形，因此双锥体皆为三角面多面体。而正三角面多面体则是同时要求面要是正三角形的多面体，有这性质的双锥体仅有双三角锥、双四角锥（等价于正八面体）[19]和双五角锥。双六角锥若需要每个面都是正三角形则会导致面共面而无法形成严格凸的多面体。除了双锥体外，另一种锥体的变化为双锥反柱体，即把两个锥体叠到反柱体的两个底面上，这样立体除了锥体的侧面外，剩下的反柱体侧面也都是三角形的，就能满足三角面多面体的定义。而正三角面多面体则是同时要求面要是正三角形的多面体，有这性质的双锥反柱体仅有双四角锥反角柱、双五角锥反角柱（等同于正二十面体）[20]，而双二角锥反角柱是退化且非凸，双六角锥反角柱则是加入的锥体侧面无法在不退化成共面的情况下维持其正三角形的面。

正三角面双锥体
     
双三角锥 双四角锥
（正八面体） 		双五角锥
正三角面双锥反柱体
   
双四角锥反角柱 双五角锥反角柱
（正二十面体）

剩馀的最后一个多面体——扭棱锲形体是正三角面多面体中唯一一个不能由简单的多面体构成或抽换元素而成的立体[21]。但其可以视为是锲形体经过扭棱变换后的像[22]。

非严格凸的情况

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若允许无限延伸的三角形镶嵌的局部作为三角面多面体的一部分，则有无数种可能的共面三角形的情况。[15]若将共面的三角形集合视为单一面，则可以计算较小的面、边和顶点的集合。共面的三角形可能合并成的形状包括菱形、梯形、六边形或其他等边多边形面。考虑每个面都是凸多边形时，则有 、  、  、  、  、  、  、  、 ……等情况。[21]

面数较少的例子包括：

共面三角面多面体
图像 名称 面 边 顶点 顶点布局（英语：Vertex_configuration） 对称群
  侧锥八面体（英语：Augmented octahedron）（退化）
三角锥反角柱（退化） 		10   15 7 1 × 33
3 × 34
3 × 35
0 × 36 		C3v, [3]
4  
3  		 12
  三方偏方面体
双三角锥反角柱（退化）
对二侧锥八面体（退化） 		12   18 8 2 × 33
0 × 34
6 × 35
0 × 36 		C3v, [3]
6   12
  二侧锥八面体（退化） 12   18 8 2 × 33
1 × 34
4 × 35
1 × 36 		C2v, [2]
2  
2  
2  		 11 7
  三角锥台
均三侧锥八面体（退化） 		14   21 9 3 × 33
0 × 34
3 × 35
3 × 36 		C3v, [3]
1  
3  
1  		 9 6
  长八面体（英语：Elongated octahedron） 16   24 10 0 × 33
4 × 34
4 × 35
2 × 36 		D2h, [2,2]
4  
4  		 12 6
  正四面体
均四侧锥八面体（退化） 		16   24 10 4 × 33
0 × 34
0 × 35
6 × 36 		Td, [3,3]
4   6 4
  3个正四面体与2个正八面体 18   27 11 1 × 33
2 × 34
5 × 35
3 × 36 		D2h, [2,2]
2  
1  
2  
2  		 14 9
  边收缩二十面体（退化） 18   27 11 0 × 33
2 × 34
8 × 35
1 × 36 		C2v, [2]
12  
2  		 22 10
  双三角锥台 20   30 12 0 × 33
3 × 34
6 × 35
3 × 36 		D3h, [3,2]
2  
6  		 15 9
  三角帐塔 22   33 13 0 × 33
3 × 34
6 × 35
4 × 36 		C3v, [3]
3  
3  
1  
1  		 15 9
  双三角锥 24   36 14 2 × 33
3 × 34
0 × 35
9 × 36 		D3h, [3]
6   9 5
  六角反棱柱
双六角锥反角柱（退化） 		24   36 14 0 × 33
0 × 34
12 × 35
2 × 36 		D6d, [12,2+]
12  
2  		 24 12
  截角四面体 28   42 16 0 × 33
0 × 34
12 × 35
4 × 36 		Td, [3,3]
4  
4  		 18 12
  四角化截半立方体（退化）
正八面体 		32   48 18 0 × 33
12 × 34
0 × 35
6 × 36 		Oh, [4,3]
8   12 6

非凸的形式

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非凸的正三角面多面体有无限多种。

例如具有自相交面的正三角面多面体：

其他非凸的例子例如在正多面体的面上叠上正锥体：[23][2]

         
非凸三角化四面体 非凸四角化立方体 非凸三角化八面体
（星形八面体） 		非凸五角化十二面体 非凸三角化二十面体
12个正三角形 24个正三角形 60个正三角形

此外，多连正四面体（日语：正四面体リング）也是正三角面多面体：

多连正四面体（日语：正四面体リング）
     
船形体[24]
8个正三角形 10个正三角形 12个正三角形

康迪三角面多面体

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为了能列举非凸的三角面多面体，亨利·马丁·康迪（英语：Martyn_Cundy）于1952年在数学公报上发表了题为“Deltahedra”的论文[25]，并提出了一个关于三角面多面体的问题以便枚举非凸的三角面多面体，其规定需要存在2个顶点形式，且三角形要完全在立体外部，并排除了面与面自相交的多面体[26]，例如五种凸的属于詹森多面体的三角面多面体就符合这个条件，因此有时又会把这类三角面多面体称为双形三角面多面体（Biform Deltahedra）[27]。

康迪在其文献中共列出了17种非凸的三角面多面体[2]，其中有3种被标记为无效，例如出现重合边或顶点形式多于2种。[27]在这17种多面体中，有一种为五十九种星形二十面体之一，即凹五角锥十二面体。[27]

乔治·奥尔舍夫斯基（George Olshevsky）对这类多面体进行了广泛的搜索又发现了11种满足这些条件的非凸三角面多面体。[28]

部分的康迪三角面多面体
 
四维单纯形的展开图 		 
凹五角锥十二面体
12个面、18条边、8个顶点 60个面、90条边、32个顶点

三角面正多面体

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不论凸与非凸，则本身是正三角面多面体的正多面体共有四种：[23]

正三角面多面体
图像 名称 面 边 顶点 顶点布局（英语：Vertex_configuration） 对称群
  正四面体 4 6 4 4 × 33 Td, [3,3]
  正八面体 8 12 6 6 × 34 Oh, [4,3]
  正二十面体 20 30 12 12 × 35 Ih, [5,3]
  大二十面体 20 30 12 12 × (35)/2 Ih, H3, [5,3]

参见

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参考文献

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  1. ^ Wells, D.G. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Penguin books. Penguin Books. 1986 [2022-07-27]. ISBN 9780140080292. LCCN lc87130869. （原始内容存档于2022-07-27）. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 Weisstein, Eric W. (编). Deltahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
  3. ^ George W. Hart. Convex Deltahedra. 1996 [2022-07-28]. （原始内容存档于2022-07-28）. 
  4. ^ William A. McWorter Jr. Matrices Help Relationships. cut-the-knot.org. [2022-07-17]. （原始内容存档于2022-07-17）. 
  5. ^ George W. Hart. Show that any deltahedron has an even number of faces. 1996 [2022-07-28]. （原始内容存档于2019-09-09）. 
  6. ^ Eric W. Weisstein. Deltahedron. mathserver.sdu.edu.cn. （原始内容存档于2011-08-08）. 
  7. ^ Peter Messer. Möbius Deltahedra. 1998 [2022-07-28]. （原始内容存档于2022-07-28）. 
  8. ^ Freudenthal, H; van der Waerden, B. L., Over een bewering van Euclides ("On an Assertion of Euclid"), Simon Stevin, 1947, 25: 115–128 （荷兰语） （其表明只有8个凸正三角面多面体）
  9. ^ delta. vocabulary.com. [2022-07-28]. （原始内容存档于2022-07-28）. 
  10. ^ 10.0 10.1 Richard Klitzing. Deltahedra et al.. bendwavy.org. [2022-07-28]. （原始内容存档于2022-07-28）. 
  11. ^ 50個三角面 - 參數化設計的藝術應用. 中国公共艺术网. 2018-11-12 [2022-07-28]. （原始内容存档于2022-07-28）. 
  12. ^ The eight convex deltahedra (PDF). math.nus.edu.sg. （原始内容 (PDF)存档于2007-02-10）. 
  13. ^ The eight convex deltahedra. www.polyhedra-world.nc. 2008-09-30 [2022-07-28]. （原始内容存档于2022-07-30）. 
  14. ^ Trigg, Charles W., An Infinite Class of Deltahedra, Mathematics Magazine, 1978, 51 (1): 55–57, JSTOR 2689647, doi:10.1080/0025570X.1978.11976675 
  15. ^ 15.0 15.1 15.2 Roger Kaufman. The Convex Deltahedra And the Allowance of Coplanar Faces. www.interocitors.com. 2013 [2022-07-28]. （原始内容存档于2022-07-28）. 
  16. ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. The Symmetries of Things. 2008. ISBN 978-1-56881-220-5. (Chapter 26) The Grand Antiprism
  17. ^ Crystal Form, Zones, Crystal Habit. Tulane.edu. [16 September 2017]. （原始内容存档于2013-09-01）. 
  18. ^ The 48 Special Crystal Forms. 2013-09-18 [2020-11-18]. （原始内容存档于18 September 2013）. 
  19. ^ Octahedron, tetratetrahedron, triangular antiprism, square bipyramid. polyhedra.tessera.li. [2022-07-28]. （原始内容存档于2022-07-28）. 
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  21. ^ 21.0 21.1 Roger Kaufman. The Convex Deltahedra And the Allowance of Coplanar Faces. interocitors.com. 2013 [2022-07-17]. （原始内容存档于2015-10-19）. 
  22. ^ Snub disphenoid. eusebeia. [2019-09-28]. （原始内容存档于2019-09-28）. 
  23. ^ 23.0 23.1 23.2 Jim McNeill. Isogonal Deltahedra. orchidpalms.com. [2022-07-27]. （原始内容存档于2021-02-14）. 
  24. ^ Weisstein, Eric W. (编). Boat. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
  25. ^ H. Martyn Cundy（英语：Martyn_Cundy）, Deltahedra, Mathematical Gazette（英语：The Mathematical Gazette）, December 1952, 36: 263–266, JSTOR 3608204, doi:10.2307/3608204 
  26. ^ Roger Kaufman. Coptic Biform Deltahedra. www.interocitors.com. 2013 [2022-07-28]. （原始内容存档于2021-04-10）. 
  27. ^ 27.0 27.1 27.2 Roger Kaufman. The Cundy Deltahedra or Biform Deltahedra. www.interocitors.com. 2013 [2022-07-28]. （原始内容存档于2022-07-28）. 
  28. ^ George Olshevsky, Breaking Cundy's Deltahedra Record (PDF), unpublished manuscript, 2006 [2022-08-11], （原始内容存档 (PDF)于2022-07-28） 

延伸阅读

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外部链接

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