十一面体
在几何学中,十一面体(英语:Hendecahedron)是指具有十一个面的多面体[1]。没有任何十一面体是正十一面体,也就是说找不到面由正多边形组成且每个面全等、每个角相等的十一面体。
部分的十一面体 | |
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![]() 双对称十一面体 |
![]() 五角锥台锥 |
![]() 正五角锥柱 |
![]() 截顶角五方偏方面体 |
![]() 侧锥六角柱 |
![]() 二侧锥三角柱 |
命名
编辑十一面体的英文是Hendecahedron,其命名方式为Hen-代表一,deca代表十,然后结合多面体字尾-hedron,就得到十一面体Hendecahedron[2]。
常见的十一面体
编辑在所有凸十一面体中,包含镜射像共有440,564种拓朴结构明显差异的凸十一面体[3][4]。拓朴结构有明显差异意味著两种多面体无法透过移动顶点位置、扭曲或伸缩来相互变换的多面体,例如五角锥柱和九角柱无论如何变形都无法互相变换,因此拓朴结构不同,但九角柱和九角锥台可以透过伸缩其中一个九边形面来彼此互换,因此三角柱和三角锥台在拓朴上并无明显差异。
常见的十一面体有锥体和柱体、部分的詹森多面体和半正多面体,此处的半正多面体并非阿基米德立体,而是正九角柱。
其他十一面体还有九角柱、十角锥、正五角锥反角柱的对偶、双对称十一面体等多面体,其中双对称十一面体可以密铺空间。[5]
三角罩帐
编辑三角罩帐是指以三角形为底的罩帐,是一种十一面体,由1个三角形顶面、1个六边形底面、3个五边形侧面和6个三角形侧面组成,共有11个面、21条边和12个顶点,其中顶面的三角形与底面的六边形互相平行,侧面的三角形与五边形交错地围绕轴分布在周围。
以正三角形为底的三角罩帐称为正三角罩帐,其仅有顶面和底面为正多边形,分别为顶面的正三边形和底面的正六边形,侧面可能可以存在正三角形或存在正五边形,但有正三角形面时,五边形最多仅能是等边不等角的非正五边形;有正五边形面时,三角形会出现等腰三角形,故不属于詹森多面体。唯一属于詹森多面体的罩帐仅有正五角罩帐[6]。
正三角罩帐的对称群为C3v群,阶数为6阶。
截半三角柱
编辑在几何学中,截半三角柱是指经过截半变换后的三角柱,是一种十一面体[7],其侧面是正方形、底面是正三角形,另外还有6个等腰三角形面。
截半三角柱可由三角柱将边的中点当作新的顶点,旧的顶点消失,来构造,换句话说,即是用三角柱由一条棱斩到另一条棱的中点(即斩去三角柱的顶点,但不是截角)而成。
其具有D3h二面体群的对称性。
詹森多面体
编辑在十一面体中,有3个是詹森多面体,它们分别为:正五角锥柱、二侧锥三角柱、侧锥六角柱。
名称 | 种类 | 图像 | 编号 | 顶点 | 边 | 面 | 面的种类 | 对称性 | 展开图 |
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正五角锥柱 | 角锥柱 | J9[8] | 11 | 20 | 11 | 5个正三角形 5个正方形 1个正五边形 |
C5v, [5], (*55) | ||
二侧锥三角柱 | 锥体与柱体的组合 | J50[9] | 8 | 17 | 11 | 10个正三角形 1个正方形 |
C2v | ||
侧锥六角柱 | 锥体与柱体的组合 | J54[10] | 8 | 17 | 11 | 4个正三角形 5个正方形 2个六边形 |
C2v |
九角柱
编辑九角柱是一种底面为九边形的柱体,是十一面体的一种,由11个面、27条边和18个顶点组成[11],对偶多面体为双九角锥[12]。正九角柱代表每个面都是正多边形的九角柱,其每个顶点都是2个正方形和1个九边形的公共顶点,因此具有每个角等角的性质,可以归类为半正十一面体。而顶点都是2个正方形和1个九边形的公共顶点的这种顶角,在顶点图中以 表示。正九角柱在施莱夫利符号中可以利用{9}×{} 或 t{2, 9}来表示;在考克斯特—迪肯符号中可以利用 来表示;在威佐夫符号中可以利用2 9 | 2来表示;在康威多面体表示法中可以利用P9来表示。若一个正九角柱底边的边长为 、高为 ,则其体积 和表面积 为[13]:
十角锥
编辑十角锥是一种底面为十边形的锥体,是十一面体的一种,由11个面、20条边和11个顶点组成[14],其对偶多面体是自己本身[15]。正十角锥是一种底面为正十边形的十角锥。若一个正十角锥底边的边长为 、高为 ,则其体积 和表面积 为[15]:
十一面体列表
编辑名称 | 种类 | 图像 | 符号 | 顶点 | 边 | 面 | χ | 面的种类 | 对称性 | 展开图 |
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九角柱 | 棱柱体 | t{2,9} {9}x{} |
18 | 27 | 11 | 2 | 2个九边形 9个矩形 |
D9h, [9,2], (*922), order 36 | ||
十角锥 | 棱锥体 | ( )∨{10} | 11 | 20 | 11 | 2 | 1个十边形 10个三角形 |
C10v, [10], (*10 10) | ||
五角锥柱 | 角锥柱 詹森多面体 |
P5+Y5 | 11 | 20 | 11 | 2 | 5个三角形 5个正方形 1个五边形 |
C5v, [5], (*55) | ||
五角锥台锥 | 截角双锥 | 11 | 20 | 11 | 2 | 1个五边形 5个梯形 5个三角形 |
C5v, [5], (*55) | |||
三角罩帐 | 罩帐 | 12 | 21 | 11 | 2 | 1个三角形顶面 1个六边形底面 3个五边形侧面 6个三角形侧面 |
C3v, [3], (*33), order 6 | |||
截顶角五方偏方面体 | 截顶角偏方面体 | 16 | 25 | 11 | 2 | 1个五边形底面 5个五边形侧面 5个鹞形侧面 |
C5v, [5], (*55) | |||
截半三角柱 | 9 | 18 | 11 | 2 | 2个三角形 3个正方形 6个等腰三角形 |
D3h, [3,2], (*322), order 12 | ||||
截半双三角锥 | 9 | 18 | 11 | 2 | 3个正方形 8个三角形 |
D3h, [3,2], (*223) order 12 | ||||
双对称十一面体 | 空间充填多面体 | 11 | 20 | 11 | 2 | 4个筝形 2个菱形 4个等腰三角形 1个正方形 |
在化学中
编辑在化学中,将十八面体硼烷离子([B11H11]2−)的氢全部去掉后,可以得到一个结构,它是十八面体,再将每个硼原子做垂直于重心到硼原子的面,可构造成新的多面体,即为十八面体硼烷结构的对偶多面体,也是十一面体之一。[16]
双对称十一面体
编辑双对称十一面体(Bisymmetric Hendecahedron)是十一面体的一种多面体
柏拉图和阿基米德立体,只有少数可以密铺于空间,也就是说堆砌在一起,不留空隙,以填补空间。Guy Inchbald描述了一个有趣的多面体,可以以令人惊讶的方式利用11面体完成空间的密铺。[5][17][18]
图像 | 旋转动画 | 展开图 |
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曾有人提出一个十一面体[5],它的面数和顶点数是相同的[19],经过扭曲后,会得到不同的特性。最对称的自身对偶十一面体是双对称十一面体[20],它之所以会称为双对称是因为它有两个对称面[19]。
参考文献
编辑- ^ Thomas H. Sidebotham. The A to Z of Mathematics: A Basic Guide. John Wiley & Sons. 2003: 237. ISBN 9780471461630.
- ^ Schwartzman Steven. The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English MAA Spectrum. Washington, D.C. : The Mathematical Association of America,. 1994: 243. ISBN 9780883855119.
- ^ Steven Dutch: How Many Polyhedra are There? (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- ^ Counting polyhedra (页面存档备份,存于互联网档案馆) numericana.com [2016-1-10]
- ^ 5.0 5.1 5.2 Inchbald, Guy. "Five Space-Filling Polyhedra." The Mathematical Gazette 80, no. 489 (November 1996): 466-475.
- ^ Johnson, Norman W., Convex polyhedra with regular faces, Canadian Journal of Mathematics, 1966, 18: 169–200, MR 0185507, Zbl 0132.14603, doi:10.4153/cjm-1966-021-8.
- ^ 黄钰闵; 杨元蓁; 林凤美, 構成均勻凸多面體的條件式及幾何性質之探討 (PDF), 成渊高中小论文, [2021-08-02], (原始内容存档 (PDF)于2021-08-02)
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Elongated Pentagonal Pyramid. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语).
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Biaugmented triangular prism. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语).
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Augmented pentagonal prism. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语).
- ^ David I. McCooey. Simplest Canonical Polyhedron with D9h Symmetry: Enneagonal Prism. [2022-09-14]. (原始内容存档于2016-08-07).
- ^ David I. McCooey. Simplest Canonical Polyhedron with D9h Symmetry: Enneagonal Dipyramid. [2022-09-14]. (原始内容存档于2022-09-14).
- ^ Wolfram, Stephen. "enneagon prism". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research (英语).
- ^ David I. McCooey. Simplest Canonical Polyhedron with C10v Symmetry: Decagonal Pyramid. [2022-09-14]. (原始内容存档于2022-09-14).
- ^ 15.0 15.1 Wolfram, Stephen. "decagon pyramid". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research (英语).
- ^ Holleman, Arnold Frederik; Wiberg, Egon, Wiberg, Nils , 编, Inorganic Chemistry, 由Eagleson, Mary; Brewer, William翻译, San Diego/Berlin: Academic Press/De Gruyter: 1165, 2001, ISBN 0-12-352651-5
- ^ Space-Filling Bisymmetric Hendecahedron. [2013-04-11]. (原始内容存档于2013-03-28).
- ^ Anderson, Ian. "Constructing Tournament Designs." The Mathematical Gazette 73, no. 466 (December 1989): 284-292.
- ^ 19.0 19.1 A Self-Dual Hendecahedron (页面存档备份,存于互联网档案馆) steelpillow.com [2013-4-12]
- ^ Five space-filling polyhedra (页面存档备份,存于互联网档案馆) steelpillow.com [2013-4-12]