十一面體
在幾何學中,十一面體(英語:Hendecahedron)是指具有十一個面的多面體[1]。沒有任何十一面體是正十一面體,也就是說找不到面由正多邊形組成且每個面全等、每個角相等的十一面體。
部分的十一面體 | |
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![]() 雙對稱十一面體 |
![]() 五角錐台錐 |
![]() 正五角錐柱 |
![]() 截頂角五方偏方面體 |
![]() 側錐六角柱 |
![]() 二側錐三角柱 |
命名
編輯十一面體的英文是Hendecahedron,其命名方式為Hen-代表一,deca代表十,然後結合多面體字尾-hedron,就得到十一面體Hendecahedron[2]。
常見的十一面體
編輯在所有凸十一面體中,包含鏡射像共有440,564種拓樸結構明顯差異的凸十一面體[3][4]。拓樸結構有明顯差異意味着兩種多面體無法透過移動頂點位置、扭曲或伸縮來相互變換的多面體,例如五角錐柱和九角柱無論如何變形都無法互相變換,因此拓樸結構不同,但九角柱和九角錐台可以透過伸縮其中一個九邊形面來彼此互換,因此三角柱和三角錐台在拓樸上並無明顯差異。
常見的十一面體有錐體和柱體、部分的詹森多面體和半正多面體,此處的半正多面體並非阿基米德立體,而是正九角柱。
其他十一面體還有九角柱、十角錐、正五角錐反角柱的對偶、雙對稱十一面體等多面體,其中雙對稱十一面體可以密鋪空間。[5]
三角罩帳
編輯三角罩帳是指以三角形為底的罩帳,是一種十一面體,由1個三角形頂面、1個六邊形底面、3個五邊形側面和6個三角形側面組成,共有11個面、21條邊和12個頂點,其中頂面的三角形與底面的六邊形互相平行,側面的三角形與五邊形交錯地圍繞軸分佈在周圍。
以正三角形為底的三角罩帳稱為正三角罩帳,其僅有頂面和底面為正多邊形,分別為頂面的正三邊形和底面的正六邊形,側面可能可以存在正三角形或存在正五邊形,但有正三角形面時,五邊形最多僅能是等邊不等角的非正五邊形;有正五邊形面時,三角形會出現等腰三角形,故不屬於詹森多面體。唯一屬於詹森多面體的罩帳僅有正五角罩帳[6]。
正三角罩帳的對稱群為C3v群,階數為6階。
截半三角柱
編輯在幾何學中,截半三角柱是指經過截半變換後的三角柱,是一種十一面體[7],其側面是正方形、底面是正三角形,另外還有6個等腰三角形面。
截半三角柱可由三角柱將邊的中點當作新的頂點,舊的頂點消失,來構造,換句話說,即是用三角柱由一條棱斬到另一條棱的中點(即斬去三角柱的頂點,但不是截角)而成。
其具有D3h二面體群的對稱性。
詹森多面體
編輯在十一面體中,有3個是詹森多面體,它們分別為:正五角錐柱、二側錐三角柱、側錐六角柱。
名稱 | 種類 | 圖像 | 編號 | 頂點 | 邊 | 面 | 面的種類 | 對稱性 | 展開圖 |
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正五角錐柱 | 角錐柱 | J9[8] | 11 | 20 | 11 | 5個正三角形 5個正方形 1個正五邊形 |
C5v, [5], (*55) | ||
二側錐三角柱 | 錐體與柱體的組合 | J50[9] | 8 | 17 | 11 | 10個正三角形 1個正方形 |
C2v | ||
側錐六角柱 | 錐體與柱體的組合 | J54[10] | 8 | 17 | 11 | 4個正三角形 5個正方形 2個六邊形 |
C2v |
九角柱
編輯九角柱是一種底面為九邊形的柱體,是十一面體的一種,由11個面、27條邊和18個頂點組成[11],對偶多面體為雙九角錐[12]。正九角柱代表每個面都是正多邊形的九角柱,其每個頂點都是2個正方形和1個九邊形的公共頂點,因此具有每個角等角的性質,可以歸類為半正十一面體。而頂點都是2個正方形和1個九邊形的公共頂點的這種頂角,在頂點圖中以 表示。正九角柱在施萊夫利符號中可以利用{9}×{} 或 t{2, 9}來表示;在考克斯特—迪肯符號中可以利用 來表示;在威佐夫符號中可以利用2 9 | 2來表示;在康威多面體表示法中可以利用P9來表示。若一個正九角柱底邊的邊長為 、高為 ,則其體積 和表面積 為[13]:
十角錐
編輯十角錐是一種底面為十邊形的錐體,是十一面體的一種,由11個面、20條邊和11個頂點組成[14],其對偶多面體是自己本身[15]。正十角錐是一種底面為正十邊形的十角錐。若一個正十角錐底邊的邊長為 、高為 ,則其體積 和表面積 為[15]:
十一面體列表
編輯名稱 | 種類 | 圖像 | 符號 | 頂點 | 邊 | 面 | χ | 面的種類 | 對稱性 | 展開圖 |
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九角柱 | 稜柱體 | t{2,9} {9}x{} |
18 | 27 | 11 | 2 | 2個九邊形 9個矩形 |
D9h, [9,2], (*922), order 36 | ||
十角錐 | 稜錐體 | ( )∨{10} | 11 | 20 | 11 | 2 | 1個十邊形 10個三角形 |
C10v, [10], (*10 10) | ||
五角錐柱 | 角錐柱 詹森多面體 |
P5+Y5 | 11 | 20 | 11 | 2 | 5個三角形 5個正方形 1個五邊形 |
C5v, [5], (*55) | ||
五角錐台錐 | 截角雙錐 | 11 | 20 | 11 | 2 | 1個五邊形 5個梯形 5個三角形 |
C5v, [5], (*55) | |||
三角罩帳 | 罩帳 | 12 | 21 | 11 | 2 | 1個三角形頂面 1個六邊形底面 3個五邊形側面 6個三角形側面 |
C3v, [3], (*33), order 6 | |||
截頂角五方偏方面體 | 截頂角偏方面體 | 16 | 25 | 11 | 2 | 1個五邊形底面 5個五邊形側面 5個鳶形側面 |
C5v, [5], (*55) | |||
截半三角柱 | 9 | 18 | 11 | 2 | 2個三角形 3個正方形 6個等腰三角形 |
D3h, [3,2], (*322), order 12 | ||||
截半雙三角錐 | 9 | 18 | 11 | 2 | 3個正方形 8個三角形 |
D3h, [3,2], (*223) order 12 | ||||
雙對稱十一面體 | 空間充填多面體 | 11 | 20 | 11 | 2 | 4個箏形 2個菱形 4個等腰三角形 1個正方形 |
在化學中
編輯在化學中,將十八面體硼烷離子([B11H11]2−)的氫全部去掉後,可以得到一個結構,它是十八面體,再將每個硼原子做垂直於重心到硼原子的面,可構造成新的多面體,即為十八面體硼烷結構的對偶多面體,也是十一面體之一。[16]
雙對稱十一面體
編輯雙對稱十一面體(Bisymmetric Hendecahedron)是十一面體的一種多面體
柏拉圖和阿基米德立體,只有少數可以密鋪於空間,也就是說堆砌在一起,不留空隙,以填補空間。Guy Inchbald描述了一個有趣的多面體,可以以令人驚訝的方式利用11面體完成空間的密鋪。[5][17][18]
圖像 | 旋轉動畫 | 展開圖 |
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曾有人提出一個十一面體[5],它的面數和頂點數是相同的[19],經過扭曲後,會得到不同的特性。最對稱的自身對偶十一面體是雙對稱十一面體[20],它之所以會稱為雙對稱是因為它有兩個對稱面[19]。
參考文獻
編輯- ^ Thomas H. Sidebotham. The A to Z of Mathematics: A Basic Guide. John Wiley & Sons. 2003: 237. ISBN 9780471461630.
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- ^ Steven Dutch: How Many Polyhedra are There? (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)
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- ^ Johnson, Norman W., Convex polyhedra with regular faces, Canadian Journal of Mathematics, 1966, 18: 169–200, MR 0185507, Zbl 0132.14603, doi:10.4153/cjm-1966-021-8.
- ^ 黃鈺閔; 楊元蓁; 林鳳美, 構成均勻凸多面體的條件式及幾何性質之探討 (PDF), 成淵高中小論文, [2021-08-02], (原始內容存檔 (PDF)於2021-08-02)
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- ^ Anderson, Ian. "Constructing Tournament Designs." The Mathematical Gazette 73, no. 466 (December 1989): 284-292.
- ^ 19.0 19.1 A Self-Dual Hendecahedron (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) steelpillow.com [2013-4-12]
- ^ Five space-filling polyhedra (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) steelpillow.com [2013-4-12]