可均群

可均群是数学上一个特别的局部紧拓扑群G，具备了一种为在G上的有界函数取平均的操作，而且G在函数上的群作用，不会改变所取得的平均。

缘起

巴拿赫－塔斯基悖论

在$\mathbb {R} ^{n}$上的勒贝格测度，存在不可测的有界子集。豪斯多夫研究能否在$\mathbb {R} ^{n}$上定义新的测度，使之可以对所有有界子集都是可测的。他要求新的测度保留勒贝格测度的等距变换不变性，就是移动及反射一个有界子集，不会改变其测度。不过，新测度无需有勒贝格测度的σ可加性（可数无限可加性），就是可数无限个不相交子集的测度总和，等于其并集的测度。他只要求新测度满足较弱的有限可加性，就是有限个不相交子集的测度总和，等于其并集的测度。

但是，豪斯多夫、巴拿赫和塔斯基后来的研究，发现了维度不小于3的$\mathbb {R} ^{n}$中，任意两个有内点的有界子集，可以将其一分成有限块，再移动拼合成另一个，这就是著名的巴拿赫－塔斯基悖论。因此3维以上$\mathbb {R} ^{n}$不可能有豪斯多夫所要的测度。而在2维就不存在这种情况。

冯纽曼研究他们的证明，发现问题关键不是在$\mathbb {R} ^{n}$的结构，而是在$\mathbb {R} ^{n}$的旋转群上。3维以上的$\mathbb {R} ^{n}$，其旋转群有子群是秩2的自由群；而2维时，旋转群没有这样的子群。

于是豪斯多夫原来的测度问题，可以把对象转到群上面。新的问题是：在一个群G上，是否存在有限可加的概率测度$\mu$，是G-不变的，即是在G对其中的子集的群作用下不变：对任何$E\subset G$和任何$g\in G$，$\mu (gE)=\mu (E)$。这样的概率测度称为不变平均。（函数以这测度积分，像是取加权平均。）由此产生了可均群的概念。因为有限可加测度不像σ可加测度有好的理论，便改为考虑与有限可加测度对应的连续线性泛函。

外文名称

可均群的德文名称Mittelbare Gruppe，法文名称groupe moyennable，其中Mittel、moyenne分别为德文及法文中的平均一字，故此Mittelbare，moyennable两字意思就是可以有平均。英文名称amenable group，是英国数学家Mahlon M. Day所译，字面上与德文及法文不同，但这是藉谐音玩的文字游戏，因为amenable的英式读音，与"a mean able"相同（用美式读音就失去谐音效果），故此说出来其实也是“可以有一个平均”。

定义

设G为局部紧群。G上存在左哈尔测度$\mu$。考虑在测度空间$(G,\mu )$上的复值本质有界函数空间$L^{\infty }(G)$。

线性泛函$\Lambda :L^{\infty }(G)\to \mathbb {C}$称为平均，如果$\Lambda$的范数是1，并且是非负的：若实值函数$f\in L^{\infty }(G)$适合$f\geq 0$，则$\Lambda (f)\geq 0$。

如果$\Lambda$是一个平均，则有$\Lambda (1_{G})=1$，其中$1_{G}$是G的特征函数。而且对任何实值函数$f\in L^{\infty }(G)$，

$\operatorname {*} {ess\ inf}_{x\in G}f(x)\leq \Lambda (f)\leq \operatorname {*} {ess\ sup}_{x\in G}f$

其中ess sup和ess inf分别是函数的本质上确界和本质下确界。

一个平均是左不变的，如果对任何$s\in G$，$f\in L^{\infty }(G)$，在左作用$s\cdot f(x)=f(s^{-1}x)$下，都有$\Lambda (s\cdot f)=\Lambda (f)$。

局部紧群G如果有一个左不变平均，就称为可均群。

可均群有很多等价定义。其中一个是Følner条件：

对任何$\epsilon >0$，任何紧子集$C\subset G$，都存在一个紧子集$K\subset G$，$0<\mu (K)<\infty$，使得对所有$x\in C$都符合不等式

$\mu (xK\triangle K)/\mu (K)<\epsilon$

此处$\triangle$是对称差。

如果G是可数无限的离散群，Følner条件等价于： G中存在有限子集$S_{n}$，使得对任何$g\in G$，

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\left|gS_{n}\triangle S_{n}\right|}{\left|S_{n}\right|}}=0$

这样的$(S_{n})$称为Følner序列。

性质

可均群的闭子群都是可均的。

若H是可均群G的闭正规子群，那么$G/H$是可均群。

若H是局部紧群G的闭正规子群，而且H和$G/H$都是可均群，那么G也是可均群。

设G是局部紧群，I是有向集合，$(H_{i})_{i\in I}$是G的闭可均子群组成的网，对任何$i\leq j$，有$H_{i}\subset H_{j}$。那么$H={\overline {\cup _{i\in I}H_{i}}}$是G的可均子群。

例子

有限群是可均群。更一般地，紧群是可均群，其哈尔测度是一个不变平均。

整数群$(\mathbb {Z} ,+)$和实数群$(\mathbb {R} ,+)$是可均群，一个在$\mathbb {Z}$或$\mathbb {R}$中长度趋向无穷的有界区间序列是一个Følner序列。

局部紧的阿贝尔群是可均群。因此，局部紧的可解群是可均群：若G是局部紧的可解群，则有导出列

$G=G^{(0)}\triangleright G^{(1)}\triangleright \cdots \triangleright G^{(k)}=\{1\}$

其中$G^{(i+1)}=[G^{(i)},G^{(i)}]$。每个$G^{(i)}/G^{(i+1)}$都是阿贝尔群，所以是可均的，而平凡子群{1}也是可均群。从可均群的性质，得出G是可均群。

一个有限生成群G是次指数增长的，如果G中存在一个有限生成集合S，有对称性$S=S^{-1}$，使得

$\liminf _{n\to \infty }{\frac {\left|S^{n+1}\right|}{\left|S^{n}\right|}}=1$

次指数增长的有限生成群是可均群。

证明

从定义知对每个$i\in \mathbb {N}$，都存在$n_{i}$使得

${\frac {\left|S^{n_{i}+1}\right|}{\left|S^{n_{i}}\right|}}<1+{\frac {1}{i}}$

对每个$a\in S$，有$S^{n_{i}},aS^{n_{i}}\subset S^{n_{i}+1}$。对任何$g\in G$都有$\left|gS^{n_{i}}\right|=\left|S^{n_{i}}\right|$。于是

${\begin{aligned}&\left|aS^{n_{i}}\triangle S^{n_{i}}\right|\\\leq &\left|aS^{n_{i}}\setminus S^{n_{i}}\right|+\left|S^{n_{i}}\setminus aS^{n_{i}}\right|\\\leq &\left|S^{n_{i}+1}\setminus S^{n_{i}}\right|+\left|S^{n_{i}+1}\setminus aS^{n_{i}}\right|\\=&(\left|S^{n_{i}+1}\right|-\left|S^{n_{i}}\right|)+(\left|S^{n_{i}+1}\right|-\left|aS^{n_{i}}\right|)\\=&2(\left|S^{n_{i}+1}\right|-\left|S^{n_{i}}\right|)\end{aligned}}$

每个$g\in G$都可写成$g=a_{1}a_{2}\cdots a_{m}$。设$g_{0}=e$, $g_{j}=g_{j-1}a_{j}$。用集合关系式$A\triangle B\subset (A\triangle C)\cup (C\triangle B)$，得出

${\begin{aligned}&\left|gS^{n_{i}}\triangle S^{n_{i}}\right|\\\leq &\left|\bigcup _{j=1}^{m}\left(g_{j-1}S^{n_{i}}\triangle g_{j}S^{n_{i}}\right)\right|\\\leq &\sum _{j=1}^{m}\left|\left(g_{j-1}S^{n_{i}}\triangle g_{j}S^{n_{i}}\right)\right|\\=&\sum _{j=1}^{m}\left|g_{j-1}\left(S^{n_{i}}\triangle a_{j}S^{n_{i}}\right)\right|\\\leq &2m(\left|S^{n_{i}+1}\right|-\left|S^{n_{i}}\right|)\end{aligned}}$

因此

${\frac {\left|gS^{n_{i}}\triangle S^{n_{i}}\right|}{\left|S^{n_{i}}\right|}}<{\frac {2m}{i}}$

所以$(S^{n_{i}})$是一个Følner序列，故G是可均群。

设$G_{1}$和$G_{2}$是有限生成群，而$G_{2}$是可均的。若$G_{1}$拟等距同构于$G_{2}$，那么$G_{1}$也是可均群。

秩2的自由群$F_{2}$不是可均群。

证明

设a,b是$F_{2}$的生成元。$F_{2}$的元素都可以用a,b写成字。假设$F_{2}$有不变平均M。考虑$F_{2}$的一个子集A，A包含所有简约字以$a^{n}$开首的元素。（n是某个不等于0的整数。）那么A, bA, $b^{2}A$是$F_{2}$的不相交子集，所以

${\begin{aligned}3M(1_{A})&=M(1_{A})+M(1_{bA})+M(1_{b^{2}A})\\&\leq M(1_{F_{2}})=1\end{aligned}}$

另一方面，$A\cup aA=F_{2}$，所以

${\begin{aligned}2M(1_{A})&=M(1_{A})+M(1_{aA})\\&\geq M(1_{F_{2}})\end{aligned}}$

这两条不等式互相矛盾，故$F_{2}$上不存在不变平均，即$F_{2}$是非可均的。

所以一个群若包含$F_{2}$为离散子群，则不是可均群。

如把n维空间$\mathbb {R} ^{n}$的旋转群SO(n)看成离散群，则n不小于3时SO(n)包含$F_{2}$为（离散）子群，因此是非可均群，但SO(2)是阿贝尔群，因此是可均群。这是巴拿赫－塔斯基悖论证明中的构造法在n不小于3时可行，在n等于2时不可行的原因。不过若用SO(n)原来的拓扑，则对所有n，SO(n)都是紧群，所以都是可均群。

一个殆连通的局部紧群G是可均群，当且仅当G不包含$F_{2}$为离散子群。（设$G_{e}$是G的单位连通区。若$G/G_{e}$紧致，则G称为殆连通群。）

冯纽曼猜想推测非可均群都有子群是秩2的自由群，但是1980年Alexander Ol'shanskii找出反例。他证明了塔斯基魔群是非可均的。G是一个塔斯基魔群，如果有一个固定的素数p，G中所有真子群除了平凡子群外，都是p阶循环群。所以塔斯基魔群没有子群是秩2的自由群。

参考

• Pier, Jean-Paul. Amenable locally compact groups. Wiley. 1984. 
• Paterson, Alan. Amenability. American Mathematical Society. 1988. 
• É. Ghys, P. de la Harpe (éd.) (编). Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov.. Progress in Mathematics, 83. Birkhäuser. 1990.