球對稱位勢

球對稱位勢乃是一種只與徑向距離有關的位勢。許多描述宇宙相互作用的基本位勢，像重力勢、電勢，都是球對稱位勢。這條目只講述，在量子力學裏，運動於球對稱位勢中的粒子的量子行為。這量子行為，可以用薛定諤方程式表達為

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}\psi +V(r)\psi =E\psi$；

其中，$\hbar$是普朗克常數，$\mu$是粒子的質量，$\psi$是粒子的波函數，$V$是位勢，$r$是徑向距離，$E$是能量。

由於球對稱位勢$V(r)$只與徑向距離有關，與天頂角$\theta$、方位角$\phi$無關，為了便利分析，可以採用球坐標$(r,\ \theta ,\ \phi )$來表達這問題的薛定諤方程式。然後，使用分離變數法，可以將薛定諤方程式分為兩部分，徑向部分與角部分。

薛定諤方程式

採用球坐標$(r,\ \theta ,\ \phi )$，將拉普拉斯算子$\nabla ^{2}$展開：

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu r^{2}}}\left\{{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\left[\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right]\right\}\psi +V(r)\psi =E\psi$。

滿足薛定諤方程式的本徵函數$\psi$的形式為：

$\psi (r,\ \theta ,\ \phi )=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\phi )$，

其中，$R(r)$，$\Theta (\theta )$，$\Phi (\phi )$，都是函數。$\Theta (\theta )$與$\Phi (\phi )$時常會合併為一個函數，稱為球諧函數，$Y_{lm}(\theta ,\ \phi )=\Theta (\theta )\Phi (\phi )$。這樣，本徵函數$\psi$的形式變為：

$\psi (r,\ \theta ,\ \phi )=R(r)Y_{lm}(\theta ,\ \phi )$。

角部分解答

參數為天頂角$\theta$、方位角$\phi$的球諧函數$Y_{lm}$，滿足角部分方程式

$-{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\left[\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}{\Big (}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}{\Big )}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right]Y_{lm}(\theta ,\phi )=l(l+1)Y_{lm}(\theta ,\phi )$；

其中，非負整數$l$是角動量的角量子數。$m$（滿足$-l\leq m\leq l$）是角動量對於z-軸的（量子化的）投影。不同的$l$與$m$給予不同的球諧函數解答$Y_{lm}$：

$Y_{lm}(\theta ,\ \phi )=(i)^{m+|m|}{\sqrt {{(2l+1) \over 4\pi }{(l-|m|)! \over (l+|m|)!}}}\,P_{lm}(\cos {\theta })\,e^{im\phi }$；

其中，$i$是虛數單位，$P_{lm}(\cos {\theta })$是伴隨勒讓德多項式，用方程式定義為

$P_{lm}(x)=(1-x^{2})^{|m|/2}\ {\frac {d^{|m|}}{dx^{|m|}}}P_{l}(x)$；

而$P_{l}(x)$是$l$階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為

$P_{l}(x)={1 \over 2^{l}l!}{d^{l} \over dx^{l}}(x^{2}-1)^{l}$。

徑向部分解答

將角部分解答代入薛定諤方程式，則可得到一個一維的二階微分方程式：

$\left\{-{\hbar ^{2} \over 2\mu r^{2}}{d \over dr}\left(r^{2}{d \over dr}\right)+{\hbar ^{2}l(l+1) \over 2\mu r^{2}}+V(r)\right\}R(r)=ER(r)$。(1)

設定函數$u(r)=rR(r)$。代入方程式(1)。經過一番繁雜的運算，可以得到

$-{\hbar ^{2} \over 2\mu }{d^{2}u(r) \over dr^{2}}+{\hbar ^{2}l(l+1) \over 2\mu r^{2}}u(r)+V(r)u(r)=Eu(r)$。(2)

徑向方程式變為

$-{\hbar ^{2} \over 2\mu }{d^{2}u(r) \over dr^{2}}+V_{\mathrm {eff} }(r)u(r)=Eu(r)$；(3)

其中，有效位勢$V_{\mathrm {eff} }(r)=V(r)+{\frac {\hbar ^{2}l(l+1)}{2\mu r^{2}}}$。

這正是函數為$u(r)$，有效位勢為$V_{\mathrm {eff} }$的薛定諤方程式。徑向距離$r$的定義域是從$0$到$\infty$。新加入有效位勢的項目，稱為離心位勢。

為了要更進一步解析方程式(2)，必須知道位勢的形式。不同的位勢有不同的解答。

實例

在這裏，有四個很特別、很重要的實例。這些實例都有一個共同點，那就是，它們的位勢都是球對稱的。因此，它們的角部分解答都是球諧函數。這四個實例是：

1. $V(r)=0$：原方程式變為亥姆霍茲方程式$(\nabla ^{2}+{\frac {2\mu E}{\hbar ^{2}}})A=0$，使用球諧函數為正交歸一基，解析眞空狀況實例。這實例可以做為別的實例的基礎。
2. 當$r<r_{0}$時，$V(r)=0$；否則，$V(r)=\infty$：這實例比第一個實例複雜一點，可以描述三維的圓球形盒子中的粒子的量子行為。
3. $V(r)\propto r^{2}$：研討三維均向性諧振子的實例。在量子力學裏，是少數幾個存在簡單的解析解的量子模型。
4. $V(r)\propto 1/r$：關於類氫原子的束縛態的實例，也有簡單的解析解。

真空狀況實例

思考$V(r)=0$的狀況，設定$k\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {2\mu E \over \hbar ^{2}}}$，在設定無因次的變數

$\rho \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ kr$。

代入方程式(2)，定義$J(\rho )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\rho }}R(r)$，就會得到貝塞爾方程式，一個二階常微分方程式：

$\rho ^{2}{d^{2}J \over d\rho ^{2}}+\rho {dJ \over d\rho }+\left[\rho ^{2}-\left(l+{\frac {1}{2}}\right)^{2}\right]J=0$。

貝塞爾方程式的解答是第一類貝塞爾函數$J_{l+1/2}(\rho )$；而$R(r)$是第一類球貝塞爾函數
（真空解的邊界條件要求原點的函數值有限，因此在原點趨於無窮的第二類球貝塞爾函數項的系數必須為零）：

$R(r)=j_{l}(kr)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\pi /(2kr)}}J_{l+1/2}(kr)$。(4)

在眞空裏，一個粒子的薛定諤方程式（即自由空間中的齊次亥姆霍茲方程式）的解，以球坐標來表達，是球貝塞爾函數與球諧函數的乘積：

$\psi (r,\ \theta ,\ \phi )=A_{kl}j_{l}(kr)Y_{lm}(\theta ,\phi )$；

其中，歸一常數$A_{kl}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,k$，$l$是非負整數，$m$是整數，$-l\leq m\leq l$，$k$是實數，$k\geq 0$。

這些解答都是角動量確定態的波函數。這些確定態都有明確的角動量。

波函數歸一化導引

波函數的角部分已經歸一化，剩下來必須將徑向部分歸一化。徑向函數的歸一化條件為

$1=A_{kl}^{2}\int _{0}^{\infty }\ r^{2}j_{l}^{2}(kr)\ dr$。

根據球貝塞爾函數的封閉方程式，

$\int _{0}^{\infty }\ x^{2}j_{\alpha }(k_{1}x)j_{\alpha }(k_{2}x)\ dx={\frac {\pi }{2k_{1}^{2}}}\delta (k_{1}-k_{2})$；

其中，$\alpha >0$，$\delta _{k}$為克羅內克δ。

所以，$1=A_{kl}^{2}{\frac {\pi }{2k^{2}}}$。取平方根，歸一常數$A_{kl}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,k$。

球對稱的三維無限深方形位勢阱

球貝塞爾函數$j_{l}(x)$。

思考一個球對稱的無限深方形阱，阱內位勢為0，阱外位勢為無限大。用方程式表達：

$V(r)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}r\leq r_{0}\\\infty ,&{\mbox{if }}r>r_{0}\end{cases}}$。

其中，$r_{0}$是球對稱阱的半徑。

立刻，可以察覺，阱外的波函數是0；而由於阱內的薛定諤方程式與真空狀況的薛定諤方程式相同，波函數是球貝塞爾函數$R(r)=j_{l}(kr)$。為了滿足邊界條件，波函數必須是連續的。匹配阱內與阱外的波函數，球貝塞爾函數在徑向坐標$r=r_{0}$之處必須等於0：

$j_{l}(kr_{0})=0$。

設定$\xi _{nl}$為$l$階球貝塞爾函數$j_{l}$的第$n$個0點，則$k_{nl}r_{0}=\xi _{nl}$。

那麼，離散的能級$E_{nl}$為

$E_{nl}={\frac {\hbar ^{2}k_{nl}^{2}}{2\mu }}={\frac {\hbar ^{2}\xi _{nl}^{2}}{2\mu r_{0}^{2}}}$。

薛定諤方程式的整個解答是

$\psi _{nlm}(r,\ \theta ,\ \phi )=A_{nl}j_{l}(\xi _{nl}\,r/r_{0})\,Y_{lm}(\theta ,\ \phi )$；

其中，歸一常數$A_{nl}=\left({\frac {2}{r_{0}^{3}}}\right)^{1/2}{\frac {1}{j_{l+1}(\xi _{nl})}}$。

波函數歸一化導引

波函數的角部分已經歸一化，剩下來必須將徑向部分歸一化。徑向函數的歸一化條件為

$1=A_{nl}^{2}\int _{0}^{r_{0}}\ r^{2}j_{l}^{2}(k_{nl}r)\ dr$；

將球貝塞爾函數與第一類貝塞爾函數的關係方程式(4)代入積分：

$1=A_{nl}^{2}\int _{0}^{r_{0}}\ r^{2}\ {\frac {\pi }{2k_{nl}r}}\ J_{l+1/2}^{2}(k_{nl}r)\ dr=A_{nl}^{2}{\frac {\pi }{2k_{nl}}}\int _{0}^{r_{0}}\ rJ_{l+1/2}^{2}(k_{nl}r)\ dr$。

設定變數$x=r/r_{0}$，代入積分：

$1=A_{nl}^{2}{\frac {\pi r_{0}^{2}}{2k_{nl}}}\int _{0}^{1}\ xJ_{l+1/2}^{2}(k_{nl}r_{0}x)\ dx=A_{nl}^{2}{\frac {\pi r_{0}^{3}}{2\xi _{nl}}}\int _{0}^{1}\ xJ_{l+1/2}^{2}(\xi _{nl}x)\ dx$。

根據貝塞爾函數的正交歸一性方程式，

$\int _{0}^{1}xJ_{\alpha }(x\xi _{m\alpha })J_{\alpha }(x\xi _{n\alpha })dx={\frac {\delta _{mn}}{2}}J_{\alpha +1}(\xi _{n\alpha })^{2}$；

其中，$\alpha >-1$，$\delta _{mn}$為克羅內克δ，$\xi _{n\alpha }$表示$J_{\alpha }(x)$的第$n$個0點。

注意到$j_{l}(x)$的第$n$個0點$\xi _{nl}$也是$J_{l+1/2}(x)$的第$n$個0點。所以，

$1=A_{nl}^{2}\ {\frac {\pi r_{0}^{3}}{4\xi _{nl}}}\ J_{l+3/2}^{2}(\xi _{nl})=A_{nl}^{2}\ {\frac {r_{0}^{3}}{2}}\ j_{l+1}^{2}(\xi _{nl})$。

取平方根，歸一常數$A_{nl}=\left({\frac {2}{r_{0}^{3}}}\right)^{1/2}{\frac {1}{j_{l+1}(\xi _{nl})}}$。

三維均向諧振子

主條目：量子諧振子

三維均向諧振子的位勢為

$V(r)={\tfrac {1}{2}}\mu \omega ^{2}r^{2}$；

其中，$\omega$是角頻率。

用階梯算符的方法，可以證明N維諧振子的能量是

$E_{n}=\hbar \omega (n+{\tfrac {N}{2}})\quad {\hbox{with}}\quad n=0,1,\ldots ,\infty ,$。

所以，三維均向諧振子的徑向薛定諤方程式是

$\left[-{\hbar ^{2} \over 2\mu }{d^{2} \over dr^{2}}+{\hbar ^{2}l(l+1) \over 2\mu r^{2}}+{\frac {1}{2}}\mu \omega ^{2}r^{2}-\hbar \omega (n+{\frac {3}{2}})\right]u(r)=0$。(5)

設定常數$\gamma$，

$\gamma \equiv {\frac {\mu \omega }{\hbar }}$。

回想$u(r)=rR(r)$，則徑向薛定諤方程式有一個歸一化的解答：

$R_{nl}(r)=N_{nl}\,r^{l}\,e^{-{\frac {1}{2}}\gamma r^{2}}\;L_{{\frac {1}{2}}(n-l)}^{(l+{\frac {1}{2}})}(\gamma r^{2})$；

其中，函數$L_{k}^{(\alpha )}(\gamma r^{2})$是廣義拉蓋爾多項式，$N_{nl}$是歸一化常數：

$N_{nl}=\left[{\frac {2^{n+l+2}\,\gamma ^{l+{\frac {3}{2}}}}{\pi ^{\frac {1}{2}}}}\right]^{\frac {1}{2}}\left[{\frac {[{\frac {1}{2}}(n-l)]!\;[{\frac {1}{2}}(n+l)]!}{(n+l+1)!}}\right]^{\frac {1}{2}}$。

本徵能級$E_{n}$的本徵函數$R_{nl}$，乘以球諧函數$Y_{lm}(\theta ,\phi )$，就是薛定諤方程式的整個解答：

$\psi _{nlm}=R_{nl}(r)\,Y_{lm}(\theta ,\ \phi )$；

其中$l=n,\ n-2,\ \ldots ,\ l_{\mathrm {min} }$。假若$n$是偶數，設定$l_{\mathrm {min} }=0$；否則，設定$l_{\mathrm {min} }=1$。

導引

在這導引裏，徑向方程式會被轉換為廣義拉蓋爾微分方程式。這方程式的解是廣義拉蓋爾多項式。再將廣義拉蓋爾多項式歸一化以後，就是所要的答案。

首先，將徑向坐標無因次化，設定變數$y={\sqrt {\gamma }}r$；其中，$\gamma \equiv {\frac {\mu \omega }{\hbar }}$。則方程式(5)變為

$\left[{d^{2} \over dy^{2}}-{l(l+1) \over y^{2}}-y^{2}+2n-3\right]v(y)=0$；(6)

其中，$v(y)=u\left(y/{\sqrt {\gamma }}\right)$是新的函數。

當$y$接近0時，方程式(6)最顯著的項目是

$\left[{d^{2} \over dy^{2}}-{l(l+1) \over y^{2}}\right]v(y)=0$。

所以，$v(y)$與$y^{l+1}$成正比。

又當$y$無窮遠時，方程式(6)最顯著的項目是

$\left[{d^{2} \over dy^{2}}-y^{2}\right]v(y)=0$。

因此，$v(y)$與$e^{-y^{2}/2}$成正比。

為了除去$v(y)$在原點與無窮遠的極限性態，達到孤立解答函數的形式的目的，必須使用$v(y)$的替換方程式：

$v(y)=y^{l+1}e^{-y^{2}/2}f(y)$。

經過一番運算，這個替換將微分方程式(6)轉換為

$\left[{d^{2} \over dy^{2}}+2\left({\frac {l+1}{y}}-y\right){\frac {d}{dy}}+2n-2l\right]f(y)=0$。(7)

轉換為廣義拉蓋爾方程式

設定變數$x=y^{2}$，則微分算子為

${\frac {d}{dy}}={\frac {dx}{dy}}{\frac {d}{dx}}=2y{\frac {d}{dx}}=2{\sqrt {x}}{\frac {d}{dx}}$，

${\frac {d^{2}}{dy^{2}}}={\frac {d}{dy}}\left(2y{\frac {d}{dx}}\right)=4x{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+2{\frac {d}{dx}}$。

代入方程式(7)，就可得到廣義拉蓋爾方程式：

$x{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}+{\Big (}(l+{\tfrac {1}{2}})+1-x{\Big )}{\frac {dg}{dx}}+{\tfrac {1}{2}}(n-l)g(x)=0$；

其中，函數$g(x)\equiv f({\sqrt {x}})$。

假若，$k\equiv (n-l)/2$是一個非負整數，則廣義拉蓋爾方程式的解答是廣義拉蓋爾多項式：

$g(x)=L_{k}^{(l+{\frac {1}{2}})}(x)$。

因為$k$是非負整數，要求

1. $n\geq l$。
2. $n$與$l$同時為奇數或同時為偶數。這證明了前面所述$l$必須遵守的條件。

波函數歸一化

回憶到$u(r)=rR(r)$，徑向函數可以表達為

$R_{nl}(r)=N_{nl}\,r^{l}\,e^{-{\frac {1}{2}}\gamma r^{2}}\;L_{{\frac {1}{2}}(n-l)}^{(l+{\frac {1}{2}})}(\gamma r^{2})$；

其中，$N_{nl}$是歸一常數。

$R_{nl}(r)$的歸一條件是

$\int _{0}^{\infty }r^{2}|R_{nl}(r)|^{2}\,dr=1$。

設定$q=\gamma r^{2}$。將$R_{nl}$與$q$代入積分方程式：

${\frac {N_{nl}^{2}}{2\gamma ^{l+{3 \over 2}}}}\int _{0}^{\infty }q^{l+{1 \over 2}}e^{-q}\left[L_{{\frac {1}{2}}(n-l)}^{(l+{\frac {1}{2}})}(q)\right]^{2}\,dq=1$。

應用廣義拉蓋爾多項式的正交歸一性，這方程式簡化為

${\frac {N_{nl}^{2}}{2\gamma ^{l+{3 \over 2}}}}\cdot {\frac {\Gamma [{\frac {1}{2}}(n+l+1)+1]}{[{\frac {1}{2}}(n-l)]!}}=1$。

因此，歸一常數可以表達為

$N_{nl}={\sqrt {\frac {2\,\gamma ^{l+{3 \over 2}}\,({\frac {n-l}{2}})!}{\Gamma ({\frac {n+l}{2}}+{\frac {3}{2}})}}}$。

應用伽瑪函數的數學特性，同時注意$n$與$l$的奇偶性相同，可以導引出其它形式的歸一常數。伽瑪函數變為

$\Gamma \left[{1 \over 2}+\left({\frac {n+l}{2}}+1\right)\right]={\frac {{\sqrt {\pi }}(n+l+1)!!}{2^{{\frac {n+l}{2}}+1}}}={\frac {{\sqrt {\pi }}(n+l+1)!}{2^{n+l+1}[{\frac {1}{2}}(n+l)]!}}$。

在這裏用到了雙階乘 (double factorial)的定義。

所以，歸一常數等於

$N_{nl}=\left[{\frac {2^{n+l+2}\,\gamma ^{l+{3 \over 2}}\,[{1 \over 2}(n-l)]!\;[{1 \over 2}(n+l)]!}{\;\pi ^{1 \over 2}(n+l+1)!}}\right]^{1 \over 2}$。

類氫原子

主條目：類氫原子

類氫原子只含有一個原子核與一個電子，是個簡單的二體系統。兩個物體之間，互相作用的位勢遵守庫侖定律：

$V(r)=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}$；

其中，$\epsilon _{0}$是真空電容率，$Z$是原子序，$e$是單位電荷量，$r$是電子離原子核的徑向距離。

將位勢代入方程式(1)，

$\left\{-{\hbar ^{2} \over 2\mu r^{2}}{d \over dr}\left(r^{2}{d \over dr}\right)+{\hbar ^{2}l(l+1) \over 2\mu r^{2}}-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}\right\}R(r)=ER(r)$。

這方程式的解答是

$R_{nl}(r)={\sqrt {{\left({\frac {2Z}{na_{\mu }}}\right)}^{3}{\frac {(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]^{3}}}}}e^{-Zr/{na_{\mu }}}\left({\frac {2Zr}{na_{\mu }}}\right)^{l}L_{n-l-1}^{2l+1}\left({\frac {2Zr}{na_{\mu }}}\right)$；

其中，$a_{\mu }={{4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}} \over {\mu e^{2}}}$。$a_{\mu }$近似於玻爾半徑$a_{0}$。假若，原子核的質量是無限大的，則$a_{\mu }=a_{0}$，並且，約化質量等於電子的質量，$\mu =m_{e}$。$L_{n-l-1}^{2l+1}$是廣義拉蓋爾多項式，定義為

$L_{i}^{j}(x)=(-1)^{j}\ {\frac {d^{j}}{dx^{j}}}L_{i+j}(x)$；

其中，$L_{i+j}(x)$是拉蓋爾多項式，可用羅德里格公式表示為

$L_{i}(x)={\frac {e^{x}}{i!}}\ {\frac {d^{i}}{dx^{i}}}(x^{i}e^{-x})$。

為了滿足$R_{nl}(r)$的邊界條件，$n$必須是正值整數，能量也離散為能級$E_{n}=-\left({\frac {Z^{2}\mu e^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}\hbar ^{2}}}\right){\frac {1}{n^{2}}}={\frac {-13.6Z^{2}}{n^{2}}}\ (eV)$。隨着量子數的不同，函數$R_{nl}(r)$與$Y_{lm}$都會有對應的改變。為了要結束廣義拉蓋爾多項式的遞迴關係，必須要求$l<n$。

知道徑向函數$R_{nl}(r)$與球諧函數$Y_{lm}$的形式，就可以寫出整個類氫原子量子態的波函數，也就是薛定諤方程式的整個解答：

$\psi _{nlm}=R_{nl}(r)\,Y_{lm}(\theta ,\phi )$。

導引

為了要簡化薛定諤方程式，設定能量與長度的原子單位 (atomic unit)

$E_{\textrm {h}}=m_{\textrm {e}}\left({\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\hbar }}\right)^{2}$，

$a_{0}={{4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}} \over {m_{\textrm {e}}e^{2}}}$。

將變數$y=Zr/a_{0}$與$W=E/(Z^{2}E_{\textrm {h}})$代入徑向薛定諤方程式(2)：

$\left[-{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dy^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {l(l+1)}{y^{2}}}-{\frac {1}{y}}\right]u_{l}=Wu_{l}$。(8)

這方程式有兩類解答：

1. $W<0$：量子態是束縛態，其本徵函數是平方可積函數。量子化的$W$造成了離散的能量譜。
2. $W\geq 0$：量子態是散射態，其本徵函數不是平方可積函數。

這條目只講述第(1)類解答。設定正實數$\alpha \equiv 2{\sqrt {-2W}}$與$x\equiv \alpha y$。代入方程式(8)：

$\left[{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-{\frac {l(l+1)}{x^{2}}}+{\frac {2}{\alpha x}}-{\frac {1}{4}}\right]u_{l}=0$。(9)

當$x$接近0時，方程式(9)最顯著的項目是

$\left[{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-{\frac {l(l+1)}{x^{2}}}\right]u_{l}=0$。

所以，$u_{l}(x)$與$x^{l+1}$成正比。

又當$x$無窮遠時，方程式(9)最顯著的項目是

$\left[{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-{\frac {1}{4}}\right]u_{l}=0$。

因此，$u_{l}(x)$與$e^{-x/2}$成正比。

為了除去$u_{l}(x)$在原點與無窮遠的極限性態，達到孤立解答函數的形式的目的，必須使用$u_{l}(x)$的替換方程式：

$u_{l}(x)=x^{l+1}e^{-x/2}f_{l}(x)$。

經過一番運算，得到$f_{l}(x)$的方程式：

$\left[x{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+(2l+2-x){\frac {d}{dx}}+(\nu -l-1)\right]f_{l}(x)=0$；

其中，$\nu =(-2W)^{-{\frac {1}{2}}}$。

假若，$\nu -l-1$是個非負整數$k$ ，則這方程式的解答是廣義拉蓋爾多項式

$L_{k}^{(2l+1)}(x),\qquad k=0,1,\ldots$。

採用Abramowitz and Stegun的慣例。無因次的能量是

$W=-{\frac {1}{2n^{2}}}$；

其中，主量子數$n\equiv k+l+1$滿足$n\geq l+1$，或$l\leq n-1$。

由於$\alpha =2/n$，徑向波函數是

$R_{nl}(r)={\sqrt {\left({\frac {2Z}{na_{0}}}\right)^{3}\cdot {\frac {(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]^{3}}}}}\;e^{-{\textstyle {\frac {Zr}{na_{0}}}}}\left({\frac {2Zr}{na_{0}}}\right)^{l}\;L_{n-l-1}^{2l+1}\left({\frac {2Zr}{na_{0}}}\right)$。

能量是

$E=-{\frac {Z^{2}}{2n^{2}}}E_{\textrm {h}}=-{\frac {Z^{2}}{2n^{2}}}m_{\textrm {e}}\left({\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\hbar }}\right)^{2},\qquad n=1,2,\ldots$。

參閱

• 自由粒子
• 無限深方形阱
• 有限深方形阱
• 有限位勢壘
• Delta位勢阱
• Delta位勢壘
• 連心力
• 量子穿隧效應
• 盒中氣體

參考文獻

• Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7.