无量纲量

量类型

量纲分析中,无量纲量[1](dimensionless quantity)又称无因次量量纲为一的量[2][3](quantity of dimension one)[注 1]指的是没有量纲。它是个单纯的数字,量纲为1[4]

无量纲量在数学物理学工程学经济学以及日常生活中(如数数)被广泛使用。一些广为人知的无量纲量包括圆周率π)、欧拉常数e)和黄金分割率φ)等。与之相对的是有量纲量,拥有诸如长度、面积、时间等单位。

无量纲量常写作两个有量纲量之,但其最终的纲量互相消除后会得出无量纲量。比如,应变是量度形变的量,定义为长度差与原先长度之比。但由于两者的量纲均为L(长度),因此相除后得出的量是没有量纲的。

属性

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  • 虽然无量纲量本身没有量纲,但是它也有时被加以无量纲的单位。在分子和分母使用同样的单位(kg/kg或mol/mol),有时可以帮助表达所测量的数值(如质量百分浓度摩尔分数等)。某些量还可以表示为不同的单位之比,但这两个单位的量纲相同(如光年除以)。这种做法可以用于计算图表中的斜率,或者进行单位转换。这样的写法并不意味着存在量纲,而只不过是符号表达上的惯例。其他常用的无量纲量有:%=0.01,百分比;‰=0.001,千分比;ppm=10−6百万分比;ppb=10−9十亿分比;ppt=10−12兆分比(万亿分比)以及角单位弧度百分度)等等。
  • 两个具有相同量纲之比是没有量纲的,而且无论用什么单位计算,该量还是不变的。例如,如果物体A对物体B施大小为F的作用力,那B也会向A施大小为f的力。两个力的比率F/f永远等于1(见牛顿第三定律),而不取决于测量Ff所用的单位。这是因为物理中一个重要的假设:物理定律是独立于人们选用的单位制的。如果以上的F/f不经常等于1,而在我们从国际单位制转用厘米-克-秒制时改变了的话,这就意味着牛顿第三定律的真伪要看我们选取哪一种单位制,而这就与假设矛盾了。这一假设是白金汉π定理的基础,其表述为:所有物理定律均能以数个无量纲量的数学组合(加、减、乘、除等等)写成恒等式。如果无量纲量组合后的值在替换所用单位制后改变了的话,那么白金汉π定理就不成立了。

白金汉π定理

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白金汉π定理的另一项推论为,如果n变数之间有某种函数关系,而这些变数中有k个独立的量纲,则可以产生p = nk个独立的无量纲量。

例子

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磁力搅拌器电功率是被搅拌液体的密度黏度、搅拌器的直径及搅拌速度的函数。因此这里共有n = 5个变量

n = 5个变量共由以下k = 3个量纲组成:

  • 长度:L (m)
  • 时间:T (s)
  • 质量:M (kg)

根据该定理,通过组合这n = 5个变量,可以得出p = nk = 5 − 3 = 2个独立的无量纲量。此例中的这两个无量纲量分别为:

  • 雷诺数(描述流体流动的无量纲量)
  • 功率数(描述搅拌器,同时包含流体密度的无量纲量)

例子

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  • 在10个苹果中,有1个是坏了的。总苹果数中坏苹果的比例为1个苹果/10个苹果= 0.1 = 10%,这是个无量纲量。
  • :角的定义为,以圆心为顶点划出的弧的长度除以某另一长度。这个比率由长度除以长度所得,因此是个无量纲量。当所用的(无量纲)单位为弧度时,那个“另一长度”就是圆的半径。当单位为角度时,“另一长度”就是圆周长的360分之1。
  • 圆周率是个无量纲量,定义为圆周长与直径之比。该数值无论在用什么单位量度这些长度时(厘米英里光年等等)都会是相同的,只要周长和直径以同样的单位量度。

无量纲量列表

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下表中所有的量均为无量纲量:

名称 标准符号 定义 应用范畴
阿贝数 V   光学光的色散
活度系数 γ   化学(活跃分子或原子占总数之比)
反照率     气候学天文学
劳仑兹因子     相对论
阿基米德数 Ar   密度差造成的流体运动
阿伦尼乌斯数   活化能热能之比[5]
相对原子质量 M 化学
伯格诺德数 Ba   固体块的流动(如米粒或沙子)[6]
比赞数
(热力学)
Be   热传导不可逆性与由于热传导和流体阻力的总不可逆性之比[7]
比赞数
(流体力学)
Be   沿着通道的压力差[8]
宾汉数 Bm   屈服应力与黏滞应力之比[5]
毕奥数 Bi   固体的表面传导率与体积传导率之比
布莱克数英语Blake number BlB   流体穿过多孔介质时惯性相对黏滞力的重要性
博登斯坦数 Bo   停留时间的分布
邦德数 Bo   浮力推动的毛细作用[9]
布林克曼数 Br   从容器壁到黏性流体的热传导
Brownell-Katz数 毛细管数邦德数的组合
毛细管数 Ca 表面张力影响的流体流动
钱德拉塞卡数英语Chandrasekhar number     对流,用以表达洛伦兹力黏度之比
静摩擦系数   物体间的静摩擦
动摩擦系数   物体互相滑动时的摩擦
柯尔伯恩j因数 热传导的无量纲系数
库朗数   双曲型偏微分方程之解[10]
达姆科勒数 Da   反应时间与共振时间之比
阻尼比     系统中阻尼的程度
达西阻力系数    流体流动
狄恩数 D   弯曲管道中的流体
底波拉数 De   粘弹性流体的流动学
分贝 dB 两个强度之比,通常用于声音
阻力系数   流动阻力
Dukhin数 Du 异质系统中表面电导率与体积电导率之比
欧拉常数 e 数学
埃克特数 Ec 热对流传导
埃克曼数 Ek 地球物理学(黏质阻力)
弹性 E   经济学,常用于量度供给和需求如何受价格变化的影响
厄特沃什数 Eo 判断汽泡或液滴形状
埃里克森数 Er 液晶流动特性
欧拉数 (物理学) Eu 流体动力学(压力与惯性力之比)
过量温度系数 Θr   热力学与流体动力学[11]
范宁摩擦系数英语Fanning friction factor f 管道中的流体流动[12]
费根鲍姆常数   混沌理论(周期倍增)[13]
精细结构常数     量子电动力学
焦比   光学摄影
Foppl-von Karman数 薄壳失稳
傅里叶数 Fo 热传导
菲涅耳数 F   狭缝衍射[14]
福禄数 Fr   和表面行为
增益 电子学(信号输出与信号输入之比)
速比 单车传动[15]
伽利莱数 Ga   引力造成的黏质流动
黄金分割比   数学美学
格雷茨数 Gz 热流
格拉斯霍夫数 Gr 自由对流
重力耦合常数     重力
八田数 Ha   化学反应造成的吸附增强
哈根数 Hg   强制对流
水力梯度 i 地下水流动
雅各布数 Ja   液汽相变时所吸收的显能与潜能之比[16]
Karlovitz数 湍流燃烧
Kc数     震荡流场中物体的阻力惯性之比
克努森数 Kn 分子平均自由程长度与某代表性长度之比
尿素清除指数 Kt/V 医学
Kutateladze数 K 两相逆流
拉普拉斯数 La 混溶流体中的自由对流
路易斯数 Le 质量扩散率与热扩散率之比
升力系数   在某攻角翼型升力
Lockhart-Martinelli参数   湿气的流动 [17]
乐甫数 地球的硬性
伦德奎斯特数   ratio of a resistive time to an Alfvén wave crossing time in a plasma
马赫数 M   气体动力学
磁雷诺数   磁流体力学
曼宁糙率系数 n 开放管道流体流动(由引力推动)[18]
马兰戈尼数 Mg 由热表面张力偏差引起的马兰戈尼流
莫顿数 Mo 判断汽泡或液滴形状
彭巴数   溶液冷冻时的热传导与扩散[19]
努塞尔特数 Nu   强制对流下的热传导
奥内佐格数 Oh 液体雾化,马兰戈尼流
佩克莱特数 Pe   平流-扩散问题,总动量传递和分子热传递之间的关系
剥离数 微观结构与底物的黏附作用[20]
导流系数 K 在带电离子束中空间电荷的强度
圆周率   数学(圆周长与直径之比)
泊松比   弹性(横向与纵向负荷)
多孔性   地质学
功率因数 电子学(有功功率与视在功率之比)
功率数   搅拌器的功率消耗
普兰特数     黏性扩散率与热扩散率之比
压力系数   翼型上某个点的压力
品质因子   描述振子阻尼
弧度     量度平面角, 
瑞利数     自由对流中的浮力和黏滞力
折射率 n 电磁学、光学
雷诺数     流体的惯性力与黏滞力之比[5]
比重 RD 比重计,物质间的比较
理查逊数 Ri 浮力对流动稳定性的影响[21]
洛氏硬度 硬度
滚动阻力系数 Crr   车辆动力学
罗斯贝数     地球物理学中的惯性力,描述科里奥利力的影响程度
劳斯数 ZP   沉积物流移
施密特数 Sc   流体动力学(质量转移与扩散)[22]
形状因数 H 边界层流动中排移厚度与动量厚度之比
舍伍德数 Sh   强制对流中的质量转移
希尔兹参数 τθ 流体运动造成的沉积物流移的临界
索默菲德数 边层润滑[23]
斯坦顿数 St   强制对流中的热传递
斯蒂芬数 Ste   相变时的热传递
斯托克斯数      流体流中的粒子动力学
应变     材料科学弹性
斯特劳哈尔数 StSr   持续并脉动的流体流动[24]
泰勒数 Ta   旋转的流体流动
Ursell数 U   在浅流体层上表面引力波的非线性度
Vadasz数 Va   在多孔介质中流体流动时,该数影响多孔性 、普兰特数以及达西阻力系数
范特霍夫因子 i   化学定量分析KfKb
Wallis参数 J*   多相流体流动时的表现速
韦伯数 We   表面极为弯曲的多相流体流动
魏森贝格数 Wi   粘弹性流体流动[25]
沃默斯利数     持续并脉动的流体流动[26]

无量纲的物理常数

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一些基本物理常数,如真空中的光速万有引力常数普朗克常数波兹曼常数等等,在适当挑选时间长度质量电荷温度等单位后,可以归一(数值为1)。这种单位制被称为自然单位制。不过不可能在每一个单位制中都把所有的物理常数归一,剩余的量必须以实验判定。这些剩余的量包括:

注释

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  1. ^ 其他称呼另有:无维量无维度量无维数量无次元量

参见

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参考文献

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  1. ^ 存档副本. [2022-04-28]. (原始内容存档于2022-04-28). 
  2. ^ https://www.termonline.cn/word/6875/1#
  3. ^ 存档副本. [2022-04-28]. (原始内容存档于2022-04-28). 
  4. ^ 1.8 (1.6) quantity of dimension one dimensionless quantity. International vocabulary of metrology — Basic and general concepts and associated terms (VIM). ISO. 2008 [2011-03-22]. (原始内容存档于2012-10-04). 
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 Table of Dimensionless Numbers (PDF). [2009-11-05]. (原始内容存档 (PDF)于2016-03-03). 
  6. ^ Bagnold number 互联网档案馆存档,存档日期2005-05-10.
  7. ^ Paoletti S., Rispoli F., Sciubba E. Calculation of exergetic losses in compact heat exchanger passager. ASME AES. 1989, 10 (2): 21–9. 
  8. ^ Bhattacharjee S., Grosshandler W.L. The formation of wall jet near a high temperature wall under microgravity environment. ASME MTD. 1988, 96: 711–6. 
  9. ^ Bond number 互联网档案馆存档,存档日期2012-03-05.
  10. ^ Courant–Friedrich–Levy number 互联网档案馆存档,存档日期2008-06-05.
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  12. ^ Fanning friction factor. [2013-01-31]. (原始内容存档于2013-12-20). 
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  16. ^ Incropera, Frank P. Fundamentals of heat and mass transfer. John Wiley & Sons, Inc. 2007: 376. 
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外部链接

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