扭稜四角反角柱
扭稜四角反角柱（英文：Snub square antiprism）是詹森多面體的其中一個，其所引為J85[1]。它無法由柏拉圖立體（正多面體）和阿基米得立體（半正多面體）經過切割、增補而得來。扭稜四角反角柱是詹森多面體中的基本立體之一。詹森多面體是凸多面體，面皆由正多邊形組成但不屬於均勻多面體，共有92種。這些立體最早在1966年由諾曼·詹森（Norman Johnson）命名並給予描述[2]。
 | |||
| 類別 | 詹森多面體 J84 - J85 - J86 | ||
|---|---|---|---|
| 識別 | |||
| 名稱 | 扭稜四角反角柱 | ||
| 參考索引 | J85 | ||
| 鮑爾斯縮寫 | snisquap | ||
| 數學表示法 | |||
| 施萊夫利符號 | ss{2,8} | ||
| 性質 | |||
| 面 | 26 | ||
| 邊 | 40 | ||
| 頂點 | 16 | ||
| 歐拉特徵數 | F=26, E=40, V=16 （χ=2） | ||
| 組成與佈局 | |||
| 面的種類 | 8+16個三角形 2個正方形 | ||
| 頂點圖 | 8個(35) 8個(34.4) | ||
| 對稱性 | |||
| 對稱群 | D4v群 | ||
| 特性 | |||
| 凸多面體 | |||
| 圖像 | |||
| |||
性質
編輯扭稜四角反角柱共由26個面、40條邊和16頂點所組成[3][4][5]。在其26個面中，有24個三角形和2個正方形[3]。在其16個頂點中，有8個頂點是5個三角形的公共頂點[5]，在頂點圖中可以用[35]來表示[6]、另外8個頂點是4個三角形和1個正方形的公共頂點[5]，在頂點圖中可以用[34,4]來表示[6]。
構造
編輯形如其名地，扭稜四角反角柱可以透過將四角反角柱套用扭稜變換來構造。在施萊夫利符號中可以表示為ss{2,8}，其中s{2,8}是四角反角柱[7]，其中的扭稜是考克斯特扭稜；而在康威扭稜中，扭稜四角反角柱可以透過將四角錐套用康威扭稜來構造，在康威多面體表示法中可以表示為sY4[8]。
體積與表面積
編輯若一個扭稜四角反角柱邊長為 ，則其表面積 為：[9]
而其體積 為：
其中 是下列多項式的最大實根：
頂點座標
編輯令 為下列三次式的正實根，約為 ：
和h約為 ：
則邊長為2的扭稜四角反角柱的頂點座標由下列頂點的軌道的並集在繞z軸旋轉90°和繞垂直於z軸並與x軸夾角22.5°的直線旋轉180°所產生的空間對稱群之群作用下給出：[12]
扭稜反角柱
編輯類似的造方式之多面體還有扭稜三角反角柱（施萊夫利符號：ss{2,6}）為經過扭稜變換的三角反角柱（可以視為一個對稱性較低的正八面體），其結果為偽二十面體（可以視為一個對稱性較低的正二十面體）。另一個為扭稜五角反角柱（施萊夫利符號：ss{2,10}）甚至是更高邊數的扭稜反角柱，但其結果不會是由正三角形構成的凸多面體。邊數更少的扭稜二角反角柱（施萊夫利符號：ss{2,4}）對應另一個詹森多面體——扭稜鍥形體，但必須在二角反角柱中保留兩個退化的對角面（以紅色繪製）。這些都可以視為一系列扭稜反角柱無窮序列的一項。[7]
| 對稱性 | D2d, [2+,4], (2*2) | D3d, [2+,6], (2*3) | D4d, [2+,8], (2*4) | D5d, [2+,10], (2*5) |
|---|---|---|---|---|
| 反角柱 |  s{2,4} A2     （頂點：4、 邊：8、 面：6） |
 s{2,6} A3 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）  （頂點：6、 邊：12、 面：8） |
 s{2,8} A4 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）  （頂點：8、 邊：16、 面：10） |
 s{2,10} A5 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）  （頂點：10、 邊：20、 面：12） |
| 截角反角柱 |  ts{2,4} tA2 （頂點：16、邊：24、面：10） |
 ts{2,6} tA3 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） （頂點：24、 邊：36、 面：14） |
 ts{2,8} tA4 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） （頂點：32、 邊：48、 面：18） |
 ts{2,10} tA5 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） （頂點：40、 邊：60、 面：22） |
| 對稱性 | D2, [2,2]+, (222) | D3, [3,2]+, (322) | D4, [4,2]+, (422) | D5, [5,2]+, (522) |
| 扭稜反角柱 | J84 | 二十面體 | J85 | 凹 |
| sY3 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） = HtA3 | sY4 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） = HtA4 | sY5 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） = HtA5 | ||
 ss{2,4} （頂點：8、 邊：20、 面：14） |
 ss{2,6} （頂點：12、 邊：30、 面：20） |
 ss{2,8} （頂點：16、 邊：40、 面：26） |
 ss{2,10} （頂點：20、 邊：50、 面：32） |
參見
編輯參考文獻
編輯- ^ Weisstein, Eric W. (編). Snub Square Antiprism. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
- ^ Johnson, Norman W., Convex polyhedra with regular faces, Canadian Journal of Mathematics, 1966, 18: 169–200, MR 0185507, Zbl 0132.14603, doi:10.4153/cjm-1966-021-8
- ^ 3.0 3.1 David I. McCooey. Johnson Solids: Snub square antiprism. [2022-09-07]. （原始內容存檔於2022-09-09）.
- ^ The snub square antiprism. qfbox.info. [2022-09-09]. （原始內容存檔於2022-09-09）.
- ^ 5.0 5.1 5.2 Snub square antiprism. polyhedra.tessera.li. [2022-09-09]. （原始內容存檔於2022-09-09）.
- ^ 6.0 6.1 Richard Klitzing. snub square antiprism, snisquap. bendwavy.org. [2022-09-09]. （原始內容存檔於2022-01-25）.
- ^ 7.0 7.1 Jim McNeill. Snub Anti-Prisms. orchidpalms.com. [2019-09-28]. （原始內容存檔於2019-03-27）.
- ^ PolyHédronisme. [2022-09-09]. （原始內容存檔於2022-03-10）.
- ^ Wolfram, Stephen. "Snub square antiprism". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英語）.
- ^ Wolfram Research, Inc., Wolfram|Alpha Knowledgebase, Champaign, IL, 2020,
PolyhedronData[{"Johnson", 85}, "SurfaceArea"] - ^ Wolfram Research, Inc., Wolfram|Alpha Knowledgebase, Champaign, IL, 2020,
MinimalPolynomial[PolyhedronData[{"Johnson", 85}, "Volume"], x] - ^ Timofeenko, A. V. The non-Platonic and non-Archimedean noncomposite polyhedra. Journal of Mathematical Science. 2009, 162 (5): 725. S2CID 120114341. doi:10.1007/s10958-009-9655-0.